前言

  本篇为插值法专栏第四篇内容讲述，此章主要讲述 Hermite（埃尔米特）插值法及matlab代码，其中也给出详细的例子让大家更好的理解Hermite插值法
提示 之前已经介绍牛顿插值法和三次样条插值，如果没看过前两篇的可以点击以下链接阅读

1. 数值分析（一）牛顿插值法
2. 数值分析（二）三次样条插值法
3. 数值分析（二续） 三次样条插值二类边界完整matlab代码

一、Hermite插值

  在许多实际应用中，不仅要求函数值相等，而且要求若干阶导数也相等。

1. Hermite定理

  定义：满足函数值相等且导数也相等的插值方法 $f(x)\approx \phi (x)$，$$\phi (x_i)=f(x_i)(i=0,1,\dots ,n)$$$${\phi }^{\prime }(x_i)=f^{\prime }(x_i)$$$${\phi }^{(2)}(x_i)=f^{(2)}(x_i)$$$$⋮$$$${\phi }^{(m)}(x_i)=f^{(m)}(x_i)$$

定理：设 $f(x)\in C^n[a,b],x_0,...,x_n$ 为 $[a,b]$ 上的互异节点，则 $f[x_0,...,x_n]$ 是其变量的连续函数

2. 重节点差商

  注意： 差商知识不清楚的话可以看之前这篇 数值分析（一）牛顿插值法 中有对差商详细的讲解
$$f[x_0,x_0]=\underset{x_1\to x_0}{\lim }f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=f^{\prime }(x_0)$$
$$\begin{gathered} f[x_0,x_0,x_0]=\underset{x_1\to x_0 \\ {x}_2\to x_0}{\lim }f[x_0,x_1,x_2]=\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(x_0) \end{gathered}$$
一般 $n$ 阶重节点差商定义为：
$$f[x_0,x_0,\cdots ,x_0]=\underset{x_i\to x_0}{\lim }f[x_0,x_1,\cdots ,x_n]=\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)$$

3. 重节点Newton插值

  在Newton插值公式中，令$x_i\to x_0,i=1,\cdots ,n$，则$$\begin{gathered} N_n(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+\cdots +f[x_0,x_1,\cdots ,x_n]\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_i) \\ =f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n \end{gathered}$$

担心有些同学看不懂推导，解释一下如何转化为第二个等式（即，Taylor 插值多项式）：

将1.1中讲述的重节点差商 带入Newton插值公式中：$$\underset{x_i\to x_0}{\lim }f[x_0,x_1,\cdots ,x_n]=\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)$$所有的$x_i\to x_0$，所以${\prod }_{i=1}^{n-1}(x-x_i)$ 就变成了$(x-x_0{)}^n$

插值余项$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$

4. Hermite 插值公式

  一般来说，给定 $m+1$ 个插值条件，就可以构造出一个 $m$ 次Hermite 插值多项式，接下来介绍两个典型的Hermite插值：三点三次 Hermite插值 和 两点三次 Hermite 插值

4.1 三点三次 Hermite插值

  插值节点：$x_0，x_1，x_2$
  插值条件：$P(x_i)=f(x_i)，i=0,1,2，P^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(x_1)$

  设：$$P(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+A(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)$$
将$P^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(x_1)$代入可得$$A=\frac{f^{\prime }(x_1)-f[x_0,x_1]-f[x_0,x_1,x_2](x_1-x_0)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}$$
由于$x_0,x_1,x_2$是$R(x)$的零点，且$x_1$是二重零点，故可设，余项公式：$$R(x)=f(x)-P(x)=k(x)(x-x_0)(x-x_1{)}^2(x-x_2)$$与 Lagrange 插值余项公式的推导过程类似，可得
$$R(x)=\frac{f^{(4)}({\xi }_x)}{4!}(x-x_0)(x-x_1{)}^2(x-x_2)$$
其中${\xi }_x$ 位于由 $x_0,x_1,x_2$和$x$所界定的区间内

4.2 两点三次 Hermite插值

  插值节点：$x_0，x_1$
  插值条件：$P(x_i)=f(x_i)=y_i，P^{\prime }(x_i)=f^{\prime }(x_i)=m_i，i=0,1$

  模仿Lagrange 多项式的思想，设
$$H_3(x)=y_0{\alpha }_0(x)+y_1{\alpha }_1(x)+m_0{\beta }_0(x)+m_1{\beta }_1(x)$$其中${\alpha }_0(x),{\alpha }_1(x),{\beta }_0(x),{\beta }_1(x)$均为3次多项式，且满足$$\begin{gathered} {\alpha }_j(x_i)={\delta }_{ij},{\alpha }_j^{\prime }(x_i)=0, \\ {\beta }_j(x_i)=0,{\beta }_j^{\prime }(x_i)={\delta }_{ji} \\ (i,j=0,1) \end{gathered}$$

上述中的${\delta }_{ij}$表达式在Lagrange多项式中提到过，怕有些同学忘了这里帮忙回顾一下
$$l_k(x_i)={\delta }_{ki}=\{\begin{array}{cc}1& (i=k)\\ 0& (i\ne k)\end{array}$$

将插值条件代入立即可得 ${\alpha }_0(x)$求解过程

  Step 1：根据前面可以得到： ${\alpha }_0(x_0)=1,{\alpha }_0^{\prime }(x_0)=0,{\alpha }_0(x_1)=0,{\alpha }_0^{\prime }(x_1)=0$

