10. 正则表达式匹配（困难）

在这里插入图片描述

题解
- 如果从左向右进行匹配的话，需要考虑字符后是否有 * 。
- 因此选择从右向左扫描更为简单。
  
  *前面肯定有一个字符，它像是一个拷贝器，能够复制前面的单个字符，甚至也可以把这个字符消除（出现 0 次）。
  
  两个字符串是否匹配，取决于最右边的字符是否匹配，以及剩余的子串是否匹配。其中，「剩余的子串是否匹配」，就是本道题的子问题。
- 状态定义：定义 dp[i][j] 为第一个字符串到 i 为止，第二个字符串到 j 为止，两个字符串是否匹配。如果匹配，dp[i][j] = true；如果不匹配，dp[i][j] = false。
- 子问题的考虑
  - 情况一：s[i-1] 和 p[j-1] 匹配，即 s[i-1] == p[j-1] || p[j-1] == '.'。那么只需要考虑剩余的子串是否匹配，即 dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
  - 情况二：s[i-1] 和 p[j-1] 不匹配。这时候不能直接认为两个字符串不匹配，而是需要进一步考虑 p[j-1] == '*' 的情况。但是如果不是 * ，那么肯定不匹配。
    
    对于 * ，它可以匹配 0 个或多个字符。当s[i-1] 和 p[j-2] 匹配，且 p[j-1] == ‘*’ 时，需要考虑三种情况： * 使 dp[j-2] 出现 0 次、1 次或 >=2次。只要其中一种情况能使得两个子串匹配，我们就可以继续考虑剩余子串是否匹配。状态转移方程为：dp[i][j] = dp[i][j-2] || dp[i-1][j-2] || dp[i-1][j];
    
    当s[i-1] 和 p[j-2] 不匹配，且 p[j-1] == ‘*’ 时，可以利用 * 消除不匹配字符 p[j-2]，考虑 s[i-1] 和 p[j-3] 是否匹配。状态转移方程为：dp[i][j] = dp[i][j-2];。
- 初始情况：当两个字符串都是空串的时候，一定匹配，因此 dp[0][0] = true; ；当 s 为空时，如果 p 的右端字符是 * ，那么就可以使得 p 也变成空串；当 p 为空，两个字符串一定不匹配。

代码

class Solution {
public:
    bool isMatch(string s, string p) {
        int m = s.size(), n = p.size();
        vector<vector<bool>> dp(m+1, vector<bool>(n+1, false));
        // 两个空字符串一定匹配
        dp[0][0] = true;
        // 如果s为空串 p[j-1]=* 也能够匹配
        for(int j=1; j<=n; ++j){
            if(p[j-1] == '*'){
                dp[0][j] = dp[0][j-2];
            }
        }
        // 从右向左匹配
        for(int i=1; i<=m; ++i){
            for(int j=1; j<=n; ++j){
                // s[i-1]和p[j-1]匹配
                if(s[i-1] == p[j-1] || p[j-1] == '.'){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
                }
                // s[i-1]和p[j-1]不匹配
                else{
                    // p[j-1] == '*' 且 s[i-1]和p[j-2]匹配
                    if(p[j-1] == '*'){
                        dp[i][j] = dp[i][j-2];
                        if(s[i-1] == p[j-2] || p[j-2] == '.'){
                            dp[i][j] = dp[i][j-2] || dp[i-1][j-2] || dp[i-1][j];
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};