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极限的概念,性质以及存在准则
求极限的方法
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常用的基本极限
1的无穷次方常用的结论
例题:
方法2:利用等价无穷小代换求极限
例题:
常用的等价无穷小
利用有理运算法则求极限
例题
极限的概念,性质以及存在准则
求极限的方法
我们先讲画对号的这五类极限的求法
常用的基本极限
后面的两个极限有记忆方法:
我们写两个和这个类似的极限,判断极限值是否存在:
答:极限值不存在,我们首先要知道一个定义:对于这类幂指函数,我们必须保证底数大于0,对于第一个极限,当x从x轴的左侧趋向于0时,底数是小于0的,不符合我们的条件。
而对于第二个极限,当x趋向于负无穷时,函数的底数是负数,不符合条件。
那么对于下面的两个极限应该如何求呢?
我们可以将幂指函数转换为对数函数进行求解:
所以对于这类形式的无穷大的零次方的结果为1.
对于这类问题,我们可以记忆为老大问题:
例如当x趋向于无穷大的时候,最高此项代表的就是老大,当x趋向于0时,最低此项代表的就是老大。
我们举几个例子:
我们需要分情况:
1的无穷次方常用的结论
我们进行证明:
我们需要保证里面的a(x)的极限为0,B(x)的极限为无穷。
例题:
第一种写法:
这种写法是错误的:
正确的写法:
第二种解法:
我们先检查极限类型,为1的无穷。
方法2:利用等价无穷小代换求极限
乘除关系可以换,加减关系看情况换。
对于减法,当代换之后的两个无穷小不等价的情况下,可以使用代换。
简单的说:不等价的时候,可以用减法代换。
我们进行证明:
对于加法,当代换之后的两个求极限的结果存在,并且不为-1,我们就可以使用加法的代换。
例题:
常用的等价无穷小
我们对这个极限进行证明:
由上面的两条就可以推出这个结论:
我们可以使用洛必达法则进行证明:
例题
不对,原因如下:
我们该如何做题呢?
我们先分析极限的形式:
极限的形式为0比0
第二种解法:洛必达法则:
第三种解法:使用拉格朗日中值定理:
先看极限的形式:
极限的形式为0比0
第二种方法:利用洛必达法则:
方法3:使用拉格朗日中值定理:
解法2:
我们对这个结论进行证明:
对于条件我们进行说明:
我们使用这个结论来解决题目:
这个结论适用于求幂指函数的极限。
我们只对a(x)和a(x)*B(x)有要求,对B(x)本身没有要求:
例如:
极限的形式是: 零比零
我们先判断极限的形式:
极限的形式是0比0
第二种方法:我们可以使用洛必达法则:
利用有理运算法则求极限
前提条件是两个极限存在才可以使用。
我们可以使用反证法:
例如:
只有一个存在和一个不存在相加减的结果是确定的不存在,其他都是不确定的。
我们可以把极限中的非零因子提取出来。
如果极限存在的话,假如分母的极限为0,那么分子的极限一定为0.
我们进行思考,如果极限存在,假如分子的极限为0,那么分母的极限是否为0?
我们只需举出一个反例即可:
什么情况下分子为0可以推出分母为0?
极限为A并且不等于0的前提下,分子的极限为0可以推出分母的极限为0.
总结:商的极限存在,分母为0可以推出分子为0。商的极限存在并且不等于0的前提下,分子为0可以推出分母为0.
例题
我们引入一个结论:
我们进行证明:
我们先看极限的类型,是无穷比无穷。
对于无穷比无穷,我们采用的方法是把无穷因子提取出来,这里的无穷因子是x
第二种方法:
我们进行分解:
第三种方法:抓大头
适合选择题或者填空题: