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MCMC是从复杂概率模型中采样的通用技术。

蒙特卡洛
马尔可夫链
Metropolis-Hastings算法（点击文末“阅读原文”获取完整代码数据）。

问题

如果需要计算有复杂后验pdf p（θ| y）的随机变量θ的函数f（θ）的平均值或期望值。

您可能需要计算后验概率分布p（θ）的最大值。

解决期望值的一种方法是从p（θ）绘制N个随机样本，当N足够大时，我们可以通过以下公式逼近期望值或最大值

将相同的策略应用于通过从p（θ| y）采样并取样本集中的最大值来找到argmaxp（θ| y）。

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解决方法

1.1直接模拟

1.2逆CDF

1.3拒绝/接受抽样

如果我们不知道精确/标准化的pdf或非常复杂，则MCMC会派上用场。

马尔可夫链

为了模拟马尔可夫链，我们必须制定一个过渡核T（xi，xj）。过渡核是从状态xi迁移到状态xj的概率。

马尔可夫链的收敛性意味着它具有平稳分布π。马尔可夫链的统计分布是平稳的,那么它意味着分布不会随着时间的推移而改变。

Metropolis算法

对于一个Markov链是平稳的。基本上表示

处于状态x并转换为状态x'的概率必须等于处于状态x'并转换为状态x的概率

或者

方法是将转换分为两个子步骤；候选和接受拒绝。

令q（x'| x）表示候选密度，我们可以使用概率 α（x'| x）来调整q 。

候选分布 Q（X'| X）是给定的候选X的状态X'的条件概率，

和接受分布 α（x'| x）的条件概率接受候选的状态X'-X'。我们设计了接受概率函数，以满足详细的平衡。

该转移概率可以写成：

插入上一个方程式，我们有

Metropolis-Hastings算法

A的选择遵循以下逻辑。

在q下从x到x'的转移太频繁了。因此，我们应该选择α（x | x'）=1。但是，为了满足细致平稳，我们有

下一步是选择满足上述条件的接受。Metropolis-Hastings是一种常见的选择：

即，当接受度大于1时，我们总是接受，而当接受度小于1时，我们将相应地拒绝。因此，Metropolis-Hastings算法包含以下内容：

初始化：随机选择一个初始状态x；
根据q（x'| x）随机选择一个新状态x';

3.接受根据α（x'| x）的状态。如果不接受，则不会进行转移，因此无需更新任何内容。否则，转移为x'；

4.转移到2，直到生成T状态；

5.保存状态x，执行2。

原则上，我们从分布P（x）提取保存的状态，因为步骤4保证它们是不相关的。必须根据候选分布等不同因素来选择T的值。重要的是，尚不清楚应该使用哪种分布q（x'| x）；必须针对当前的特定问题进行调整。

属性

Metropolis-Hastings算法的一个有趣特性是它仅取决于比率

是候选样本x'与先前样本xt之间的概率，

是两个方向（从xt到x'，反之亦然）的候选密度之比。如果候选密度对称，则等于1。

马尔可夫链从任意初始值x0开始，并且算法运行多次迭代，直到“初始状态”被“忘记”为止。这些被丢弃的样本称为预烧（burn-in）。其余的x可接受值集代表分布P（x）中的样本

Metropolis采样

一个简单的Metropolis-Hastings采样

让我们看看从伽玛分布模拟任意形状和比例参数，使用具有Metropolis-Hastings采样算法。

下面给出了Metropolis-Hastings采样器的函数。该链初始化为零，并在每个阶段都建议使用N（a / b，a /（b * b））个候选对象。

基于正态分布且均值和方差相同gamma的Metropolis-Hastings独立采样

从某种状态开始xt。代码中的x。
在代码中提出一个新的状态x'候选
计算“接受概率”
从[0,1] 得出一些均匀分布的随机数u；如果u <α接受该点，则设置xt + 1 = x'。否则，拒绝它并设置xt + 1 = xt。

MH可视化

set.seed(123)
        for (i in 2:n) {
                can <- rnorm(1, mu, sig)
                aprob <- min(1, (dgamma(can, a, b)/dgamma(x, 
                        a, b))/(dnorm(can, mu, sig)/dnorm(x, 
                        mu, sig)))
                u <- runif(1)
                if (u < aprob) 
                        x <- can
                vec[i] <- x

画图

设置参数。

nrep<- 54000
burnin<- 4000
shape<- 2.5
rate<-2.6

修改图，仅包含预烧期后的链

vec=vec[-(1:burnin)]
#vec=vec[burnin:length(vec)]

par(mfrow=c(2,1)) # 更改主框架，在一帧中有多少个图形
plot(ts(vec), xlab="Chain", ylab="Draws")
abline(h = mean(vec), lwd="2", col="red" )

点击标题查阅往期内容

Python用MCMC马尔科夫链蒙特卡洛、拒绝抽样和Metropolis-Hastings采样算法

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Min.  1st Qu.   Median     Mean  3rd Qu.     Max. 
0.007013 0.435600 0.724800 0.843300 1.133000 3.149000

var(vec[-(1:burnin)])

