机器学习——K-Means算法优化（一）代价函数

在K-Means算法中，对K个质心的选择，容易陷入局部最小值，从而每次聚类得到不同的结果。

一、K-Means算法（代价函数）

使用多次的随机初始化，并计算每一次建模得到的代价函数值，选取最小的代价函数值作为聚类结果，代价函数公式如下
$$J(c^{(1)},\dots ,c^{(m)},{\mu }_1,\dots ,{\mu }_K)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{||x^{(i)}-{\mu }_c^{(i)}||}^2$$
现有数据如下

1.658985	4.285136
-3.453687	3.424321
4.838138	-1.151539
…	…

根据观察，这种数据可以分为4类，即直角坐标系的四个象限。

代码如下：首先还是写一个欧氏距离并初始化质心，最后定义一个kmeans函数。

详情请看之前的文章：

二、代码部分

# 计算距离 
def euclDistance(vector1, vector2):  
    return np.sqrt(sum((vector2 - vector1)**2))
  
# 初始化质心
def initCentroids(data, k):  
    numSamples, dim = data.shape
    # k个质心，列数跟样本的列数一样
    centroids = np.zeros((k, dim))  
    # 随机选出k个质心
    for i in range(k):  
        # 随机选取一个样本的索引
        index = int(np.random.uniform(0, numSamples))  
        # 作为初始化的质心
        centroids[i, :] = data[index, :]  
    return centroids  
  
# 传入数据集和k的值
def kmeans(data, k):  
    # 计算样本个数
    numSamples = data.shape[0]   
    # 样本的属性，第一列保存该样本属于哪个簇，第二列保存该样本跟它所属簇的误差
    clusterData = np.array(np.zeros((numSamples, 2)))  
    # 决定质心是否要改变的变量
    clusterChanged = True  
  
    # 初始化质心  
    centroids = initCentroids(data, k)  
  
    while clusterChanged:  
        clusterChanged = False  
        # 循环每一个样本 
        for i in range(numSamples):  
            # 最小距离
            minDist  = 100000.0  
            # 定义样本所属的簇
            minIndex = 0  
            # 循环计算每一个质心与该样本的距离
            for j in range(k):  
                # 循环每一个质心和样本，计算距离
                distance = euclDistance(centroids[j, :], data[i, :])  
                # 如果计算的距离小于最小距离，则更新最小距离
                if distance < minDist:  
                    minDist  = distance  
                    # 更新样本所属的簇
                    minIndex = j  
                    # 更新最小距离
                    clusterData[i, 1] = distance
              
            # 如果样本的所属的簇发生了变化
            if clusterData[i, 0] != minIndex:  
                # 质心要重新计算
                clusterChanged = True
                # 更新样本的簇
                clusterData[i, 0] = minIndex
  
        # 更新质心
        for j in range(k):  
            # 获取第j个簇所有的样本所在的索引
            cluster_index = np.nonzero(clusterData[:, 0] == j)
            # 第j个簇所有的样本点
            pointsInCluster = data[cluster_index]  
            # 计算质心
            centroids[j, :] = np.mean(pointsInCluster, axis = 0) 
#         showCluster(data, k, centroids, clusterData)
  
    return centroids, clusterData  
  
# 显示结果 
def showCluster(data, k, centroids, clusterData):  
    numSamples, dim = data.shape  
    if dim != 2:  
        print("dimension of your data is not 2!")  
        return 1  
  
    # 用不同颜色形状来表示各个类别
    mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', '<r', 'pr']  
    if k > len(mark):  
        print("Your k is too large!")  
        return 1  
  
    # 画样本点  
    for i in range(numSamples):  
        markIndex = int(clusterData[i, 0])  
        plt.plot(data[i, 0], data[i, 1], mark[markIndex])  
  
    # 用不同颜色形状来表示各个类别
    mark = ['*r', '*b', '*g', '*k', '^b', '+b', 'sb', 'db', '<b', 'pb']  
    # 画质心点 
    for i in range(k):  
        plt.plot(centroids[i, 0], centroids[i, 1], mark[i], markersize = 20)  
  
    plt.show()

随后设置K的值为4，并写一个上述的代价函数来对样本点进行迭代。

# 设置k值
k = 4  

min_loss = 10000
min_loss_centroids = np.array([])
min_loss_clusterData = np.array([])

for i in range(50):
    # centroids 簇的中心点 
    centroids, clusterData = kmeans(data, k)  
    loss = sum(clusterData[:,1])/data.shape[0]
    if loss < min_loss:
        min_loss = loss
        min_loss_centroids = centroids
        min_loss_clusterData = clusterData
         
centroids = min_loss_centroids
clusterData = min_loss_clusterData

# 显示结果
showCluster(data, k, centroids, clusterData)

结果如下：

随后我们将每个簇的作用域标记出来，先写出预测函数

# 做预测
x_test = [0,1]
np.tile(x_test,(k,1))
# 误差
np.tile(x_test,(k,1))-centroids
# 误差平方
(np.tile(x_test,(k,1))-centroids)**2
# 误差平方和
((np.tile(x_test,(k,1))-centroids)**2).sum(axis=1)
# 最小值所在的索引号
np.argmin(((np.tile(x_test,(k,1))-centroids)**2).sum(axis=1))
def predict(datas):
    return np.array([np.argmin(((np.tile(data,(k,1))-centroids)**2).sum(axis=1)) for data in datas])

画出簇的作用域

# 获取数据值所在的范围
x_min, x_max = data[:, 0].min() - 1, data[:, 0].max() + 1
y_min, y_max = data[:, 1].min() - 1, data[:, 1].max() + 1

# 生成网格矩阵
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, 0.02),
                     np.arange(y_min, y_max, 0.02))

z = predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])# ravel与flatten类似，多维数据转一维。flatten不会改变原始数据，ravel会改变原始数据
z = z.reshape(xx.shape)
# 等高线图
cs = plt.contourf(xx, yy, z)
# 显示结果
showCluster(data, k, centroids, clusterData)  

最后分成了类似坐标系的四块区域。