数据结构学习记录——什么是堆（优先队列、堆的概念、最大堆最小堆、优先队列的完全二叉树表示、堆的特性、堆的抽象数据类型描述）

news2024/11/24 18:43:32

优先队列

若采用数组或链表实现优先队列

数组

链表

有序数组

有序链表

总结

若采用二叉搜索树来实现优先队列

最大堆

堆的概念

优先队列的完全二叉树表示

堆的两个特性

结构性

有序性

【例】最大堆和最小堆

【例】不是堆

堆的抽象数据类型描述

优先队列

优先队列（Priority Queue）：

特殊的“队列”，取出元素的顺序是依照元素的优先权（关键字）大小，而不是元素进入队列的先后顺序。

若采用数组或链表实现优先队列

数组

插入操作——元素总是插入尾部 ~ $O(1)$

删除操作——查找最大（或最小）关键字 ~ $O(n)$

从数组中删去需要移动的元素 ~ $O(n)$

插入操作的时间复杂度为O(1),只需要将元素插入到数组的末尾即可。

但是删除操作的时间复杂度为O(n)，因为需要找到优先级最高的元素，这可能需要遍历整个数组。

链表

插入操作——元素总是插入链表的头部 ~ $O(1)$

删除操作——查找最大（或最小）关键字 ~ $O(n)$

删去结点 ~ $O(1)$

插入操作的时间复杂度为O(1)，同样只需要在链表末尾插入一个节点即可。

而删除操作时，查找最大（或最小）关键字可能需要遍历整个链表再进行删除，所以时间复杂度为O(n)。

有序数组

插入操作——找到合适的位置 ~ $O(n)$ 或 $O({log_{2}}^{n})$

移动元素并插入 ~ $O(n)$

删除操作——删去最后一个元素 ~ $O(1)$

采用有序数组使得优先队列在删除时方便了很多，但是在插入时却同样会变得十分麻烦，要找到合适的位置进行插入，再移动元素。

有序链表

插入操作——找到合适的位置 ~ $O(n)$

插入元素 ~ $O(1)$

删除操作——删除首元素或最后元素 ~ $O(1)$

除了在插入时不用移动元素，有序链表与有序数组基本相同。

总结

给出的这四个方案中，总有存在不足。要么是提高了插入操作的效率，删除操作的效率十分低；要么是提高了删除操作的效率，而插入操作的效率十分低。

所以我们要想用一种新的方式来存储：二叉树

若采用二叉搜索树来实现优先队列

通过前面的学习，我们了解到：

在二叉搜索树中，每个结点都有一个键值，且左子树中的所有结点的键值小于该结点的键值，右子树中的所有结点的键值大于该结点的键值。

因此，可以将优先级作为键值，将元素作为结点存储在二叉搜索树中。

在插入元素时，根据元素的优先级将其插入到正确的位置。

在删除元素时，可以删除具有最高优先级的元素，即最大元素或最小元素。

但是，

当我们连续删除最大值或者连续删除最小值时，这棵二叉搜索树会变得越来越斜，二叉搜索树的插入和删除操作的时间复杂度可能会退化为O(n)。达不到我们要求的高效率了。

所以，我们要思考：采用二叉树的结构来实现这个优先队列的话，要更应该关注插入操作还是删除操作？

最大堆

很显然，采用二叉树结构来实现优先队列时，更应该关注的是删除操作，连续不断地删除二叉搜索树的最值的话，会使得其越来越不平衡。

那么就不删除左右子树，改为删除根结点。

我们把最大值放在根结点上，要删除最大值时直接删除根结点即可。

故而有一个原则：任何一个结点，都是以它为根的这个子树的最大值。

那么满足这个原则的结构，我们称它为最大堆。

为了是这个二叉树能够平衡一点，我们在实现时，最好的方法应该是使用完全二叉树。

我们引出堆的概念：

堆的概念

堆是一种特殊的树形结构，其中每个结点都有一个值，通常称为“键值”，并且每个结点的键值都满足一定的条件。

其中具有最高（或最低）优先级的元素总是位于堆的根结点。

堆可以分为最大堆和最小堆，

最大堆中父结点的键值总是大于或等于任何一个子结点的键值，

而最小堆中父结点的键值总是小于或等于任何一个子结点的键值。