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范数是一种数学概念，可以将向量或矩阵映射到非负实数上，通常被用来衡量向量或矩阵的大小或距离。在机器学习和数值分析领域中，范数是一种重要的工具，常用于正则化、优化、降维等任务中。

本文以torch.linalg.norm()函数举例，详细讲解F范数、核范数、无穷范数等范数的定义和计算。

参考官方文档https://pytorch.org/docs/stable/generated/torch.linalg.norm.html

由于torch.norm()已弃用，所以以torch.linalg.norm()讲解，也可以使用 NumPy 或者 SciPy 库中的 numpy.linalg.norm 或 scipy.linalg.norm 函数。下图是其支持的各种范数：

二范数

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标准二范数（2-norm）是向量的一种范数，通常用来衡量向量的大小。二范数可以说是出场率最高的了，比如在最小二乘法中，还有如线性代数中的向量空间、矩阵分解等。
标准二范数的一些重要性质包括：

• 非负性：
  对于任意向量$x$，它的标准二范数都是非负的，即$||x|{|}_2\ge 0$。
• 齐次性：
  对于任意向量$x$和任意实数$k$，有$||kx|{|}_2=|k|||x|{|}_2$。
• 三角不等式：
  对于任意向量 x 和 y，有$||x+y|{|}_2\le ||x|{|}_2+||y|{|}_2$。
• 向量的 Cauchy-Schwarz 不等式：
  对于任意向量$x$和$y$，有$|x\cdot y|\le ||x|{|}_2||y|{|}_2$。

对于一个$n$维向量$x$，它的标准二范数定义如下：
$$||x|{|}_2=(\sum _{i=1}^n{x}_i^2{)}^{\frac{1}{2}}$$

其中，$x_i$表示向量$x$的第$i$个元素的值。
标准二范数的计算方法类似于欧几里得距离，都是将所有元素的平方和开根号。标准二范数也可以表示为向量的点积和向量的模长的乘积，即：
$$||x|{|}_2=\sqrt{x\cdot x}=|x|\sqrt{\frac{x}{|x|}\cdot \frac{x}{|x|}}$$

其中，$\cdot$表示点积，$|x|$表示向量$x$的模长，$\frac{x}{|x|}$表示向量$x$的单位向量。

在 PyTorch 中，可以使用 torch.linalg.norm 函数来计算向量的标准二范数，例如：

	x = torch.tensor([1, 2, 3, 4, 5], dtype=torch.float)
	norm_2 = torch.linalg.norm(x)
	print(norm_2)
	# 输出 7.4162，即 (√(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2))

F范数

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F范数（Frobenius范数）是一种矩阵的范数，用来衡量矩阵的大小。F范数在很多应用中都有重要的作用，例如矩阵近似、矩阵压缩、矩阵分解等。
F范数的一些重要性质包括：

• 非负性
  对于任意矩阵$A$，它的F范数都是非负的，即$||A|{|}_F\ge 0$。
• 齐次性
  对于任意矩阵$A$和任意实数$k$，有$||kA|{|}_F=|k|||A|{|}_F$。
• 三角不等式
  对于任意矩阵$A$和$B$，有$||A+B|{|}_F\le ||A|{|}_F+||B|{|}_F$。
• 特殊性质
  对于一个正交矩阵$Q$，它的F范数等于 1，即$||Q|{|}_F=1$。

对于一个$n$行$m$列的矩阵$A$，它的F范数定义如下：

$$||A|{|}_F=(\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{A}_{ij}^2{)}^{\frac{1}{2}}$$

其中，$A_{ij}$表示矩阵$A$的第$i$行第$j$列元素的值。
F范数的计算方法类似于标准二范数，都是将所有元素的平方和开根号。与标准二范数不同的是，F范数的加和是在矩阵的所有元素上进行的，而不是在向量的所有元素上进行的。

