第十四届蓝桥杯Python B组省赛复盘

试题 A: 2023

【问题描述】（5 分）

请求出在 12345678 至 98765432 中，有多少个数中完全不包含 2023 。

完全不包含 2023 是指无论将这个数的哪些数位移除都不能得到 2023 。

例如 20322175，33220022 都完全不包含 2023，而 20230415，20193213 则 含有 2023 (后者取第 1, 2, 6, 8 个数位) 。

【思路】

1. 正则表达式

   '''
   正则表达式
   '''
   import re
   
   def check(s) :
       if re.match(r'.*2.*0.*2.*3.*', s) :
           return False
       else : return True
   
   st = 12345678
   ed = 98765432
   res = 0
   while st <= ed :
       if check(str(st)) :
           res += 1
       st += 1
   print(res)
   

2. 信号量机制（哨兵）
   从后往前，s1,s2,s3,s4分别标记3，2，0，2是否已经找到。大致思路是只有前面的数全找到后才能找下一个数。比如当找0时，必须确保从后往前已经找到了3,2这个两个数。

   def check(n) :
       s1, s2, s3, s4 = False, False, False, False
       for i in range(8) :
           if n % 10 == 3 and not s1 :
               s1 = True
           elif n % 10 == 2 and s1 and not s2 :
               s2 = True
           elif n % 10 == 0 and s1 and s2 and not s3:
               s3 = True
           elif n % 10 == 2 and s1 and s2 and  s3 and not s4:
               s4 =True
           n //= 10
       return not (s1 and s2 and s3 and s4)
     
   st = 12345678
   ed = 98765432
   res = 0
   while st <= ed :
       if check(str(st)) :
           res += 1
       st += 1
   print(res)
   

试题 B: 硬币兑换

【问题描述】

小蓝手中有 2023 种不同面值的硬币，这些硬币全部是新版硬币，其中第$i(1\le i\le 2023)$ 种硬币的面值为 $i$ ，数量也为 $i$ 个。硬币兑换机可以进行硬币兑换，兑换规则为：交给硬币兑换机两个新版硬币 $coi{n}_1$ 和 $coi{n}_2$ ，硬币兑换机会兑换成一个面值为 $coi{n}_1+coi{n}_2$ 的旧版硬币。小蓝可以用自己已有的硬币进行任意次数兑换，假设最终小蓝手中有 $K$ 种不同面值的硬币（只看面值，不看新旧）并且第$i(1\le i\le K)$ 种硬币的个数为$su{m}_i$。小蓝想要使得 m a x { s u m 1 , s u m 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , s u m K } max\{sum_1, sum_2, · · · , sum_K\} max{sum1​,sum2​,⋅⋅⋅,sumK​} 的值达到最大，请你帮他计算这个值最大是多少。
注意硬币兑换机只接受新版硬币进行兑换，并且兑换出的硬币全部是旧版硬币。

【思路】

我们知道硬币的数量是随着面值单调增加，那么两个面值要拼凑出一个大的面值，取决于小的面值。
假设有n中面值硬币，$a_{n-1},a_n$分别表示尽可能拼凑出最多个面额分别为$n-1,n$的硬币。
$a_{n-1}=n-1+1+...+int(n-1/2)$
$a_n=n+1+...+n/2$
显然$a_n$更大。所以最终拼凑出的数是大于等于$a_n$

res = 0
for t in range(2023, 4047) :
    ans = 0
    for i in range(1, 2024) :
        ta = t - i
        if i == ta :
            ans += (i // 2)
        if ta <= i or ta > 2023 :
            continue
        ans += i

    if t == 2023 :
        ans += 2023
    res = max(res, ans)
print(res)
'''
682425
'''

试题 C: 松散子序列

时间限制: 10.0s 内存限制: 512.0MB 本题总分：10 分

【问题描述】

给定一个仅含小写字母的字符串 s ，假设 s 的一个子序列 t 的第 i 个字符
对应了原字符串中的第 pi 个字符。我们定义 s 的一个松散子序列为：对于 i > 1
总是有 $p_i-p_{i-1}\ge 2$ 。设一个子序列的价值为其包含的每个字符的价值之和 (
a ∼ z 分别为 1 ∼ 26 ) 。
求 s 的松散子序列中的最大价值。

【输入格式】

输入一行包含一个字符串 s 。

【输出格式】

输出一行包含一个整数表示答案。

【样例输入】

azaazaz

【样例输出】

78

【评测用例规模与约定】

思路

本题大概意旨是，不能选连续两个字符组成的序列，典型的打家劫舍板子

1. 状态机

   • 状态表示$f[i,0/1]$：
     • 集合：表示0~i的字符串（不0）选取1第i个字符的松散序列价值的集合
     • 属性：max
   • 状态计算：$f[i,0]=max(f[i-1,0],f[i-1,1])$,$f[i,1]=f[i-1,0]+s[i]$

   s = list(input())
   n = len(s)
   for i in range(n) :
   	s[i] = ord(s[i]) - ord('a') + 1
   f = [[0, 0] for _ in range(n + 1)]
   for i in range(1, n + 1) :
   	f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1])
   	f[i][1] = f[i - 1][0] + s[i - 1]
   print(max(f[n][0], f[n][1]))
   

