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1. 小波变换

1.1 小波变换基本概念

信号变换是为了分析时间和频率之间的相互关系。

傅里叶变换（FFT）将信号表示为无限三角函数的叠加，从而将信号从时域转换到频域，可以分析信号的频谱，但不能反映信号的时频特征，丢失了局部信息。

短时傅里叶变换（STFT）通过引入时间窗获得信号的时频谱图，但窗口尺寸是固定的，不能兼顾频域信息与时域信息，即不能同时对高频和低频进行精确分析。

小波变换以尺度函数（scaling）和小波函数（wavelet function）作为基函数进行信号分解。缩放母小波的宽度获得信号的频域特征，通过平移母小波获得信号的时间信息。

小波函数是定义在有限间隔且均值为0的一种函数。使用有限长的衰减的小波基， 既包含了频率的信息，也包含了时间的信息 。小波函数的尺度对应于频率，控制小波函数的伸缩，平移量对应于时间，控制小波函数的平移。

小波族类的产生只需要满足两个条件：归一化约束和正交化约束。因此小波有很多族类， 每个小波族在小波的紧凑性和平滑性做出了不同的权衡，对应着不同的形状、光滑度和紧密型，应用于不同的场景和状况。

例程 17_1：常用小波族的图像

import pywt
print(pywt.families(short=False))

# 显示的结果
['Haar', 'Daubechies', 'Symlets', 'Coiflets', 'Biorthogonal', 'Reverse biorthogonal', 
'Discrete Meyer (FIR Approximation)', 'Gaussian', 'Mexican hat wavelet', 'Morlet wavelet', 
'Complex Gaussian wavelets', 'Shannon wavelets', 'Frequency B-Spline wavelets', 'Complex Morlet wavelets']

运行结果：

[‘Haar’, ‘Daubechies’, ‘Symlets’, ‘Coiflets’, ‘Biorthogonal’, ‘Reverse biorthogonal’, ‘Discrete Meyer (FIR Approximation)’, ‘Gaussian’, ‘Mexican hat wavelet’, ‘Morlet wavelet’, ‘Complex Gaussian wavelets’, ‘Shannon wavelets’, ‘Frequency B-Spline wavelets’, ‘Complex Morlet wavelets’]

1.2 连续小波变换

傅里叶变换将信号$f(t)$分解为一系列不同频率的正弦信号的叠加，傅里叶系数对应于不同正弦信号的幅值。小波变换将信号$f(t)$分解为一系列小波信号的叠加，产生一系列小波信号的基本小波可以根据需要来选择或设计。

连续小波变换为：
$$\gamma (s,\tau )=\int f(t){\Psi }_{s,\tau }^{\ast }(t)dt$$
连续小波变换的逆变换为：
$$f(t)=\int \int \gamma (s,\tau ){\Psi }_{s,\tau }(t)dsdt$$
其中，* 表示复共轭，${\Psi }_{s,\tau }(t)$为小波基函数（basic wavelet）。

不同小波基函数，都是由同一个基本小波（母小波）$\Psi (t)$ 经过缩放和平移产生。
$${\Psi }_{s,\tau }(t)=\frac{1}{\sqrt{s}}\Psi (\frac{t-\tau }{s})$$
离散小波变换，通过二进小波变换（缩放因子取为2）把由基本小波生成小波基函数的方法表示为：
$${\Psi }_{j,k}(x)=2^{j/2}\ast \Psi (2^{j}x-k),k=0,...2^j-1$$
其中j决定缩放系数，k决定平移幅度。

在图像处理中，离散小波变换将图像分解为大小、位置和方向都不同的分量。对图像进行小波分解后，可以得到一系列不同分辨率的子图像，构造出图像金字塔。

小波变换中，缩放因子scale越小，表示小波越窄，对应的信号频率越高，反映的是信号的细节变化；缩放因子越大，表示小波越宽，对应的信号频率越低，反映的是信号的轮廓变化。

