目录
- 1 红黑树的概念
- 2 红黑树的性质
- 3 红黑树节点的定义
- 4 红黑树的插入操作
- 情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红。
- 情况二: cur为红，p为红，g为黑（不存在连续的红结点），u不存在/u存在且为黑(仅仅单旋)
- 情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑（旋转方法与情况二不同——双旋）
- 插入的三种情况代码演示及详解注释：
- 5 如何验证一棵树是否是红黑树
- 6 红黑树的删除
- 7 红黑树与AVL树的比较
- 8 红黑树的应用
- 9 红黑树模拟实现STL中的map与set
- 红黑树的迭代器
- operator++()与operator--()
- 对红黑树进行改造
- map的模拟实现
- set的模拟实现
1 红黑树的概念
红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。
2 红黑树的性质
性质1️⃣：每个结点不是红色就是黑色
性质2️⃣：根节点是黑色的
性质3️⃣： 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的，也就是说没有连续的红节点（仅此而已，这里没说如果一个结点是黑色的孩子必须是红色的）。
性质4️⃣：对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上（这个简单路径包含NIL这个空结点，这里的黑色结点数要算上NIL），均包含相同数目的黑色结点。
性质5️⃣：每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)。
为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？
因为一颗红黑树的所有路径上都有两个黑色结点，那么
最短的情况：全黑，就是把根节点算上有两个黑色结点即可。
最长的情况：一黑一红间隔开来，总共也是两个黑结点，一共最长有两黑两红四个结点。
3 红黑树节点的定义
// 节点的颜色
enum Colour//颜色用枚举常量来标识
{
RED,
BLACK,
};
// 红黑树节点的定义
template<class K, class V>
struct RBTreeNode//
{
pair<K, V> _kv;// 节点的值域键值对
RBTreeNode<K, V>* _left;// 节点的左孩子
RBTreeNode<K, V>* _right;// 节点的右孩子
RBTreeNode<K, V>* _parent;// 节点的双亲(红黑树需要旋转，为了实现简单给出该字段)
Colour _col;// 节点的颜色
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)//结点的构造函数
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _col(RED)//默认结点是红色的
{}
};
在节点的定义中，为什么要将节点的默认颜色给成红色的？
因为随便插入一个结点就是黑色的话，那么本条路径上的黑色结点就增加了一个，那么就直接违反了性质4；随便插入一个红节点，有可能违反性质3，也有可能不违反，违反的话，后续的插入操作会进行处理；那么这里就选那个损失最小的那个方案，将默认颜色给成红色的。
4 红黑树的插入操作
红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：
按照二叉搜索的树规则插入新节点
检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏
因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整。
但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质3不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：(约定:cur为当前新插入的节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点)
情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红。
解决方案：将p,u改为黑，g改为红(为了防止凭空多出一个黑节点)，
接下来如果g就已经是根了，那么把g再变黑就可以了；
如果g就不是根，把g当成cur，继续向上调整。
情况二: cur为红，p为红，g为黑（不存在连续的红结点），u不存在/u存在且为黑(仅仅单旋)
解决方案：(旋转+变色)
p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则对g进行右单旋转，p变黑，g变红
相反，
p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则对g进行左单旋转，变色的时候和上面一样，p变黑，g变红。
我在这里学习的时候遇到一个疑问。情况二当u不存在的时候，直接把p变黑，g变红，需要向上处理就在往上处理，g就是根的时候就把g变黑。这里对于情况二是为了统一处理起来方便吗?能像我说的这样处理吗？
答案是不可以的，因为红黑树的路径上黑色结点的数量包含空结点，P变黑g变红，那g的右边就只有一个黑结点，与g左边每条路径上都有两个黑色结点的数量不同，所以不能这样处理。
u的情况有两种：
1.如果u节点不存在，则cur一定是新插入节点，因为如果cur不是新插入节点则cur和p一定有一个节点的颜色是黑色，就不满足性质4：每条路径黑色节点个数相同。
2.如果u节点存在，则其一定是黑色的，那么cur节点原来的颜色一定是黑色的，下图看到cur是红色的原因是因为cur的子树在调整的过程中将cur节点的颜色由黑色改成红色。
情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑（旋转方法与情况二不同——双旋）
解决方案：
p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转，变成情况2，然后再对g进行右旋+变色
相反，
p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转，变成情况2，然后再对g进行左旋+变色
总结：插入新节点之后怎么调整关键就看u叔叔结点。 对于情况二和情况三我们这里的处理方法直接一步到位，直接让cur为根节点的子树完全符合红黑树的特性，不论cur为根、还是一颗子树，都无需再进行处理。
插入的三种情况代码演示及详解注释：
while (parent && parent->_col == RED)//如果双亲结点存在且为红
{
Node* grandfater = parent->_parent;//祖父结点
if (parent == grandfater->_left)//如果双亲结点是祖父结点的左
{
Node* uncle = grandfater->_right;//那么叔叔结点就是祖父结点的右
// 情况一 uncle存在且为红
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
//双亲结点和叔叔结点变为黑、祖父节点变为红
parent->_col = uncle->_col = BLACK;//
grandfater->_col = RED;//
//往上走继续更新
cur = grandfater;
parent = cur->_parent;
}
else//uncle不存在/存在且为黑
{
if (cur == parent->_left)
{
//情况二的让祖父右单旋+变色
RotateR(grandfater);
parent->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
}
else
{
// 情况三的左右双旋+变色
RotateL(parent);
RotateR(grandfater);
cur->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
}
//对于情况二和情况三的处理直接一步到位，直接让cur为根节点的子树完全符合红黑树的特性，
//不论cur为根还是一颗子树，都无需再进行处理，所以直接用break
break;
}
}
else //如果双亲结点是祖父结点的右,情况二和情况三的旋转方向需要和上面的相反
{
Node* uncle = grandfater->_left;//那么叔叔结点就是祖父的左
// 情况一：uncle存在且为红和上面的情况一代码是一样的
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
cur = grandfater;
parent = cur->_parent;
}
else
{//情况二：让祖父左单旋+变色
// g p
// p ---------------> g c
// c
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandfater);
parent->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
}
else//情况三：右左双旋+变色
{
// g c
// p-----> g p
// c
RotateR(parent);
RotateL(grandfater);
cur->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
}
//对于情况二和情况三的处理直接一步到位，直接让cur为根节点的子树完全符合红黑树的特性，
//不论cur为根还是一颗子树，都无需再进行处理，所以直接用break
break;
}
}
}
动态效果演示：
- 以升序插入构建红黑树
- 以降序插入构建红黑树
- 随机插入构建红黑树
5 如何验证一棵树是否是红黑树
红黑树的检测分为两步：
- 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
void Inorder()
{
_Inorder(_root);
}
void _Inorder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_Inorder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_Inorder(root->_right);
}
- 检测其是否满足红黑树的性质
对于性质1不是黑色就是红色枚举常量就可以保证。
验证代码：
bool Check(Node* root, int blackNum, const int ref)
{
//验证性质4
if (root == nullptr)
{
//cout << blackNum << endl;
if (blackNum != ref)
{
cout << "违反规则：本条路径的黑色节点的数量跟最左路径不相等" << endl;
return false;
}
return true;
}
//验证性质3
if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
{
cout << "违反规则：出现连续红色节点" << endl;
return false;
}
//计算黑色结点的个数
if (root->_col == BLACK)
{
++blackNum;
}
return Check(root->_left, blackNum, ref)
&& Check(root->_right, blackNum, ref);
}
bool IsBalance()
{
if (_root == nullptr)
{
return true;
}
if (_root->_col != BLACK)//验证性质2
{
return false;
}
//在左边的路径上一直往左走寻找黑色结点的个数作为基准值
//要让其满足性质4
int ref = 0;
Node* left = _root;
while (left)
{
if (left->_col == BLACK)
{
++ref;
}
left = left->_left;
}
//用基准值传参
return Check(_root, 0, ref);
}
6 红黑树的删除