在 PyTorch 中，可以使用 torch.linalg.norm 函数来计算矩阵的F范数，其对应的参数为 ord='fro'，例如：

	A = torch.tensor([[1, 2],
	                  [3, 4],
	                  [5, 6]], dtype=torch.float)
	norm_F = torch.linalg.norm(A, ord='fro')
	print(norm_F) 
	# 输出 9.5394，即 (√(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2))

核范数

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核范数（nuclear norm），也称为矩阵1-范数（matrix 1-norm），也是一种用于衡量矩阵的大小的范数。核范数在矩阵分解、矩阵压缩、矩阵近似等方面有广泛的应用。例如在矩阵分解中，核范数可以用于衡量原始矩阵与分解后的矩阵的差异程度，从而可以优化分解的结果。
核范数的一些重要性质包括：

• 非负性：
  对于任意矩阵$A$，它的核范数都是非负的，即$||A|{|}_{\ast }\ge 0$。
• 齐次性：
  对于任意矩阵$A$和任意实数$k$，有$||kA|{|}_{\ast }=|k|||A|{|}_{\ast }$。
• 子加性：
  对于任意矩阵$A$和$B$，有$||A+B|{|}_{\ast }\le ||A|{|}_{\ast }+||B|{|}_{\ast }$。
• 矩阵的谱范数性质：
  对于任意矩阵$A$，有$||A|{|}_{\ast }=||A^T|{|}_{\ast }=||A^H|{|}_{\ast }$，其中$A^H$是矩阵$A$的共轭转置。

对于一个矩阵$A$，它的核范数定义如下：
$$||A|{|}_{\ast }=\sum _i{\sigma }_i$$

其中，${\sigma }_i$是矩阵$A$的奇异值（singular value），表示矩阵$A$的第$i$大的奇异值。核范数的计算方法是将矩阵 A 奇异值的绝对值相加。

奇异值分解（singular value decomposition，SVD）是一种常用的矩阵分解方法，用于将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，即
$$A=U\Sigma V^T$$
具体求解这里不过多展开，可以理解为一种压缩分解技术，原本很大的矩阵，现在只需3个小矩阵就能存储，可以使用torch.svd()进行奇异值分解。

在 PyTorch 中，可以使用 torch.linalg.norm 函数来计算矩阵的核范数，其对应的参数为 ord='nuc'，例如：

	A = torch.tensor([[1, 2, 3],
	                  [4, 5, 6],
	                  [7, 8, 9]], dtype=torch.float)
	norm_nuclear = torch.linalg.norm(A, ord='nuc')
	u, s, v = torch.svd(A)
	print(s)
	print(norm_nuclear)
	# 输出 17.9165，即 1.6848e+01 + 1.0684e+00 + 2.3721e-07

注：不同函数封装的奇异值分解算法可能不同，得到奇异值可能有些许出入，但应都在一个数量级。

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无穷范数

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无穷范数是矩阵的一种范数，也称为最大值范数或者列范数。无穷范数在矩阵计算和优化中有广泛的应用。例如，在矩阵乘法中，可以使用无穷范数来衡量矩阵乘积的大小；在优化问题中，可以使用无穷范数作为约束条件或者目标函数。

无穷范数也有一些重要的性质，包括：

• 非负性
  对于任意矩阵$A$，它的无穷范数都是非负的，即$||A|{|}_{\infty }\ge 0$。
• 齐次性
  对于任意矩阵$A$和任意实数$k$，有$||kA|{|}_{\infty }=|k|||A|{|}_{\infty }$。
• 三角不等式
  对于任意矩阵$A$和$B$，有$||A+B|{|}_{\infty }\le ||A|{|}_{\infty }+||B|{|}_{\infty }$。
• 矩阵乘法性质
  对于任意矩阵$A$和$B$，有$||AB|{|}_{\infty }\le ||A|{|}_{\infty }||B|{|}_{\infty }$。

