53. 最大子数组和（中等）

思路

这道题的状态设计和状态转移和 300. 最长递增子序列 类似。但是这里要求的是连续子数组，和子序列不同。

状态定义

首先定义 dp[i]：以 nums[i] 结尾的具有最大和的连续子数组。

状态转移方程

根据状态的定义，dp[i] 一定包含 nums[i]。

这里我们假设 nums[i] > 0，则一定有 dp[i] = dp[i-1] + nums[i]，对于 dp[i-1] 无非两种情况，要么 >= 0 ，要么小于 0。

• 如果dp[i-1] >= 0 ，此时再加入 nums[i]，能够得到和更大的连续子数组；
• 如果 dp[i-1] < 0 ，那么 nums[i] > dp[i-1] ，所以可以构建新的连续子数组，只包含 nums[i] 这个元素，即dp[i] = nums[i];。

综合上述两种情况，我们可以统一考虑，即 dp[i] = max(nums[i], dp[i-1] + nums[i]);

初始化

dp[0] 意味着以 nums[0] 结尾，因此连续子数组中只包含 nums[0]， 那么此时连续子数组的和为 nums[0] 的值，即 dp[0] = nums[0];。

返回的最终结果

这道题和一般的动态规划不一样，不是直接返回dp[n-1]，而是要返回以 nums[i] 结尾的所有情况中的最大值，即 return *max_element(dp.begin(), dp.end());。

代码

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> dp(n);
        dp[0] = nums[0];
        for(int i=1; i<n; ++i){
            dp[i] = max(nums[i], dp[i-1] + nums[i]);
        }
        return *max_element(dp.begin(), dp.end());
    }
};