72. 编辑距离（困难）

1. 思路

   • 状态定义：「dp[i][j] 表示第一个字符串到 i ，第二个字符串到 j，要想使得 word1 == word2 ，最少的修改次数」。
   • 状态转移方程：
     • 当第 i 位和第 j 位对应的字符相同时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] ；
     • 当第 i 位和第 j 位对应的字符不同时，有三种修改方式：（1）替换第 i 位：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 ；（2）删除第 i 位：dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1 ；（3）插入第 i 位： dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1 。要使得修改次数最小，就是在三种方案中选择最小的 dp[i][j] ，即 dp[i][j] = min(min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j]), dp[i][j-1]) + 1;
   • 初始化： 需要考虑到 i=0 和 j=0 的情况，当i=0 时，那么只能选择插入，才能等于字符串 word2， 此时的操作次数为 word2 的长度（j），所以 dp[i][j] = j；当 j=0 时，只能选择删除，此时的操作次数为 word1 的长度（即 i），所以 dp[i][j] = i；

2. 代码

   class Solution {
   public:
       int minDistance(string word1, string word2) {
           int n1 = word1.size(), n2 = word2.size();
           vector<vector<int>> dp(n1+1, vector<int>(n2+1, 0));
           for(int i=0; i<=n1; ++i){
               for(int j=0; j<=n2; ++j){
                   // 这题第一行和第一列需要额外初始化
                   if(i == 0){
                       // 第一个字符串为空，想要转变成第二个字符串
                       // 需要有j(第二个字符串当前的长度)个插入操作
                       dp[i][j] = j;
                   }
                   else if(j == 0){
                       dp[i][j] = i;
                   }
                   else{
                       if(word1[i-1] == word2[j-1]){
                           // 两字符相同，无需修改
                           dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
                       }
                       else{
                           // 指向的字符不相同，选择操作次数最小的修改方案
                           dp[i][j] = min(min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j]), dp[i][j-1]) + 1;
                       }
                   }
               }
           }
           return dp[n1][n2];
       }
   };
   

3. 收获

   • 看到困难题就放弃了，不过思路蛮简单的，状态定义和 1143 （求两个字符串的最长公共子串）类似。因此对于比较两个字符串的题目，可以总结为： 「如果是比较两个字符串，那么状态就定义为 ：dp[i][j] 表示为 第一个字符串到 i ，第二个字符串到 j 为止的属性」。
   • 此外，不是所有 dp数组的初始化都为 0 ，像求得最小值的时候（如 322） ，就得定义一个较大的值，才便于比较；而像这题，需要具体考虑初始值。