对于一个$m\times n$的矩阵$A$，它的无穷范数定义为：

$$||A||\infty =\underset{1\le i\le m}{\max }\sum _{j=1}^n|a_{ij}|$$

其中，$i$的取值范围是$[1,m]$，表示矩阵$A$的第$i$行；$j$的取值范围是$[1,n]$，表示矩阵$A$的第$j$列。换句话说，无穷范数是将每一列的绝对值相加，然后取其中的最大值。

PyTorch 中其对应的参数为ord='inf'，例如：

	A = torch.tensor([[1, 2, 3],
	                  [4, 5, 6],
	                  [7, 8, 9]], dtype=torch.float)
	norm_inf = np.linalg.norm(A, ord=np.inf)
	print(norm_inf)
	# 输出 24，即 max{1+2+3, 4+5+6, 7+8+9}

同理，ord='-inf'表示取最小值。

需要注意的是，计算矩阵的无穷范数比计算其他范数更加简单和快速，因为只需要对每一列的绝对值相加，然后取其中的最大值即可。

L1范数

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L1 范数（L1 norm）是指向量中各个元素的绝对值之和，也称为曼哈顿距离（Manhattan distance）或城市街区距离（city block distance）。

L1 范数可以被用于衡量向量或矩阵中各个元素的绝对大小，具有一些特殊的性质，例如对于稀疏向量，它的 L1 范数更容易被最小化，因为它倾向于将向量的一些元素设为 0。

与无穷范数类似，L1 范数也具有一些重要的性质，包括非负性、齐次性、三角不等式和矩阵乘法性质。在矩阵计算和优化中，L1 范数也有广泛的应用。例如，在稀疏信号处理中，可以使用 L1 范数来促进信号的稀疏性；在机器学习中，可以使用 L1 范数作为正则化项来防止过拟合。

对于一个$m\times n$的矩阵 $A$，它的 L1 范数定义为：

$$|A{|}_1=\underset{1\le j\le n}{\max }\sum _{i=1}^m|a_{ij}|$$

其中，$j$表示矩阵$A$的第$j$列，${\sum }_{i=1}^m|a_{ij}|$表示第$j$ 列中各个元素的绝对值之和。换句话说，L1 范数是将每一列的绝对值相加，然后取其中的最大值。

PyTorch 中其对应的参数为ord='1'，例如：

	A = torch.tensor([[1, 2, 3],
	                  [4, 5, 6],
	                  [7, 8, 9]],dtype=torch.float)
	norm_1 = np.linalg.norm(A, ord=1)
	print(norm_1)
	# 输出 18，即 max{1+4+7, 2+5+8, 3+6+9}

同理ord=-1表示取最小值。

L2范数

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L2范数（L2 norm）也称为谱范数（spectral norm），或者最大奇异值范数（maximum singular value norm），是矩阵范数中的一种。

L2范数可以被用于衡量向量的大小，也可以被用于衡量向量之间的距离，具有一些特殊的性质，例如在最小化误差的时候，L2范数可以找到唯一的最小化点，而L1范数可能有多个最小化点。

对于一个 $m\times n$ 的矩阵 $A$，它的L2范数定义为：

$$|A{|}_2={\sigma }_{\max }(A)$$
其中，$|\cdot {|}_2$ 表示向量的 L2 范数，$\sigma \max (A)$ 表示矩阵 $A$ 的最大奇异值（singular value）。

在实际应用中，计算矩阵的 L2 范数可以使用 SVD 分解，例如：

PyTorch 中其对应的参数为ord='2'，例如：

	A = torch.tensor([[1, 2, 3],
	                 [4, 5, 6], 
	                 [7, 8, 9]], dtype=torch.float)
	norm_2 = torch.linalg.norm(A, ord=2)
	u, s, v = torch.svd(A)
	print(s)
	print(norm_2)
	# 输出 16.84810352325432

同理ord=-2表示取最小奇异值。

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