1 概述

1.1 检错和纠错

无论通信系统如何可靠，都不能做到完美无缺。因此，必须考虑怎样发现和纠正信号传输中的差错。
- 检错：接收方知道有差错发生，但不知道是怎样的差错，向发送方请求重传（发现错误）
- 纠错：接收方知道有差错发生，而且知道是怎样的差错，自行纠正（发现并改正错误）

1.2 差错控制原理

原理：传输 K 位，加入 r 位冗余（某种算法定义），接收方收到并进行计算比较
思考：检错和纠错哪种好？（假设有 100 件商品，成本都是 1 元，要求：发出 100 件合格的产品）

序号	数量	合格率	增加合格率的成本	总成本	合格的产品数量
1	100	90%	0	100	90
2	100	100%	10	1000	100
3	120	90%	0	120	108

序号1：类似检错。合格的产品数量为 90，不符合要求。
序号2：类似纠错，其中 “增加合格率的成本” 相当于 纠错策略。合格的产品数量为 100，符合要求，但总成本过高。
序号3：类似加入 差错控制。将 “数量” 改为 120 件（冗余），合格的产品数量为 108，符合要求，同时总成本较低。

2 差错控制的方法

2.1 奇偶校验

检错：最常用的 ~ 方法，能检出 一位错位。
原理：在 7 位 ASCII 码后增加一位，使 码中 1 的个数 变成 奇数（奇校验） 或 偶数（偶校验）
- 奇校验：1011 010（1）=> 5 个 1
- 偶校验：1011 010（0） => 4 个 1

2.2 海明码

纠错：通过冗余数据位来检测和纠正差错的编码方式。（只能纠正 1 位错误）
原理：在数据中间加入几个校验码，码距均匀拉大，当某一位出错，会引起几个校验位的值发生变化。
海明距离：一个码字要变成另一个码字时必须改变的最小位数（不同位的个数）。
- 0101 => 0100 => 不同位的个数为 1 位，故海明距离 = 1
- 0101 => 0000 => 不同位的个数为 2 位，故海明距离 = 2
海明不等式： $2^k - 1 \geq m + k$
- k：校验位的个数
- m：数据位的个数
海明码编码方式：
- 规则：第 $2^i$ (i = 0, 1, 2, 3…) 位是 校验位，其余是 数据位
- 数据位和校验位的关系：数据位 = 校验位之和（ $2^i$ ）
  - $3 = 2 + 1 = 2^1 + 2^0$ 表示：位置 3 上的数据位经过位置 2 和位置 1 的校验
  - $10 = 8 + 2 = 2^3 + 2^1$ 表示：位置 10 上的数据位经过位置 8 和位置 2 的校验
- 举例：假设传送信息 1001011，按 偶校验 计算
  - 参加位置 1 校验的有：3、5、7、9、11 =》对应数据：10101 =》偶校验计算结果为 1
  - 参加位置 2 校验的有：3、6、7、10、11 =》对应数据：10111 =》偶校验计算结果为 0
  - 参加位置 4 校验的有：5、6、7 =》对应数据：001 =》偶校验计算结果为 1
  - 参加位置 8 校验的有：9、10、11 =》对应数据：011 =》偶校验计算结果为 0
- 最终 海明码 为校验码校验结果 + 原数据

位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
校验位	$2^0$	$2^1$		$2^2$				$2^3$
数据位			1		0	0	1		0	1	1
偶校验计算结果	1	0		1				0
海明码	1	0	1	1	0	0	1	0	0	1	1

2.3 CRC循环冗余校验码

检错。末尾加入CRC循环冗余校验码 能检错不能纠错，广泛用于网络通信和磁盘存储
四个步骤。原理很复杂，计算时，记住下列四个步骤即可。

3 扩展

3.1 网工软考真题

// 2016年 上半年
[例1]海明码是一种纠错码，一对有效码字之间的海明距离是（14），如果信息位为6位，
要求纠正 1 个错位，按照海明编码规则，需要增加的校验位至少（15）位。
14 A.两个码字的比特数之和
   B.两个码字的比特数之差
   C.两个码字之间相同的比特数
   D.两个码字之间不同的比特数
   
15 A.3   B.4   B.5   B.6