[1] 0.2976507

初始值

第一个样本 vec 是我们链的初始/起始值。我们可以更改它，以查看收敛是否发生了变化。

x <- 3*a/b
        vec[1] <- x

选择方案

如果候选密度与目标分布P（x）的形状匹配，即q（x'| xt）≈P（x'）q（x'|），则该算法效果最佳。 xt）≈P（x'）。如果使用正态候选密度q，则在预烧期间必须调整方差参数σ2。

通常，这是通过计算接受率来完成的，接受率是在最后N个样本的窗口中接受的候选样本的比例。

如果σ2太大，则接受率将非常低，因为候选可能落在概率密度低得多的区域中，因此a1将非常小，且链将收敛得非常慢。

示例2：回归的贝叶斯估计

Metropolis-Hastings采样用于贝叶斯估计回归模型。

设定参数

DGP和图

# 创建独立的x值，大约为零
x <- (-(Size-1)/2):((Size-1)/2)
# 根据ax + b + N（0，sd）创建相关值
y <-  trueA * x + trueB + rnorm(n=Size,mean=0,sd=trueSd)

正态分布拟然

pred = a*x + b
    singlelikelihoods = dnorm(y, mean = pred, sd = sd, log = T)
    sumll = sum(singlelikelihoods)

为什么使用对数

似然函数中概率的对数，这也是我求和所有数据点的概率（乘积的对数等于对数之和）的原因。

我们为什么要做这个？强烈建议这样做，因为许多小概率相乘的概率会变得很小。在某个阶段，计算机程序会陷入数值四舍五入或下溢问题。

因此，当您编写概率时，请始终使用对数

示例：绘制斜率a的似然曲线

# 示例：绘制斜率a的似然曲线
plot (seq(3, 7, by=.05), slopelikelihoods , type="l")

先验分布

这三个参数的均匀分布和正态分布。

# 先验分布
# 更改优先级，log为True，因此这些均为log
density/likelihood
    aprior = dunif(a, min=0, max=10, log = T)
    bprior = dnorm(b, sd = 2, log = T)
    sdprior = dunif(sd, min=0, max=30, log = T)

后验

先验和概率的乘积是MCMC将要处理的实际量。此函数称为后验函数。同样，这里我们使用和，因为我们使用对数。

posterior <- function(param){
   return (likelihood(param) + prior(param))
}

Metropolis算法

该算法是从后验密度中采样最常见的贝叶斯统计应用之一。

上面定义的后验。

从随机参数值开始
根据某个候选函数的概率密度，选择一个接近旧值的新参数值
以概率p（new）/ p（old）跳到这个新点，其中p是目标函数，并且p> 1也意味着跳跃
请注意，我们有一个对称的跳跃/ 候选分布 q（x'| x）。

标准差σ是固定的。

所以接受概率等于

######## Metropolis 算法 ################
    for (i in 1:iterations){
        probab = exp(posterior(proposal) - posterior(chain[i,]))
        if (runif(1) < probab){
            chain[i+1,] = proposal
        }else{
            chain[i+1,] = chain[i,]
        }

实施

（e）输出接受的值，并解释。

chain = metrMCMC(startvalue, 5500)
burnIn = 5000
accep = 1-mean(duplicated(chain[-(1:burnIn),]))

算法的第一步可能会因初始值而有偏差，因此通常会被丢弃来进行进一步分析（预烧期）。令人感兴趣的输出是接受率：候选多久被算法接受拒绝一次？候选函数会影响接受率：通常，候选越接近，接受率就越大。但是，非常高的接受率通常是无益的：这意味着算法在同一点上“停留”，这导致对参数空间（混合）的处理不够理想。

我们还可以更改初始值，以查看其是否更改结果/是否收敛。

startvalue = c(4,0,10)

小结

V1              V2                V3        
 Min.   :4.068   Min.   :-6.7072   Min.   : 6.787  
 1st Qu.:4.913   1st Qu.:-2.6973   1st Qu.: 9.323  
 Median :5.052   Median :-1.7551   Median :10.178  
 Mean   :5.052   Mean   :-1.7377   Mean   :10.385  
 3rd Qu.:5.193   3rd Qu.:-0.8134   3rd Qu.:11.166  
 Max.   :5.989   Max.   : 4.8425   Max.   :19.223

#比较:
summary(lm(y~x))

Call:
lm(formula = y ~ x)
Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-22.259  -6.032  -1.718   6.955  19.892 
Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  -3.1756     1.7566  -1.808    0.081 .  
x             5.0469     0.1964  25.697   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ?**?0.001 ?*?0.01 ??0.05 ??0.1 ??1
Residual standard error: 9.78 on 29 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9579,    Adjusted R-squared:  0.9565 
F-statistic: 660.4 on 1 and 29 DF,  p-value: < 2.2e-16

summary(lm(y~x))$sigma

[1] 9.780494

coefficients(lm(y~x))[1]

(Intercept) 
  -3.175555

coefficients(lm(y~x))[2]

x 
5.046873

总结：

### 总结: #######################
par(mfrow = c(2,3))
hist(chain[-(1:burnIn),1],prob=TRUE,nclass=30,col="109" 
abline(v = mean(chain[-(1:burnIn),1]), lwd="2")