完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历

# 先遍历物品，再遍历背包
for i in range(len(weight)):
    for j in range(weight[i],bagWeight+1):
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
        
# 先遍历背包，再遍历物品       
for j in range(bag_weight + 1):
    for i in range(len(weight)):
        if j >= weight[i]: dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

dp状态图如下：

518.零钱兑换 II

思路：

注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数。组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序

1.确定dp数组以及下标的含义：dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

2.确定递推公式：dp[j] = dp[j] + dp[j - coins[i]]

凑成总金额为 i 的方案数 = 「不使用当前 coin，只使用之前硬币凑成金额 j 的方案数」+「使用当前 coin凑成金额 j−coin的方案数」。

3.dp数组如何初始化：dp[0]=1,dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了

4.确定遍历顺序:外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）,组合数；

外层for遍历背包，内层for循环遍历物品，排列数

5.举例推导dp数组

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        dp = [0 for _ in range(amount+1)]
        dp[0] = 1
        for i in range(len(coins)):
            for j in range(coins[i],amount+1):
                dp[j] =  dp[j]  + dp[j - coins[i]]
        return dp[amount]

377.组合总和 Ⅳ

思路：

1.确定dp数组以及下标的含义：dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]

2.确定递推公式：dp[i] = dp[i]+dp[i - nums[j]]

dp[i] =「不使用当前 nums[j]方案数」+「使用当前 nums[j]凑成 i - nums[j]的方案数」

3.dp数组如何初始化:dp[0]=1

4.遍历顺序 ：求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

5.举例来推导dp数组

我们再来用示例中的例子推导一下：

class Solution:
    def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        dp = [0 for _ in range(target+1)]
        dp[0] = 1

        for i in range(1,target+1):
            for j in nums:
                if i >= j:
                    dp[i] +=  dp[i-j]
        return dp[target]