  Step 2：由上面提到过${\alpha }_0(x),{\alpha }_1(x),{\beta }_0(x),{\beta }_1(x)$都是3次多项式，${\alpha }_0(x_1)=0,{\alpha }_0^{\prime }(x_1)=0$，根据以上条件可以构造函数为： $${\alpha }_0(x)=(ax+b)(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}{)}^2$$
  Step 3：将 ${\alpha }_0(x_0)=1,{\alpha }_0^{\prime }(x_0)=0$ 代入上式，可以求解得到 $$a=-\frac{2}{x_0-x_1},b=\frac{3x_0-x_1}{x_0-x_1}=1+\frac{2x_0}{x_0-x_1}$$
  Step 4：将求得出来的 $a,b$ 代入到构造的函数${\alpha }_0(x)$ 中，即得：$${\alpha }_0(x)=(1+2\frac{x-x_0}{x_1-x_0})(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}{)}^2$$

注意：我在推公式的过程感觉是2前面是个减号(很容易出现自己推导和给出的不一致)，我仔细一看发现是这么一回事，那么我来把省略的一些步骤给他详细写一下
$$ax+b=-\frac{2x}{x_0-x_1}+1+\frac{2x_0}{x_0-x_1}=1-2\frac{x-x_0}{x_0-x_1}=1+2\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$$才发现将-放到了分母

同理： $${\alpha }_1(x)=(1+2\frac{x-x_1}{x_0-x_1})(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}{)}^2$$

类似得可以得到： $${\beta }_0(x)=(x-x_0)(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}{)}^2$$ $${\beta }_1(x)=(x-x_1)(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}{)}^2$$

满足插值条件 $$\begin{gathered} P(x_0)=f(x_0)=y_0，P^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)=m_0 \\ P(x_1)=f(x_1)=y_1，P^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(x_1)=m_1 \end{gathered}$$ 的三次Hermite插值多项式为
$$\begin{gathered} H_3(x)=y_0(1+2\frac{x-x_0}{x_1-x_0})(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}{)}^2+y_1(1+2\frac{x-x_1}{x_0-x_1})(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}{)}^2 \\ +m_0(x-x_0)(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}{)}^2+m_1(x-x_1)(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}{)}^2 \end{gathered}$$

余项$$R_3(x)=\frac{f^{(4)}({\xi }_x)}{4!}(x-x_0{)}^2(x-x_1{)}^2$$其中${\xi }_x\in (x_0,x_1)$

4.3 $2n+1$次Hermite插值多项式

  由上面 4.2 中给出了 ${\alpha }_0(x),{\alpha }_1(x),{\beta }_0(x),{\beta }_1(x)$ 的表达式，那么依次类推推导出 $2n+1$ 次Hermite插值多项式，且条件为$H(x_i)=f(x_i)，H^{\prime }(x_i)=f^{\prime }(x_i)，(i=0,1,\cdots ,n)$
  求解：${\alpha }_j(x)$ 和 ${\beta }_j(x)$ $(j=0,1,\cdots ,n)$ $${\alpha }_j(x)=[1-2(x-x_j)\sum _{\begin{array}{c}k=0\\ k\ne j\end{array}}^n\frac{1}{x_j-x_k}]l_j^2(x)$$
$${\beta }_j(x)=(x-x_j)l_j^2(x)$$
$$H_{2n+1}(x)=\sum _{j=0}^n[1-2(x-x_j)\sum _{\begin{array}{c}k=0\\ k\ne j\end{array}}^n\frac{1}{x_j-x_k}]l_j^2(x)f(x_j)+\sum _{j=0}^n(x-x_j)l_j^2(x)f^{\prime }(x_j)$$

上述中的 $l_j(x)$ 在 Lagrange 多项式中提到过不太清楚得同学可以去回顾一下

二、Hermite插值算法及matlab代码

Matlab 版本号 2022b

1. $2n+1$次Hermite插值matlab代码实现

function y=Hermitezi(X,Y,Y1,x)
% 2n+1次Hermite插值函数
%   X为已知数据点的x坐标
%   Y为已知数据点的y坐标
%   Y1为数据点y值导数
%   x0为插值点的x坐标
if(length(X) == length(Y))
    if(length(X) == length(Y1))
        n=length(X);
    else
        disp('y和y的导数维数不相等');
        renturn;
    end
  else
    disp('x和y的维数不相等');
    return;
end
%以上为输入判断和确定“n”的值
m=length(x);
for t=1:m
    z=x(t);s=0.0;
  for i=1:n
    h=1.0;
    a=0.0;
    for j=1:n
        if(j~= i)
            h=h*(z-X(j))^2/((X(i)-X(j))^2);%求得值为(li(x))^2
            a=a+1/(X(i)-X(j));   %求得ai（x）表达式之中的累加部分
        end
    end
   s=s+h*((X(i)-z)*(2*a*Y(i)-Y1(i))+Y(i));
  end
y(t)=s;
end
end

2. 例题

主函数：

x=[0,1];
y=[1,2];
y1=[0.5,0.5];
y=Hermitezi(x,y,y1,0.724)

结果：

三、总结

  这篇blog我推迟了1年才开始写，本应该很早就把这篇写完，由于比较忙遇到一些事情，现在重新得拾起开始撰写分享给大家，也非常感谢大家对我的关注，今年的计划也是将这个插值法专栏更新完，之后会再转换到另一个专栏的撰写。下方有专栏链接，可以订阅一下防止找不到。

四、插值法专栏

专栏链接：插值法专栏，如果对你有帮助的话可以点个赞，点个订阅，我将完善此专栏

1. 数值分析（一） 牛顿插值法及matlab代码
2. 数值分析（二) 三次样条插值法matlab程序
3. 数值分析（二续） 三次样条插值二类边界完整matlab代码