红黑树的删除不做讲解，有兴趣的老铁可参考：《算法导论》或者《STL源码剖析》一篇比较好的文章
7 红黑树与AVL树的比较
红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O( l o g 2 N log_2 N log2N)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。
8 红黑树的应用
- C++ STL库 – map/set、mutil_map/mutil_set
- Java 库
- linux内核
- 其他一些库
9 红黑树模拟实现STL中的map与set
下面内容有兴趣的老铁可以看一下。
红黑树的迭代器
迭代器的好处是可以方便遍历，是数据结构的底层实现与用户透明。如果想要给红黑树增加迭代器，需要考虑以下问题：STL明确规定，begin()与end()代表的是一段前闭后开的区间，而对红黑树进行中序遍历后，可以得到一个有序的序列，因此：begin()可以放在红黑树中最小节点(即最左侧节点)的位置，end()放在最大节点(最右侧节点)的下一个位置，关键是最大节点的下一个位置在哪块？
能否给成nullptr呢？答案是行不通的，因为对end()位置的迭代器进行–操作，必须要能找最后一个元素，此处就不行，因此最好的方式是将end()放在头结点的位置：
operator++()与operator–()
operator++()与operator–()的模拟实现代码及详解注释：
template<class T, class Ref, class Ptr>
struct __RBTreeIterator//整个迭代器类
{
typedef RBTreeNode<T> Node;
typedef __RBTreeIterator<T, Ref, Ptr> Self;
typedef __RBTreeIterator<T, T&, T*> iterator;
Node* _node;
__RBTreeIterator(Node* node)
:_node(node)
{}
// 普通迭代器的时候，他是拷贝构造
// const迭代器的时候，他是构造，支持用普通迭代器构造const迭代器
__RBTreeIterator(const iterator& s)
:_node(s._node)
{}
Ref operator*()
{
return _node->_data;
}
Ptr operator->()
{
return &_node->_data;
//对于_node里的date如果一但能用箭头就一定是结构体类型的，
//此时返回这个结构体数据类型的地址就可以
}
//中序遍历顺序 左 根 右
Self& operator++()
{
if (_node->_right)
//对于任何一个节点，把这个结点视为它自己这个子树的根节点，
//此时已经访问完左子树，才能访问到他这里，
//那下一个结点就看右子树的最左结点就可以
{
Node* min = _node->_right;
while (min->_left)
{
min = min->_left;
}
_node = min;
}
else
//如果右子树为空，就看双亲结点，
//如果当前结点是双亲结点的左孩子，那么才会访问这个双亲结点（想一下中序遍历的顺序）；
//如果当前结点是双亲结点的右孩子，就是已经访问过这个双亲结点了，
//那么需要再循环往上找双亲结点，直到找见双亲节点是cur结点的左孩子为止。
{
Node* cur = _node;
Node* parent = cur->_parent;
while (parent && cur == parent->_right)
{
cur = cur->_parent;
parent = parent->_parent;
}
_node = parent;
}
return *this;
}
//中序遍历顺序 右 根 左
Self& operator--()
{ //和++的思路相反即可
//对于任何一个节点，把这个结点视为它自己这个子树的根节点，
//此时已经访问完右子树，才能访问到他这里，
//那下一个结点就看左子树的最右结点就可以
if (_node->_left)
{
Node* max = _node->_left;
while (max->_right)
{
max = max->_right;
}
_node = max;
}
else
//如果左子树为空，就看双亲结点，
//如果当前结点是双亲结点的右孩子，那么才会访问这个双亲结点（想一下中序遍历的逆序）；
//如果当前结点是双亲结点的左孩子，就是已经访问过这个双亲结点了，
//那么需要再循环往上找双亲结点，直到找见双亲节点是cur结点的右孩子为止。
{
Node* cur = _node;
Node* parent = cur->_parent;
while (parent && cur == parent->_left)
{
cur = cur->_parent;
parent = parent->_parent;
}
_node = parent;
}
return *this;
}
bool operator!=(const Self& s) const
{
return _node != s._node;
}
bool operator==(const Self& s) const
{
return _node == s._node;
}
};
对红黑树进行改造
下面的内容需要注意：
1.在实现迭代器类的时候，不论是map还是set都是需要实现insert的，返回一个pair键值对，需要用普通迭代器来拷贝构造一个const迭代器，正常来讲我们肯定认为是不可以的，但是实际我们使用所有STL容器的一个普通迭代器给const迭代器赋值的时候，发现都是可以赋值的，那它们是怎么实现的呢？拿红黑树的迭代器来模拟一下，具体实现如下：
// 普通迭代器的时候，他是拷贝构造
// const迭代器的时候，他是构造，支持用普通迭代器构造const迭代器
__RBTreeIterator(const iterator& s)//神来之笔拷贝构造
:_node(s._node)
{}
2.在比较大小时，对于set比的是K，而对于map比较的是K，V键值对的K，所以这里运用仿函数，把map中的K提取出来。
enum Colour//两种颜色，使用枚举类型
