0. 简介

上一节中，我们过完了VIO中的状态预测以及特征点跟踪部分。此时我们已经拿到了光流的特征点信息，而这部分越来越接近我们想要去讲的帧到帧的VIO部分了。这一节，我们将围绕着VIO部分来进行讲解

1. PNP误差更新

我们从之前的博客《经典文献阅读之–R3LIVE》了解到，帧到帧的VIO是将三维地图点投影到上一个图像帧获取二维座标然后通过LK光流法获取到在当前帧的二维坐标，然后可以通过ESIKF计算误差更新状态(计算PNP，更新ESIKF)

而ESIKF更新VIO是通过最小化PNP误差更新的，对应了下面这部分代码

// Pnp求解，然后更新img_pose
if ( op_track.remove_outlier_using_ransac_pnp( img_pose ) == 0 )
{
    cout << ANSI_COLOR_RED_BOLD << "****** Remove_outlier_using_ransac_pnp error*****" << ANSI_COLOR_RESET << endl;
}

我们知道PnP(Perspective-n-Point)是求解3D到2D点的对应方法。它描述了当知道n个3D空间点及其位置，如何估计相机的位姿。详细推导看上面链接即可，这里就不过多展开了。

对于帧间追踪，假设上一帧追踪到$m$个地图点 P = { P 1 , … , P m } \mathcal{P}=\left\{\mathbf{P}_{1}, \ldots, \mathbf{P}_{m}\right\} P={P1​,…,Pm​}，它们在上一帧图像平面上的投影点也是知道的，通过LK光流可以得到这些投影点在当前帧上的估计位置。随后构建重投影误差，通过ESIKF的方式更新状态${\mathbf{x}}_k$。下面我们来看一下代码中PNP是如何求出误差的：

 if ( 1 )
    {
        std::vector< int > status;
        try
        {
            cv::solvePnPRansac( pt_3d_vec, pt_2d_vec, m_intrinsic, cv::Mat(), r_vec, t_vec, false, 200, 1.5, 0.99,
                                status ); // SOLVEPNP_ITERATIVE
        }
        catch ( cv::Exception &e )
        {
            scope_color( ANSI_COLOR_RED_BOLD );
            cout << "Catching a cv exception: " << e.msg << endl;
            return 0;
        }
        if ( if_remove_ourlier )
        {
            // Remove outlier
            m_map_rgb_pts_in_last_frame_pos.clear();
            m_map_rgb_pts_in_current_frame_pos.clear();
            for ( unsigned int i = 0; i < status.size(); i++ )
            {
                int inlier_idx = status[ i ];
                {
                    m_map_rgb_pts_in_last_frame_pos[ map_ptr_vec[ inlier_idx ] ] = pt_2d_vec[ inlier_idx ];
                    m_map_rgb_pts_in_current_frame_pos[ map_ptr_vec[ inlier_idx ] ] = pt_2d_vec[ inlier_idx ];
                }
            }
        }
        update_last_tracking_vector_and_ids();
    }

文中的公式3,4代表了投影误差计算，公式3中${}^C{p}_s$代表了在相机坐标系下的$s$点。$I_{k-1}$代表了上一时刻的图像帧，以及他们在${\mathbf{I}}_{k-1}$中会存在有 { ρ 1 k , … , ρ m k } \left\{\mathcal{\rho}_{1_k}, \ldots, \mathcal{\rho}_{m_k}\right\} {ρ1k​​,…,ρmk​​}，投影误差对应了公式4。

其中公式4中的$\pi {(}^C{p}_s,{\check{x}}_k)\in {\mathbb{R}}^2$项是公式5，其中第一项是针孔相机模型的投影函数，第二项为在线时间校正因子（Online-temporal correction factor）。

相关的符号具体含义可以参考下面的表格

2. 帧到帧VIO

下面就是完成帧到帧的VIO的部分了

 ///vio_esikf，依据重投影误差，更新优化状态量state_out
 res_esikf = vio_esikf( state_out, op_track );
 g_cost_time_logger.record( tim, "Vio_f2f" );
 tim.tic( "Vio_f2m" );

对应的函数为vio_esikf文中提到，测量噪声包含两个来源，一个是像素追踪误差，另一个是地图点定位误差:

其中${}^G{\mathbf{p}}_s^{\mathrm{g}\mathrm{t}}$和${\rho }_{s_k}^{\mathrm{g}\mathrm{t}}$分别为${}^G{\mathbf{p}}_s$和${\rho }_{s_k}$的真值。然后根据公式4将残差一阶泰勒展开

