前言

本文将基于UoA的课件介绍机器学习中的回归问题。

涉及的英语比较基础，所以为节省时间（不是full-time，还有其他三门课程，所以时间还是比较紧的），只在我以为需要解释的地方进行解释。

此文不用于任何商业用途，仅仅是个人学习过程笔记以及心得体会，侵必删。

Dependent vs. Explanatory Variables

问题引入

这里只是说有监督学习预测的趋势说法，可以是“与…有关”或者“可以帮助预测…”并不能直接说：“导致…”

Handle Numerical Labels

离散化处理Numerical Labels

squared error和variance什么区别

Squared error和variance都是衡量一个模型（或预测值）与真实值之间差异的指标，但它们从不同的角度衡量这种差异。

Squared error（平方误差）是将每个预测值与对应的真实值之差平方后的平均值，它衡量的是预测值与真实值之间的偏差大小，越大则表示模型的预测效果越差。平方误差在回归分析中广泛使用。

Variance（方差）则是用来描述模型的波动性，它表示模型在不同的数据集上产生的预测结果的差异。一个具有高方差的模型对训练数据的过度拟合，很可能在新数据上表现不佳。相反，一个具有低方差的模型可能过于简单，不能很好地捕捉到数据中的复杂关系。

总之，平方误差和方差都是衡量模型的预测效果的指标，但平方误差更注重衡量偏差的大小，而方差更注重衡量模型的波动性。

Linear Regression

线性回归用于建立一个预测模型，将输入变量（或自变量）和输出变量（或因变量）之间的线性关系拟合到一个线性方程中。它是一种最简单和最常用的回归分析方法之一。

线性回归的目标是找到一条最佳的直线来拟合数据，使预测值和实际值的差异最小。这条直线被称为回归线，其方程为 y = b0 + b1x1 + b2x2 + … + bnxn，其中y是因变量，x1，x2，…，xn是自变量，b0，b1，b2，…，bn是回归系数。

线性回归的过程可以用最小二乘法来实现，即通过最小化实际值和预测值之间的残差平方和来确定回归系数。在实际应用中，可以使用不同的变体，例如岭回归和Lasso回归，以避免过度拟合和提高预测精度。

线性回归可以用于很多实际问题，例如房价预测、销售预测、股票价格预测等。它是机器学习和统计学中最基础的算法之一，也是其他高级算法的基础。

Linear Regression in 1 Dimension

就，比较简单，没啥好说的如下图所示：

Least Squares （最小二乘，重点）

最小二乘是一种常用的回归分析方法，用于拟合数据集中的观测值和预测值之间的关系。在最小二乘中，通过最小化预测值与实际值之间的残差平方和，来确定回归方程的系数。在线性回归中，最小二乘法的目标是找到一条直线，使得这条直线与数据集中所有的点的距离平方和最小。

Least Squares Objective

这里也比较简单，没啥可说的。

Minimizing a Differential Function

机器学习中最小化可微函数的一个简单方法。如果要找到函数f的最小值，我们可以用以下步骤：

1. 求函数f的导数
2. 找到导数f′(w)等于0的点w
3. 选择最小的那个点，并检查f′′(w)是否为正数。

其中，f(w) = Σ(wxi − yi)²是一个常见的函数形式，它表示对于一组数据集合，每个样本的预测值与真实值的差值的平方之和。这个函数也可以写成f(w) = 1/2Σ(wxi − yi)²，或者f(w) = 1/nΣ(wxi − yi)²，或者f(w) = 1/2nΣ(wxi − yi)² + 1000，它们的最小值点相同。

我们可以把f乘以一个正的常数而不改变最小值点，因为导数在同样的位置为0。这个技巧在机器学习中经常被用到。

Finding Least Squares Solution

如何找到使平方误差和最小的解w。
平方误差和是指预测值与真实值之差的平方之和。我们可以把平方误差和的计算式表示为f(w) = 1/2Σ(wxi − yi)²。

通过对f(w)求导，我们可以得到f(w)的导数f′(w) = wa − b，其中a = Σ(xi)²，b = Σxiyi，n是数据点的数量。令f′(w)等于0，解出w的值，即可得到最小平方误差的解w。

公式中的w = b/a，即最小二乘解，也可以写成w = Σ(xi yi)/Σ(xi²)，它表示所有样本中x和y的乘积之和除以x的平方和，是一种用于解决回归问题的常见方法。

如何验证上面的公式w=b/a是最小化平方误差和的最小值。

我们可以通过检查它的二阶导数来证明这个公式是一个最小值。对公式f′(w) = wa − b求二阶导数，可以得到f′′(w) = Σ(xi)²，因为所有的x²都是正数，所以f′′(w)是非负数。如果我们有一个非零的特征（即存在一个xi不等于0），则f′′(w)大于0，这意味着w=b/a确实是平方误差和的最小值。