{
RED,
BLACK,
};
template<class T>
struct RBTreeNode//红黑树的结点类
{
T _data;
RBTreeNode<T>* _left;
RBTreeNode<T>* _right;
RBTreeNode<T>* _parent;
Colour _col;
RBTreeNode(const T& data)
:_data(data)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _col(RED)//默认给红色
{}
};
template<class T, class Ref, class Ptr>
struct __RBTreeIterator//红黑树的迭代器类
{
typedef RBTreeNode<T> Node;
typedef __RBTreeIterator<T, Ref, Ptr> Self;//
//Ref对应 T&或者const T& ；Ptr对应T*或者const T*
typedef __RBTreeIterator<T, T&, T*> iterator;
//￥￥￥￥￥全篇精华，为了让普通迭代器可以给const迭代器赋值(拷贝构造)￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥
Node* _node;
__RBTreeIterator(Node* node)//构造
:_node(node)
{}
// 普通迭代器的时候，他是拷贝构造
// const迭代器的时候，他是构造，支持用普通迭代器构造const迭代器
__RBTreeIterator(const iterator& s)//神来之笔拷贝构造
:_node(s._node)
{}
Ref operator*()//*运算符重载
{
return _node->_data;
}
Ptr operator->()//->运算符重载
{
return &_node->_data;
//对于_node里的date如果一但能用箭头就一定是结构体类型的，此时返回这个结构体数据类型的地址就可以
}
//中序遍历顺序 左 根 右
Self& operator++()
{
//略
}
//中序遍历顺序 右 根 左
Self& operator--()
{
//略
}
bool operator!=(const Self& s) const
{
return _node != s._node;
}
bool operator==(const Self& s) const
{
return _node == s._node;
}
};
// map->RBTree<K, pair<const K, V>, MapKeyOfT> _t;
// set->RBTree<K, K, SetKeyOfT> _t;
template<class K, class T, class KeyOfT>
class RBTree
{
typedef RBTreeNode<T> Node;
public:
typedef __RBTreeIterator<T, T&, T*> iterator;
typedef __RBTreeIterator<T, const T&, const T*> const_iterator;
iterator begin()//begin就是最左(小)结点
{
Node* left = _root;
while (left && left->_left)
{
left = left->_left;
}
return iterator(left);
}
iterator end()//这里就暂时给了一个nullptr的end()迭代器
{
return iterator(nullptr);
}
const_iterator begin() const
{
Node* left = _root;
while (left && left->_left)
{
left = left->_left;
}
return const_iterator(left);
}
const_iterator end() const
{
return const_iterator(nullptr);
}
pair<iterator, bool> Insert(const T& data)//
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(data);
_root->_col = BLACK;
return make_pair(iterator(_root), true);
}
KeyOfT kot;//仿函数的应用
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (kot(cur->_data) < kot(data))//仿函数的应用
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (kot(cur->_data) > kot(data))//仿函数的应用
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return make_pair(iterator(cur), false);
}
}
cur = new Node(data);
Node* newnode = cur;
cur->_col = RED;
if (kot(parent->_data) < kot(data))
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfater = parent->_parent;
if (parent == grandfater->_left)
{
Node* uncle = grandfater->_right;
// 情况一 uncle存在且为红
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
cur = grandfater;
parent = cur->_parent;
}
else
{
if (cur == parent->_left)
{
// 情况二
RotateR(grandfater);