// 遍历当前帧跟踪到的地图点
for ( auto it = op_track.m_map_rgb_pts_in_last_frame_pos.begin(); it != op_track.m_map_rgb_pts_in_last_frame_pos.end(); it++ )
{
    // 取地图坐标系中的地图点坐标
    pt_3d_w = ( ( RGB_pts * ) it->first )->get_pos();
    // 跟踪像素点的速度
    pt_img_vel = ( ( RGB_pts * ) it->first )->m_img_vel;
    // 该地图点对应于上一帧的像素点坐标
    pt_img_measure = vec_2( it->second.x, it->second.y );
    // 将地图点从世界坐标系变换到当前帧相机坐标系
    pt_3d_cam = R_w2c * pt_3d_w + t_w2c;
    // 利用相机模型以及估计的相机-imu时间偏差导致的增量，得到地图点在当前帧图像的投影像素坐标 pt_img_proj
    pt_img_proj = vec_2( fx * pt_3d_cam( 0 ) / pt_3d_cam( 2 ) + cx, fy * pt_3d_cam( 1 ) / pt_3d_cam( 2 ) + cy ) + time_td * pt_img_vel;
    // 计算重投影误差，这里计算的是误差的大小，不用于迭代求解，只是用来确定huber核函数
    double repro_err = ( pt_img_proj - pt_img_measure ).norm();
    double huber_loss_scale = get_huber_loss_scale( repro_err );//huber 1.0
    pt_idx++;
    acc_reprojection_error += repro_err;
    // if (iter_count == 0 || ((repro_err - last_reprojection_error_vec[pt_idx]) < 1.5))
    if ( iter_count == 0 || ( ( repro_err - last_avr_repro_err * 5.0 ) < 0 ) )
    {
        last_reprojection_error_vec[ pt_idx ] = repro_err;
    }
    else
    {
        last_reprojection_error_vec[ pt_idx ] = repro_err;
    }
    avail_pt_count++;

其中

根据这个一阶展开，可以和IMU传播的先验分布组合，获得当前估计位姿的MAP

其中$\Vert x{\Vert }_{\sum }^2=x^T{\sum }^{-1}x$是带有协方差$\sum$的马氏距离平方，${\hat{x}}_k$是IMU传播的状态估计，$\mathcal{H}$是从${\hat{x}}_k$切平面投影到${\check{x}}_k$切平面的状态误差的雅克比矩阵，其中公式（12）的详细推导可以看R2LIVE的E小节。

    // Appendix E of r2live_Supplementary_material.
    // https://github.com/hku-mars/r2live/blob/master/supply/r2live_Supplementary_material.pdf
    // 像素对相机点求雅可比
    mat_pre << fx / pt_3d_cam( 2 ), 0, -fx * pt_3d_cam( 0 ) / pt_3d_cam( 2 ), 0, fy / pt_3d_cam( 2 ), -fy * pt_3d_cam( 1 ) / pt_3d_cam( 2 );

    pt_hat = Sophus::SO3d::hat( ( R_imu.transpose() * ( pt_3d_w - t_imu ) ) );//IMU系下地图点 p(IMU)^ = R(IMU <-- W) * ( p(W) - p(IMU) )
    mat_A = state_iter.rot_ext_i2c.transpose() * pt_hat;//3 * 3,  R（C <-- IMU) * p(imu)^
    mat_B = -state_iter.rot_ext_i2c.transpose() * ( R_imu.transpose() );// - R(C <--IMU) * R(IMU <-- W)
    mat_C = Sophus::SO3d::hat( pt_3d_cam );// p(C)^
    mat_D = -state_iter.rot_ext_i2c.transpose();// - R(C <-- IMU)
    meas_vec.block( pt_idx * 2, 0, 2, 1 ) = ( pt_img_proj - pt_img_measure ) * huber_loss_scale / img_res_scale;//观测向量填充

    H_mat.block( pt_idx * 2, 0, 2, 3 ) = mat_pre * mat_A * huber_loss_scale;// H, 1-2行，前3列, 对R(IMU)雅可比
    H_mat.block( pt_idx * 2, 3, 2, 3 ) = mat_pre * mat_B * huber_loss_scale;// H, 1-2行，4-6列，对P(IMU)雅可比
    if ( DIM_OF_STATES > 24 )
    {
        // Estimate time td. 对时间差的导数
        H_mat.block( pt_idx * 2, 24, 2, 1 ) = pt_img_vel * huber_loss_scale;// H，1-2行， 25-26列，对像素速度雅可比
        // H_mat(pt_idx * 2, 24) = pt_img_vel(0) * huber_loss_scale;
        // H_mat(pt_idx * 2 + 1, 24) = pt_img_vel(1) * huber_loss_scale;
    }
    if ( m_if_estimate_i2c_extrinsic )
    {
        H_mat.block( pt_idx * 2, 18, 2, 3 ) = mat_pre * mat_C * huber_loss_scale;//H ,1-2行，19-21列，对外参R(IMU<--C)雅可比
        H_mat.block( pt_idx * 2, 21, 2, 3 ) = mat_pre * mat_D * huber_loss_scale;//H ,1-2行，22-24列，对外参t(IMU<--C)雅可比
    }

