已知，
ln
(
x
+
1
+
x
2
)
为奇函数（证明放在文章末尾）
\ln (x+\sqrt{1+x^2})为奇函数（证明放在文章末尾）
ln(x+1+x2)为奇函数（证明放在文章末尾）
所以，
∫
−
2
2
ln
(
x
+
1
+
x
2
)
=
0
所以，\int_{-2}^{2}\ln (x+\sqrt{1+x^2})=0
所以，∫−22ln(x+1+x2)=0
故原式
=
∫
−
2
2
1
−
x
2
4
d
x
故原式=\int_{-2}^{2}\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\,{\rm d}x
故原式=∫−221−4x2dx
=
2
∫
0
2
1
2
4
−
x
2
d
x
=2\int_{0}^{2}\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\,{\rm d}x
=2∫02214−x2dx
=
∫
0
2
4
−
x
2
d
x
=\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}\,{\rm d}x
=∫024−x2dx
此时，可以利用三角换元来做，但是更好的方法利用其几何意义。
上积分的几何意义表示的为
x
2
+
y
2
=
4
这个圆在第一象限的面积，即为
π
.
x^2+y^2=4这个圆在第一象限的面积，即为\pi.
x2+y2=4这个圆在第一象限的面积，即为π.
故原式等于
π
故原式等于\pi
故原式等于π
定积分的几何意义：
∫
0
a
a
2
−
x
2
=
π
a
2
4
\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}=\frac{\pi a^2}{4}
∫0aa2−x2=4πa2
∫
0
a
2
a
x
−
x
2
=
π
a
2
4
\int_{0}^{a}\sqrt{2ax-x^2}=\frac{\pi a^2}{4}
∫0a2ax−x2=4πa2
∫
0
2
a
2
a
x
−
x
2
=
π
a
2
2
\int_{0}^{2a}\sqrt{2ax-x^2}=\frac{\pi a^2}{2}
∫02a2ax−x2=2πa2
下证明函数为奇函数
令
f
(
x
)
=
ln
(
x
+
1
+
x
2
)
令f(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2})
令f(x)=ln(x+1+x2)
f
(
−
x
)
+
f
(
x
)
=
ln
(
−
x
+
1
+
x
2
)
+
ln
(
x
+
1
+
x
2
)
f(-x)+f(x)=\ln(-x+\sqrt{1+x^2})+\ln (x+\sqrt{1+x^2})
f(−x)+f(x)=ln(−x+1+x2)+ln(x+1+x2)
=
ln
(
−
x
+
1
+
x
2
)
(
x
+
1
+
x
2
)
=\ln (-x+\sqrt{1+x^2})(x+\sqrt{1+x^2})
=ln(−x+1+x2)(x+1+x2)
=
ln
(
(
1
+
x
2
)
−
x
2
)
=
ln
1
=
0
=\ln ((1+x^2)-x^2)=\ln 1=0
=ln((1+x2)−x2)=ln1=0
故
f
(
x
)
=
ln
(
x
+
1
+
x
2
)
为奇函数。
故f(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2})为奇函数。
故f(x)=ln(x+1+x2)为奇函数。