Least Squares Objective / Solution (Another View)

最小二乘法是如何最小化一个二次函数

这个二次函数是由n个二次项的和组成，每个二次项都是由一个变量wx减去对应的目标值yi并平方得到的。最小化这个二次函数意味着找到最优的w，使得所有wx和yi之间的差距的平方和最小。因为每个二次项都是正的，所以这个二次函数是凸的，只有一个最小值。找到这个最小值，就是最小二乘法的解。

Motivation: Combining Explanatory Variables

如何将多个解释变量（explanatory variables）结合起来建模

以肺癌为例，吸烟并不是唯一导致肺癌的因素，还有其他环境因素如石棉暴露等。我们如何将吸烟和石棉这两个因素的综合影响建模呢？

一种简单的方法是使用二维线性函数来表示这个综合影响，形式为：
ˆy = w1xi1 + w2xi2

其中，w1是特征1（吸烟）的权重，w2是特征2（石棉）的权重，xi1和xi2分别是特征1和特征2的取值。通过乘以相应的权重，将特征1和特征2的值结合起来，得到最终的预测值ˆy。例如，假设我们认为吸烟每天10支烟和暴露在石棉环境中对肺癌的影响分别为25单位，那么对于一个给定的样本，我们可以计算出预测的肺癌发病率ˆyi为10乘以吸烟量加上25乘以石棉暴露量。这样就将多个解释变量的影响结合起来建模，从而更全面地理解和预测目标变量的变化。

Different Notation

Different Notations for Least Squares

在d维特征空间中，我们使用d维线性模型来描述因变量和自变量之间的关系。这个模型可以写成以下形式：

y_hat = w1 * x1 + w2 * x2 + … + wd * xd

其中，wi代表第i个特征的权重，xi代表第i个特征的值。我们也可以使用求和符号来简化这个表达式：

y_hat = Σ(wi * xi)

此外，我们还可以使用向量的形式来表示线性模型，这个形式更加简洁：

y_hat = w.T * x

其中，w是特征权重向量，x是特征向量。通过对训练数据的学习，我们可以得到最佳的特征权重，进而用于预测新的数据点的输出。

Notation

所有的向量都默认为列向量。

特征权重向量w、输出向量y和输入向量xi的形式可以表示为列向量，其中wi、yi和xij分别表示向量的第i个元素。

因此，wT xi是一个标量，表示特征权重向量w与输入向量xi的转置之间的点积。它可以通过将w的元素与xi的对应元素相乘，然后将结果相加得到。这个计算可以通过向量和的形式表示为Σ(wj * xij)，其中j从1到d，表示特征的索引。

此外，输入矩阵X的每一行实际上是输入向量xi的转置，即xT i，其中i从1到n，表示样本的索引。这种表示方式在某些数学运算中更加方便，例如在矩阵乘法中，可以直接将X与权重向量w相乘，得到输出向量y。

Least Squares in d-Dimensions

在d维空间中的线性最小二乘模型通过最小化以下目标函数来实现：
f(w) = 1/2 * Σ(wxi - yi)^2，其中i从1到n，表示样本的索引。

在这里，w是一个向量，而不再是单一的标量。wT xi (预测值)表示向量w与向量xi的内积，即特征的线性组合。

同样，Σ(wxi - yi)^2 (误差)仍然表示真实值yi与我们的预测值wT xi之间的平方差的累加和。

这种方法可以追溯到1801年，高斯（Gauss）将其用于预测小行星谷神星（Ceres）的位置。

在d维空间中，我们如何找到最佳的权重向量w呢？我们是否可以将每个变量的偏导数设为0来解决这个问题呢？

是的，我们可以使用偏导数来找到最佳的权重向量w。具体来说，我们可以对f(w)关于每个分量wj求偏导数，并将其设置为0，从而解出每个分量wj的最优值。这是因为，当所有偏导数都为0时，f(w)取得最小值。这个方法被称为正规方程（normal equation）方法。具体求解方法是，令偏导数为0，得到一个线性方程组，将其解出即可得到权重向量w的值。

Summary

回归分析是一种解决数值型响应变量yi的问题的方法。最小二乘法是拟合线性模型的经典方法，对于只有一个特征的情况，它有一个简单的封闭形式的解决方案，并且可以推广到多个特征的情况。在二维空间中，回归分析的模型是一个二维线性函数。此外，还有许多其他的回归模型，如模型树、回归树等。