parent->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
}
else
{
// 情况三
RotateL(parent);
RotateR(grandfater);
cur->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
}
break;
}
}
else // (parent == grandfater->_right)
{
Node* uncle = grandfater->_left;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
cur = grandfater;
parent = cur->_parent;
}
else
{
// g
// p
// c
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandfater);
parent->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
}
else
{
// g
// p
// c
RotateR(parent);
RotateL(grandfater);
cur->_col = BLACK;
grandfater->_col = RED;
}
break;
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return make_pair(iterator(newnode), true);
}
void RotateL(Node* parent)//左旋
{
//略
}
void RotateR(Node* parent)//右旋
{
//略
}
void Inorder()//中序遍历
{
_Inorder(_root);
}
void _Inorder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_Inorder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_Inorder(root->_right);
}
bool Check(Node* root, int blackNum, const int ref)//验证一颗树是否是红黑树
{
//略
}
bool IsBalance()
{
if (_root == nullptr)
{
return true;
}
if (_root->_col != BLACK)
{
return false;
}
int ref = 0;
Node* left = _root;
while (left)
{
if (left->_col == BLACK)
{
++ref;
}
left = left->_left;
}
return Check(_root, 0, ref);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
map的模拟实现
map的底层结构就是红黑树，因此在map中直接封装一棵红黑树，然后将其接口包装下即可。
template<class K, class V>
class map
{
struct MapKeyOfT//仿函数
{
const K& operator()(const pair<const K, V>& kv)
{
return kv.first;
}
};
public:
typedef typename RBTree<K, pair<const K, V>, MapKeyOfT>::iterator iterator;
typedef typename RBTree<K, pair<const K, V>, MapKeyOfT>::const_iterator const_iterator;
iterator begin()
{
return _t.begin();
}
iterator end()
{
return _t.end();
}
const_iterator begin() const
{
return _t.begin();
}
const_iterator end() const
{
return _t.end();
}
pair<iterator, bool> insert(const pair<const K, V>& kv)
{
return _t.Insert(kv);
}
V& operator[](const K& key)
{
pair<iterator, bool> ret = insert(make_pair(key, V()));
return ret.first->second;
}
private:
RBTree<K, pair<const K, V>, MapKeyOfT> _t;
};
set的模拟实现
set的底层为红黑树，因此只需在set内部封装一棵红黑树，即可将该容器实现出来(具体实现可参考map)。
template<class K>
class set
{
struct SetKeyOfT
{
const K& operator()(const K& key)
{
return key;
}
};
public:
typedef typename RBTree<K, K, SetKeyOfT>::const_iterator iterator;
typedef typename RBTree<K, K, SetKeyOfT>::const_iterator const_iterator;
iterator begin() const
{
return _t.begin();
}
iterator end() const
{
return _t.end();
}
pair<iterator, bool> insert(const K& key)
{
pair<typename RBTree<K, K, SetKeyOfT>::iterator, bool> ret = _t.Insert(key);
return pair<iterator, bool>(ret.first, ret.second);
}
private:
RBTree<K, K, SetKeyOfT> _t;
};
完整代码链接⛷️⛷️⛷️⛷️⛷️