1.3 离散小波变换（Discrete wavelet transform, DWT）

双通道子带编码通过两个互补的滤波器组：

• 低通滤波器，得到信号的近似值A，相当于小波伸展，获得当前信号的低频特征，反映轮廓特征；
• 高通滤波器，得到信号的细节值D，相当于小波伸缩，获得当前信号的高频特征，反映细节特征。

实际应用中，信号的低频特征最重要，高频分量只起细化修饰的作用。

小波变换可以表示为由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树。原始信号经过一对互补的滤波器组进行的分解称为一级分解，继续下去可以进行多级分解。

如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量进行连续分解，可以得到信号在不同分辨率下的低频分量。

1.4 二维离散小波变换

图像是典型的二维离散信号。将一维离散小波变换开展到二维函数，就能实现图像的二维离散小波变换。

在二维情况下，每个二维小波都是两个一维小波的积，产生 4 个可分离的尺度函数：
$$\begin{gathered} \phi (x,y)=\phi (x)\phi (y) \\ {\Psi }^H(x,y)=\Psi (x)\phi (y) \\ {\Psi }^V(x,y)=\phi (x)\Psi (y) \\ {\Psi }^D(x,y)=\Psi (x)\Psi (y) \end{gathered}$$
这些小波度量图像中灰度沿不同方向的变化：

• ${\Psi }^H(x,y)$ 响应列的变化（水平边缘）。
• ${\Psi }^V(x,y)$ 响应行的变化（垂直边缘）。
• ${\Psi }^D(x,y)$ 响应对角线的变化。

例程 17_3：图像的小波变换

import numpy as np
import pywt
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

if __name__ == '__main__':
    # (3) 图像的二维小波变换
    img = cv.imread("../images/Fig0515a.tif", flags=0)
    img = cv.resize(img, (512, 512)).astype(np.float32)

    coeffs = pywt.dwt2(img, 'haar')
    cA, (cH, cV, cD) = coeffs  # 低频分量，(水平高频，垂直高频，对角线高频)

    # 拼接子图
    AH = np.concatenate([cA, cH], axis=1)
    VD = np.concatenate([cV, cD], axis=1)
    dwt1 = np.concatenate([AH, VD], axis=0)
    print(img.shape, dwt1.shape)

    # 显示为灰度图
    plt.imshow(dwt1, 'gray')
    plt.title('DWT'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
    plt.show()

2. Haar 小波变换

2.1 Haar 小波变换的基本概念

Haar 变换又称 Haar 小波变换，由 Alfred Haar于1910年提出，是最早提出的正交小波，也是唯一既具有对称性又是有限支撑的正交小波。

Haar 小波函数是最简单的基函数，是一组分段的常值函数组成的函数集合。这个函数集定义在半开区间[0,1)上，每个分段常值函数的数值在一个小范围为 1 而在其它区域为 0。

Haar小波的母小波（mother wavelet）表示为：

$$\Psi (x)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}1,& 0\le x<1/2\\ -1,& 1/2\le x<1\\ 0,& otherwise\end{array}\end{array}$$

对应的尺度函数（scaling function）表示为：

$$\varphi (x)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}1,& 0\le t<1\\ 0,& otherwise\end{array}\end{array}$$

其滤波器 h[n]定义为：

$$h[n]=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}1/\sqrt{2},& n=0,1\\ 0,& otherwise\end{array}\end{array}$$

因此，

$$\begin{array}{rl}\Psi (t/2)& =\sqrt{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1{)}^{1-n}\ast h[1-n]\ast \varphi (t-n)\\ & =\varphi (t-1)-\varphi (t)\end{array}$$

即：

$${\Psi }_i^j(x)=\Psi (2^j\ast x-i),i=0,...(2^j-1)$$

$$\Psi (x)=\varphi (2x)-\varphi (2x-1)$$

Haar 基函数可以获取信号的尺度信息，而 Haar 小波函数可以表示信号的细节信息。
Haar 小波具有如下特点：
（1）Haar 小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为 [0,1)
（2）Haar 小波属于正交小波。
（3）Haar 小波是对称的。
（4）Haar 小波仅取 +1 和 -1，计算简单。
（5）Haar 小波是不连续小波，在实际的信号分析与处理中受到了限制。