2. 线性DP

   • 状态表示$f[i]$：
     • 集合：表示以i字符结尾的松散序列价值的集合
     • 属性：max
   • 状态计算：$f[i]=max(f[j])+ord(s[i]),j<=i-2$

   '''
   状态表示：f[i]
       集合：表示以i结尾的满足条件的子序列的价值集合
       属性：max
   状态计算:f[i] = max(f[j]) + ord(s[i]),j <=i-2
   '''
   
   s = list(input())
   n = len(s)
   
   f = [0] * (n + 2)
   
   maxx = 0 # 记录到i-2的最大值
   for i in range(1, n + 1) :
       f[i] = maxx + ord(s[i - 1]) - ord('a') + 1
       maxx = max(f[i - 1], maxx)
   print(max(maxx, f[n]))
   

试题 D: 管道

时间限制: 10.0s 内存限制: 512.0MB 本题总分：10 分

【问题描述】

有一根长度为 len 的横向的管道，该管道按照单位长度分为 len 段，每一段
的中央有一个可开关的阀门和一个检测水流的传感器。
一开始管道是空的，位于 $L_i$ 的阀门会在 $S_i$ 时刻打开，并不断让水流入管
道。
对于位于 $L_i$ 的阀门，它流入的水在 $T_i(T_i\ge S_i)$ 时刻会使得从第 $L_i-(T_i-S_i)$
段到第 $L_i+(T_i-S_i)$ 段的传感器检测到水流。
求管道中每一段中间的传感器都检测到有水流的最早时间。

【输入格式】

输入的第一行包含两个整数 n, len，用一个空格分隔，分别表示会打开的阀
门数和管道长度。
接下来 n 行每行包含两个整数 $L_i,S_i$，用一个空格分隔，表示位于第 $L_i$ 段
管道中央的阀门会在 $S_i$ 时刻打开。

【输出格式】

输出一行包含一个整数表示答案。

【样例输入】

3 10
1 1
6 5
10 2

【样例输出】

5

【评测用例规模与约定】

思路

要求检测到水流的最短时间，看到len的数据范围是$10^9$应该用一个低于$O(n)$的算法。
这就让我们想到了二分。通过二分右半段，可以查找满足全部覆盖的最短时间。
对于确定的时刻$t$,一个在$s$时刻$(t>=s)$打开并位于$l$的管道，在此时此刻可以覆盖的区间是$[max(l-(t-s),1),min(l+(t-s),len)]$.
下面考虑区间覆盖问题，对于n个区间，可以一个个枚举区间，并对覆盖区间进行标记，然而这样的复杂度是$O(nlen)$。怎么优化呢？我们想到对区间进行操作的一个基础算法差分，类似于LeetCode中的区间覆盖原题。

'''
覆盖问题，二分
'''
from sys import stdin

def check(x) :
    st = [0] * (m + 2)
    for item in a :
        if item[1] <= x :
            l, r = max(item[0] - (x - item[1]), 1), min(item[0] + (x - item[1]), m)
            st[l] += 1
            st[r + 1] -= 1
    for i in range(1, m + 1) :
        st[i] += st[i - 1]
        if st[i] <= 0 :
            return False
    return True
                

n, m = map(int, input().split())

a = []

for _ in range(n) :
    l, s = map(int, stdin.readline().split())
    a.append([l, s])

l, r = 0, m + 1
while l < r :
    mid = (l + r) >> 1
    if check(mid) :
        r = mid
    else :
        l = mid + 1
print(l)

试题 E: 保险箱

时间限制: 10.0s 内存限制: 512.0MB 本题总分：15 分

【问题描述】

小蓝有一个保险箱，保险箱上共有 n 位数字。
小蓝可以任意调整保险箱上的每个数字，每一次操作可以将其中一位增加
1 或减少 1 。
当某位原本为 9 或 0 时可能会向前（左边）进位/退位，当最高位（左边第
一位）上的数字变化时向前的进位或退位忽略。
例如：
00000 的第 5 位减 1 变为 99999 ；
99999 的第 5 位减 1 变为 99998 ；
00000 的第 4 位减 1 变为 99990 ；
97993 的第 4 位加 1 变为 98003 ；
99909 的第 3 位加 1 变为 00009 。
保险箱上一开始有一个数字 x，小蓝希望把它变成 y，这样才能打开它，问
小蓝最少需要操作的次数。

【输入格式】

输入的第一行包含一个整数 n 。
第二行包含一个 n 位整数 x 。
第三行包含一个 n 位整数 y 。

【输出格式】

输出一行包含一个整数表示答案。

【样例输入】

5
12349
54321

【样例输出】

11

【评测用例规模与约定】

思路

比赛的时候看到这题秒想用BFS，但本题的数据范围实在太大，即使跑10s超过10长度的数据也跑不出来。这时我问了ChatGPT，它如是说