一、动态规划五部曲

1. 确定dp及其下标的含义
2. 确定递推关系式
3. 初始化值
4. 确定遍历顺序
5. 验证

二、01背包问题

1. 基本理解

理解：所谓的01背包问题，其关键在于物品只能放入1次，不能够重复利用，因此称呼为01背包问题。与完全背包的区别在于，完全背包问题中，物品能够无限次的放入。

1. 二维和一维dp的创建问题：
   （1）二维dp[i][j]的含义为：从下标为0-i的物品中放入背包容量为j的背包中，其价值为最高
   （2）一维dp[i]的含义为：背包容量为i的背包中，能够容纳的物品的最高价值
2. 递推关系
   （1）二维dp：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+values[i]);含义：对于物品i放入容量为j的背包中，可以选择不放，则是dp[i-1][j]，亦可以放入，则需要更新背包容量dp[i-1][j-weight[i]]+values[i]，取两者的最大值即可
   （2）一维dp：dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+values[i]);含义：对于容量为j的背包，可以选择将物品i放入，也可以不放入。
3. 遍历顺序
   （1）对于二维dp来说，先背包后物品，或者先物品后背包都是可以的。且对于物品和背包来说都是从小开始遍历。
   （2）对于一维dp来说，我们只能是先物品后背包了。且对于背包只能是倒序。
   代码如下：

   for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
       for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
           dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
       }
   }
   

这里就存在疑惑了，为啥只能先物品后背包，背包又为啥只能是倒序

• 先来解决为啥只能是倒序的问题：
  由于物品的循环是在外，背包的循环是在内，针对同一个物品，背包中只能存在一个，如果是倒序遍历，即背包容量从大到小变化的过程中，大背包先放入了物品i，此时背包容量缩小，而缩小的背包dp[j - nums[i]]中没有放入物品i，因此可以保证物品仅仅放入了一次
  而如果是正序遍历的话，在小背包中放入了物品i，此时的dp[j]（dp[j - nums[i]]）将会影响到后续的dp[j]，会导致物品被多次放入。
• 再来解决为啥必须先物品后背包：
  如果先背包后物品会导致，一个容量的背包中只放入了一个物品。

2. 不同的递推关系式

在上面的递推关系式，仅仅只包含了一种情况，其实题目是多样的。

• 题目类型1：对于容量为j的背包，最多能放价值多少的物品：dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+values[i]);
• 题目类型2：对于容量为j的背包，装满这个背包能有几种方法（求的是组合问题）：dp[j]+=dp[j-weight[i]]
• 题目类型3：对于容量为j的背包，最多能装入几个物品：其实类似于类型1，只是value等于1

其实整体来说，总共也就加粗的两种类型（目前只碰到）

三、完全背包问题

1. 基本理解

理解：完全背包与01背包的区别在于，完全背包中的物品能够被无限次放入。

2. 类型的区别

1. 组合问题：先物品后背包
2. 排列问题：先背包后物品

代码随想录背包总结