例程 17_4：一维信号的 Haar 小波分解

对一维 Chirp 信号进行 Haar 小波变换的例程和结果如下。

import numpy as np
import pywt
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

if __name__ == '__main__':
   # (4) Chirp 信号的 Haar 小波分解
    x = np.linspace(0, 1, num=2048)
    chirp_signal = np.sin(250 * np.pi * x ** 2)

    fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 2))
    ax.set_title("Original Chirp Signal")
    ax.plot(chirp_signal)
    plt.show()

    data = chirp_signal
    waveletname = 'haar'

    fig, axarr = plt.subplots(nrows=5, ncols=2, figsize=(8, 6))
    for ii in range(5):
        (data, coeff_d) = pywt.dwt(data, waveletname)
        axarr[ii, 0].plot(data, 'r')
        axarr[ii, 1].plot(coeff_d, 'g')
        axarr[ii, 0].set_ylabel("Level {}".format(ii + 1), fontsize=14, rotation=90)
        axarr[ii, 0].set_yticklabels([])
        if ii == 0:
            axarr[ii, 0].set_title("Approximation coefficients", fontsize=14)
            axarr[ii, 1].set_title("Detail coefficients", fontsize=14)
        axarr[ii, 1].set_yticklabels([])
    plt.tight_layout()
    plt.show()

例程 17_5：图像的 Haar 小波分解

对二维图像进行 Haar 小波变换的例程和结果如下。

import numpy as np
import pywt
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
from pywt._doc_utils import wavedec2_keys, draw_2d_wp_basis

if __name__ == '__main__':
# (5) 图像的 Haar 小波分解
    x = pywt.data.camera().astype(np.float32)
    shape = x.shape
    max_lev = 3  # 要绘制多少级分解
    label_levels = 3  # 图上要显式标注多少层

    fig, axes = plt.subplots(2, 4, figsize=[14, 8])
    for level in range(0, max_lev + 1):
        if level == 0:
            # 显示原始图像
            axes[0, 0].set_axis_off()
            axes[1, 0].imshow(x, cmap=plt.cm.gray)
            axes[1, 0].set_title('Image')
            axes[1, 0].set_axis_off()
            continue

        # 绘制标准DWT基的子带边界
        draw_2d_wp_basis(shape, wavedec2_keys(level), ax=axes[0, level], label_levels=label_levels)
        axes[0, level].set_title('{} level\ndecomposition'.format(level))

        # 计算二维 DWT
        c = pywt.wavedec2(x, 'haar', mode='periodization', level=level)

        # 独立规范化每个系数数组以获得更好的可见性
        c[0] /= np.abs(c[0]).max()
        for detail_level in range(level):
            c[detail_level + 1] = [d / np.abs(d).max() for d in c[detail_level + 1]]

        # 显示归一化系数 (normalized coefficients)
        arr, slices = pywt.coeffs_to_array(c)
        axes[1, level].imshow(arr, cmap=plt.cm.gray)
        axes[1, level].set_title('Coefficients\n({} level)'.format(level))
        axes[1, level].set_axis_off()
    plt.tight_layout()
    plt.show()

2.2 小波变换在图像处理中的应用

小波变换在图像处理中的应用与傅里叶变换类似，基本方法是：
（1）计算一幅图像的二维小波变换，并得到小波系数
（2）对小波系数进行修改，保留有效成分，过滤不必要成分
（3）使用修改后的小波系数进行图像重建

基于小波变换的图像去噪步骤：
（1）图像小波变换。选择一个小波，计算噪声图像的小波系数。
（2）对细节系数通过阈值进行过滤。选择一个细节系数阈值，并对所有细节系数进行阈值化操作。
（3）基于阈值化过滤后的细节系数及原始近似系数，使用小波变换对图像进行重建。

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