    if ( m_if_estimate_intrinsic )
    {
        H_mat( pt_idx * 2, 25 ) = pt_3d_cam( 0 ) / pt_3d_cam( 2 ) * huber_loss_scale;//H,1行，26列，对内参fx雅可比
        H_mat( pt_idx * 2 + 1, 26 ) = pt_3d_cam( 1 ) / pt_3d_cam( 2 ) * huber_loss_scale;//H,2行，27列，对内参fy雅可比
        H_mat( pt_idx * 2, 27 ) = 1 * huber_loss_scale;//H,1行，28列，对内参cx雅可比
        H_mat( pt_idx * 2 + 1, 28 ) = 1 * huber_loss_scale;//H,2行，29列，对内参cy雅可比
    }
}

给出卡尔曼滤波的相关定义:

卡尔曼增益可以定义为:

状态更新为:

并且根据FAST-LIO2的公式推导，这样的迭代更新过程是等价于高斯牛顿优化的，对应的代码如下。

 H_mat = H_mat / img_res_scale;
 acc_reprojection_error /= total_pt_size;

 last_avr_repro_err = acc_reprojection_error;
 if ( avail_pt_count < minimum_iteration_pts )
 {
     break;
 }

 H_mat_spa = H_mat.sparseView();
 Eigen::SparseMatrix< double > Hsub_T_temp_mat = H_mat_spa.transpose();
 vec_spa = ( state_iter - state_in ).sparseView();
 H_T_H_spa = Hsub_T_temp_mat * H_mat_spa;
 // Notice that we have combine some matrix using () in order to boost the matrix multiplication.
//(H^T * H + P^-1)^-1
 Eigen::SparseMatrix< double > temp_inv_mat =
     ( ( H_T_H_spa.toDense() + eigen_mat< -1, -1 >( state_in.cov * m_cam_measurement_weight ).inverse() ).inverse() ).sparseView();
 KH_spa = temp_inv_mat * ( Hsub_T_temp_mat * H_mat_spa );//K * H
// (H^T * H + P^-1)^-1 * ( H^T * (-Z) ) - ( I - K * H) * (X_k - X_0)
// delta_error_X = X_k+1 - X_k = -K * Z - (I - K * H) * (X_k - X_0)
 solution = ( temp_inv_mat * ( Hsub_T_temp_mat * ( ( -1 * meas_vec.sparseView() ) ) ) - ( I_STATE_spa - KH_spa ) * vec_spa ).toDense();

 state_iter = state_iter + solution;

 if ( fabs( acc_reprojection_error - last_repro_err ) < 0.01 )
 {
     break;
 }
 last_repro_err = acc_reprojection_error;

3. 帧到地图VIO

帧到地图的光度误差更新，这部分代码在帧与帧VIO后，基本上和帧到帧的VIO一样。

在帧间VIO更新后，我们得到了一个更新好的估计状态${\check{x}}_k$，然后我们通过最小跟踪点的光度误差来求解帧到地图，以降低漂移。

 ///以ESIKF形式，依据rgb误差，更新优化状态量state_out
 res_photometric = vio_photometric( state_out, op_track, img_pose );
 g_cost_time_logger.record( tim, "Vio_f2m" );
 g_lio_state = state_out;//更新当前body的状态量
 print_dash_board();
 set_image_pose( img_pose, state_out );//更新image状态量

误差直接用帧到三维地图点的光度误差，公式如下，其中$c_s$是保存在全局地图中点的颜色，${\gamma }_s$是当前帧图像${\mathbf{I}}_k$中观测到的颜色。

为了获得观测颜色以及协方差矩阵${\sum }_{n_{{\gamma }_s}}$，文中预测当前帧图像${\mathbf{I}}_k$上的点坐标${\tilde{\rho }}_{s_k}=\pi {(}^C{p}_s,{\check{x}}_k)$，然后线性差值计算得到相邻像素的RGB颜色。同时两个参数有各自对应的测量噪声。

与前面一样，根据前面的19-21，完成一阶泰勒展开:

