时间序列：时间序列模型---移动平均过程（Moving Average Process)

news2024/10/5 13:02:27

本文是Quantitative Methods and Analysis: Pairs Trading此书的读书笔记。

我们从白噪声生成另一种时间序列。如下式：

这种时间序列的值由此刻的白噪声实现（white noise realization)加上beta倍的前一刻的白噪声实现。注意这个beta跟CAPM模型的beta没有任何关系，就是一个希腊字母而已。当beta=0时，这个时间序列就是一个白噪声序列。

这种时间序列称为Moving Average(MA) Process移动平均过程。下图分别是这种时间序列的图，以及它的自相关函数图。这里用到的序列是 $y_{t}=\varepsilon_{t}+0.8\varepsilon_{t-1}$ 。

从自相关图可以看出，自相关性在lag=1之后就变得很小，为什么呢？我们来看看连续 $t,t+1,t+2$ 三个时刻的时间序列的值：

从上面的式子可以看出， $t$ 时刻跟时刻 $t+1$ 有共同的项 $\varepsilon_{t}$ ， $t+1$ 时刻和时刻 $t+2$ 之间也有共同项 $\varepsilon_{t+1}$ ，所以，相差一个时间间隔( $\tau=1$ ）时有一定的相关性。但是时刻 $t$ 和时刻 $t+2$ 之间就没有共同的项，相差了两个时间间隔（ $\tau=2$ ）时没有了相关性。白噪声的项都是从正态分布中独立地抽样出来的值，它们本来就是不相关的。因而之后随着时间间隔的加大，时序值之间都是不相关的。

移动平均过程的可预测性：历史数据是否有助于预测时间序列下一刻的值？答案是yes!

在时刻 $t$ ，我们知道前一刻 $t-1$ 的白噪声实现，因此对时刻 $t$ 的预测值是一个来自均值为 $y^{pred}_t=\beta\varepsilon_{t-1}$ 的正态分布的值。时刻 $t$ 的预测值的方差就是 $\varepsilon_{t}$ 的方差，即构造移动平均过程时间序列的白噪声的方差。因为这些均值，方差都是来自历史数据的，所以称为时间序列的条件均值(conditional mean)、条件方差(conditional variance)。