质数
质数：在大于1的整数中，如果只包含1和本身这俩个约束，就被叫质数或素数。
质数判定试除法
质数的判定——试除法：如果d能整除n，则n/d再除n，结果是一个整数。 d≤n/d。
bool is_prime(int x)
{
if (x < 2) return false;
for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
if (x % i == 0)
return false;
return true;
}分解质因数试除法
质因数：一个正整数的俩个因数都是质数
分解质因数——试除法：
从小到大枚举所有的质因数，这里我们要的是质因子，即因子是质数。
当枚举到i时，不包含任何2到i-1中的质因子
如果n% i==0，则说明n中不包含任何2到i-1之间的质因子，i当中也不包含任何2到i-1中的质因子
，因此i一定是一个质数。
即只要满足if(n%i==0)说明i一定是质数。n中最多只包含一个大于sqrt（n）的质因子（假设n中有俩个大于sqrt（n）的质因子，俩俩乘一块之后肯定大于n），因此枚举的时候可以先把小于根号n的枚举出来，如果最后剩余的数大于1，则说明这个数时大于根号n的质因子
void Prime(int n)//求质因数
{
int count = 0;
for (int i = 2; i <= n/i; ++i)
{
count = 0;
if (n % i == 0)// i是质数
while (n % i == 0)
{
n = n / i;//n变成另一个因数，如n原来是6，i是3，n此刻变为2
count++;//如果要把一个数表示成指数和底数的形式，如8=2^3，count就是指数,i就是底数
}
printf("%d %d\n", i, count);
}
if (n > 1) printf("%d 1\n", n);//大于根号n的质数
}
int main()
{
while (1)
{
int n;
scanf("%d", &n);
Prime(n);
}
return 0;
}筛质数
把一个数组里面，所有数的倍数删掉。
如这里第一个数是2，先把2的所有倍数删掉，接着删除3的所有倍数，删4的所有倍数……
如果某个数没有被筛过的话，说明它是一个质数、
上面算法较为麻烦，我们可这样做，以11为例，我们不需要把2-10的所有数都进行判断，我们把2-10中的质数找出来，看11是不是这些质数的倍数，如果不是则说明11是质数，反之不是质数。即：筛的时候把质数的所有倍数筛出来即可。
方法一 埃氏筛法
时间复杂度 O(nloglogn)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000010;
int n, cnt;
int prime[N];//用来存储质数
bool st[N];//st代表是否被删除，true代表被删除,false代表未删除
void primes()
{
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
if (!st[i])prime[cnt++] = i;//如果当前数没有被筛出去，说明是质数
for (int j = i + i; j <= n; j += i)//把每个数的倍数删掉
{
st[j] = true;
}
}
}
int main()
{
cin>>n;
primes();
cout<<cnt<<endl;
return 0;
}方法二 线性筛法
合数：合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数
这里争取用合数的某个质因子把每个合数筛掉，线性筛法要优于第一种筛法。
using namespace std;
const int N = 1000010;
int n, cnt;
int prime[N];//用来存储质数
bool st[N];//st代表是否被删除，true代表被删除,false代表未删除
void primes()
{
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
if (!st[i])prime[cnt++] = i;//如果当前数没有被筛出去，说明是质数
for (int j = 0; prime[j] <= n / i; j++)//从小到大枚举所有的质数,当质数大于某个数的平方根时，跳出循环
{
st[prime[j] * i] = true;//把primes[j]*i筛掉
if (i % prime[j] == 0) break;
}
}
}
int main()
{
cin >> n;
primes();
cout << cnt << endl;
return 0;
}线性筛法核心：n只会被它的最小质因子筛掉。
原理：j时从小到大在枚举所有的质数。下面图中的pj代表prime[j]
试除法求约数
如果d是n的约数，则n/d也一定能整除n，即我们枚举约数时，枚举到d≤n/d即d≤根号n
#include<vector>
vector<int> get_divisors(int n)
{
vector<int> res;
for(int i=1;i<=n;++i)
if (n % i == 0)
{
res.push_back(i);//如果i是约数，就把i放入到数组中
if (i != n / i) res.push_back(n/i); //当i不等于n/i时，再把n/i放进来，有可能n是i的平方,如果俩个约数一样，数组里面放的约数可能会重复
//所以这里要判断一下
}
sort(res.begin(), res.end());
return res;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
while (n--)
{
int x;
cin >> x;
auto res = get_divisors(x);
for (auto x : res)
cout << x << " ";
cout << endl;
}
return 0;
}约数个数和约数之和
约数个数：如果一个正整数N分解完质因数后可这样表示
则它的约数个数可表示为
1~n中1是所有数的约数，2是所有以2为倍数的约数……，因此1-n当中总共约数的个数和1-n当中
总共倍数的个数是相同的， 因此我们可以通过统计1-n当中有多少倍数，进而统计出约数。
int范围内约数个数最多的大概是1500个。
约数之和：可这样表示
解题思路：把a1-an分解成这种形式，之后所有指数+1再相乘
#include<unordered_map>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 1e9 + 7;
int n;
int main()
{
cin >> n;
unordered_map<int, int> primes;//存储所有的底数和指数
while (n--)
{
int x;
cin >> x;
for (int i = 2; i <= x / i; ++i)
{
while (x % i == 0)
{
x /= i;
primes[i]++;//质因数指数+1
}
}
if (x > 1) primes[x]++;//如果x>1说明x是一个比较大的质因数
}
LL res = 1;
for (auto prime : primes)
res = res * (prime.second + 1) % mod;
cout << res << endl;
return 0;
}求约数和
先求出p的0次方一直加到p的a次方，用这个公式t会由t变为p的1次方，一直乘下去会变为t的a次方
#include<unordered_map>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 1e9 + 7;
int n;
int main()
{
cin >> n;
unordered_map<int, int> primes;//存储所有的底数和指数
while (n--)
{
int x;
cin >> x;
for (int i = 2; i <= x / i; ++i)
{
while (x % i == 0)
{
x /= i;
primes[i]++;//质因数指数+1
}
}
if (x > 1) primes[x]++;//如果x>1说明x是一个比较大的质因数
}
LL res = 1;
for (auto prime : primes)
{
int p = prime.first, a = prime.second;//p表示底数，a表示指数
LL t = 1;
//求p的0次方加和一直到p的a次方
while (a--)
{
t = (t * p + 1) % mod;
}
res = res * t % mod;
}
cout << res << endl;
return 0;
}最大公约数（欧几里得算法）
辗转相除法：一个数能整除a，也能整除b，这个数就能整除a+b，也能整除ax+by，求a和b的最大公约数等于求b和a%b的最大公约数，
#include<iostream>
using namespace std;
int gcb(int a, int b)
{
return b ? gcb(b, a % b) : a;//b如果不是0，返回gcb(b, a % b)，反之返回a
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
while (n--)
{
int a, b;
scanf("%d %d", &a, &b);
printf("%d", gcb(a, b));
}
return 0;
}