 ///遍历所有地图点，计算雅可比矩阵和观测向量
        for ( auto it = op_track.m_map_rgb_pts_in_last_frame_pos.begin(); it != op_track.m_map_rgb_pts_in_last_frame_pos.end(); it++ )
        {
            if ( ( ( RGB_pts * ) it->first )->m_N_rgb < 3 ) //没有rgb跳过
            {
                continue;
            }
            pt_idx++;
            pt_3d_w = ( ( RGB_pts * ) it->first )->get_pos();
            pt_img_vel = ( ( RGB_pts * ) it->first )->m_img_vel;
            pt_img_measure = vec_2( it->second.x, it->second.y );
            pt_3d_cam = R_w2c * pt_3d_w + t_w2c; //3D地图点转换到相机系下
            pt_img_proj = vec_2( fx * pt_3d_cam( 0 ) / pt_3d_cam( 2 ) + cx, fy * pt_3d_cam( 1 ) / pt_3d_cam( 2 ) + cy ) + time_td * pt_img_vel;//投影到像素坐标

            vec_3   pt_rgb = ( ( RGB_pts * ) it->first )->get_rgb(); //地图点rgb
            mat_3_3 pt_rgb_info = mat_3_3::Zero();
            mat_3_3 pt_rgb_cov = ( ( RGB_pts * ) it->first )->get_rgb_cov();//地图点rgb对角协方差矩阵
            for ( int i = 0; i < 3; i++ )
            {
                pt_rgb_info( i, i ) = 1.0 / pt_rgb_cov( i, i ) / 255; //info_rgb(map) = 1 / (cov_rgb(map) * 255)
                R_mat_inv( pt_idx * err_size + i, pt_idx * err_size + i ) = pt_rgb_info( i, i );//斜对角块 R_i = 1 / (cov_pt_i_cov * 255)
                // R_mat_inv( pt_idx * err_size + i, pt_idx * err_size + i ) =  1.0;
            }
            vec_3  obs_rgb_dx, obs_rgb_dy; //影像中x、y方向上的rgb差值
            //投影点从影像插值获取rgb，计算x、y方向上的rgb差值
            vec_3  obs_rgb = image->get_rgb( pt_img_proj( 0 ), pt_img_proj( 1 ), 0, &obs_rgb_dx, &obs_rgb_dy );
            vec_3  photometric_err_vec = ( obs_rgb - pt_rgb ); //rgb误差: 图像对应点rgb - 地图点rgb
            double huber_loss_scale = get_huber_loss_scale( photometric_err_vec.norm() ); //huber 1.0
            photometric_err_vec *= huber_loss_scale;
            double photometric_err = photometric_err_vec.transpose() * pt_rgb_info * photometric_err_vec; //影像误差 e^T * info_rgb(map) * e

            acc_photometric_error += photometric_err;

            last_reprojection_error_vec[ pt_idx ] = photometric_err;//影像误差向量索引i填充

然后下面的图片代表了不同成分的含义

    avail_pt_count++;
    // 像素坐标对相机坐标求导 ，-z^2????
    mat_pre << fx / pt_3d_cam( 2 ), 0, -fx * pt_3d_cam( 0 ) / pt_3d_cam( 2 ), 0, fy / pt_3d_cam( 2 ), -fy * pt_3d_cam( 1 ) / pt_3d_cam( 2 );
    mat_d_pho_d_img = mat_photometric * mat_pre;

    //jacobian与vio_esikf相同
    pt_hat = Sophus::SO3d::hat( ( R_imu.transpose() * ( pt_3d_w - t_imu ) ) ); //IMU系下地图点 p(IMU)^ = R(IMU <-- W) * ( p(W) - p(IMU) )
    mat_A = state_iter.rot_ext_i2c.transpose() * pt_hat; //3 * 3， R（C <-- IMU) * p(imu)^
    mat_B = -state_iter.rot_ext_i2c.transpose() * ( R_imu.transpose() ); // - R(C <--IMU) * R(IMU <-- W)
    mat_C = Sophus::SO3d::hat( pt_3d_cam );// p(C)^
    mat_D = -state_iter.rot_ext_i2c.transpose();// - R(C <-- IMU)
    meas_vec.block( pt_idx * 3, 0, 3, 1 ) = photometric_err_vec ; //观测向量填充

    H_mat.block( pt_idx * 3, 0, 3, 3 ) = mat_d_pho_d_img * mat_A * huber_loss_scale;
    H_mat.block( pt_idx * 3, 3, 3, 3 ) = mat_d_pho_d_img * mat_B * huber_loss_scale;
    if ( 1 )
    {
        if ( m_if_estimate_i2c_extrinsic )
        {
            H_mat.block( pt_idx * 3, 18, 3, 3 ) = mat_d_pho_d_img * mat_C * huber_loss_scale; //外参雅可比
            H_mat.block( pt_idx * 3, 21, 3, 3 ) = mat_d_pho_d_img * mat_D * huber_loss_scale;
        }
    }
}
R_mat_inv_spa = R_mat_inv.sparseView();

last_avr_repro_err = acc_photometric_error;
if ( avail_pt_count < minimum_iteration_pts )
{
    break;
}

…详情请参照古月居