ConvexHull

ConvexHull是spatial中的一个类，主要功能是找到一组点的边缘，并做一个凸包。其必要的初始化参数为一个点集，点集格式为$n\times m$维度的数组，n为点集中点的个数，m为点的维度。

from scipy.spatial import ConvexHull
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

pts = np.random.rand(30, 2)
hull = ConvexHull(pts)
plt.plot(pts[:,0], pts[:,1], 'o')
for i in hull.simplices:
    plt.plot(pts[i, 0], pts[i, 1], 'k-')

plt.show()

其中simplex为索引点的序号，绘图之后效果如下

ConvexHull有两个可选参数，其中，incremental为布尔型参数，当其为True时，允许添加新的点。

qhull_options的具体参数可以查看qhull，下面只演示一下QG。

QG

QGn表示将第n个点视为观察点，在对点集进行凸包划分后，如果把顶点连接起来，当作一个围墙，那么观察点可以看得到的点，则标记为good，其效果如下所示

pts = np.random.rand(1000, 2)
# 添加一个观察点
pts = np.vstack([pts, np.array([[2,0.5]])])
hull = ConvexHull(pts, qhull_options='QG1000')
plt.plot(pts[:,0], pts[:,1], '.')
for i in hull.simplices:
    plt.plot(pts[i, 0], pts[i, 1], 'k-')

for i in hull.simplices[hull.good]:
    plt.plot(pts[i, 0],pts[i, 1], lw=5)

plt.show()

效果如图所示

三维情况

二维情况下的凸包，很明显是由线构成的一个封闭图形，而三维情况下的凸包，自然应该是一个三维几何体。拓展到任意维度，凸包构成的实际上是一个单形，ConvexHull中的simplices便是构成单形的点，在原点集中的索引。示例如下

pts = np.random.rand(30, 3)
hull = ConvexHull(pts)
ax = plt.subplot(projection='3d')
ax.scatter(pts[:,0], pts[:,1], pts[:,2])
for i in hull.simplices:
    ax.plot_trisurf(pts[i, 0], pts[i, 1], pts[i,2], alpha=0.5)

plt.show()

其中alpha参数用于调整三角面的透明度，从而可以透过凸包，看到凸包内部的点。
效果如下

ConvexHull属性

前面已经引入了单形的概念，即凸包构成的图形便是单形。作为二维情况下的凸包，是由线段围成；三维情况下的凸包，则是由平面围成；推广到任意维度，可以表述为构成凸包的单形，由超曲面围成。由于超曲面这个概念并没有边界，所以具有顶点、边缘的凸包表面，下文中通称为单形超表面。

ConvexHull类中常用的属性如下

• points 凸包包围的点集
• vertices 单形顶点在点集中的索引
• simplices 单形超表面顶点
• neighbors 超表面相邻超表面的索引
• equations 超曲面方程的参数

三维情况下的超曲面方程示例如下，即每个超曲面有4个参数

>>> hull.equations
array([[-0.5509472 ,  0.72386104, -0.41530999, -0.36369123],
       [-0.26155355,  0.16210178, -0.95147925,  0.02022163],
       [-0.99132368, -0.0460725 ,  0.12310441,  0.045523  ],
       [-0.98526526, -0.07170442,  0.15527666,  0.04749854],
       [-0.15900968, -0.98529789, -0.06248198,  0.13294496],
   # .......