C++数据结构：二叉搜索树的结构、模拟实现及应用

news2024/10/6 20:37:35

目录

一.  二叉搜索树的结构

二.  二叉搜索树的模拟实现

2.1 二叉搜索树的节点及类的成员变量

2.2 数据插入操作Insert的实现

2.3 数据删除操作Erase的实现

2.4 数据查找操作Find的实现

2.5 中序遍历InOrder的实现

2.6 构造函数的实现

2.7 析构函数的实现

三.  二叉搜索树的应用

3.1 二叉搜索树的key模型

3.2 二叉搜索树的key-value模型

四.  二叉搜索树的性能分析

附录一：二叉搜索树的Key模型完整版代码

附录二：二叉搜索树的key-value模型完整版代码

一.  二叉搜索树的结构

二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它要么为空树，要么具有一下的结构特点：

  1. 若根节点的左子节点不为空，那么其左子树节点的值均小于根节点。
  2. 若根节点的右子节点不为空，那么其右子树节点的值均大于根节点。
  3. 左子树和右子树也为二叉搜索树（满足1、2条件）。
  4. 一般要求二叉搜索树中没有重复节点。

在理想情况下，二叉搜索树可以实现时间复杂度为O(logN)的查找操作。

图1.1 典型的二叉搜索树结构示意图

二.  二叉搜索树的模拟实现

2.1 二叉搜索树的节点及类的成员变量

以struct类的形式来定义二叉搜索树的节点，每个节点包含3个成员，分别为：

  • _left：本节点的左子节点。
  • _right：本节点的右子节点。
  • _key：本节点的值。

将class BSTree定义为二叉搜索树模板板类，将模板参数定义为K -- template<class K>，表示节点数据的类型。在其中将节点类型重定义为Node，其中包含成员变量_root，表示根节点指针。同时，在类中声明定义以下成员函数：

  • bool Insert(const K& x) / bool InsertR(const K& x) -- 采用非递归和递归的方法插入数据x，插入成功返回true，插入失败返回false。
  • bool Erase(const K& x) / bool EraseR(const K& x) -- 采用非递归和递归的方法删除数据x，删除成功返回true，插入失败返回false。
  • Node* Find(const K& key) / Node* FindR(const K& key) -- 采用递归和非递归的方法查找存储数据key的节点，找到了返回节点地址，找不到返回nullptr。
  • void InOrder() -- 中序遍历函数，根据搜索二叉树的结构特点，采用中序遍历会获得一组升序数据，因此二叉搜索树也叫排序二叉树。
  • 默认构造函数、拷贝构造函数和析构函数。

注：带有前缀 _ 的private属性函数，为被相应成员函数调用的子函数，本文将BSTree模板类声明定义在命名空间zhang中。

代码2.1：（节点和BSTree模板类的声明）

	template<class K>
	struct BSTreeNode    //二叉搜索树节点
	{
		BSTreeNode<K>* _left;
		BSTreeNode<K>* _right;
		K _key;

		BSTreeNode(const K& key)
			: _left(nullptr)
			, _right(nullptr)
			, _key(key)
		{}
	};

	template<class K>
	class BSTree
	{
		typedef BSTreeNode<K> Node;

	public:
		BSTree() = default;   //强制编译器生成默认构造函数
		BSTree(const BSTree<K>& bt);  //拷贝构造函数
		~BSTree();  //析构函数

		bool Insert(const K& x);   //数据插入函数
		Node* Find(const K& key);  //二叉搜索树节点查找函数
		void InOrder();  //中序遍历函数
		bool Erase(const K& x);  //节点删除函数
		bool InsertR(const K& x);  //递归插入函数
		bool EraseR(const K& x);  //递归删除数据函数
		Node* FindR(const K& key);  //递归查找函数

	private:
		Node* _Copy(Node* root);   
		void _Destroy(Node*& root);
		void _InOrder(Node* root);
		bool _InsertR(Node*& root, const K& x);
		bool _EraseR(Node*& root, const K& x);
		Node* _FindR(Node* root, const K& key);

	private:
		Node* _root = nullptr;
	};

2.2 数据插入操作Insert的实现

Insert的非递归实现方法：

  • 如果树为空，直接插入节点（将根节点_root变为新增节点）。
  • 如果树不为空，这逐层查找要链接新节点的父亲节点parent。如果本节点值小于插入值x，则去右子树查找，若大于插入值x，则去左子树查找，直至找到nullptr为止。
  • 如果在查找过程中遇到了值等于x的节点，那么插入失败，函数返回false。

Insert的递归实现方法：

  • InsertR的第一个参数为Node*&，采用引用传参，使函数内部可以控制外部参数。
  • 查找插入数据的位置，如果本节点值小于插入值x，则去右子树查找，若大于插入值x，则去左子树查找，如果遇到nullptr，那么直接将本层递归的root改为新增节点即可。
  • 如果在查找过程中遇到了值等于x的节点，那么插入失败，函数返回false。
图2.1 节点插入操作流程图

代码2.2：（数据插入的非递归实现和递归实现函数）

//搜索二叉树节点非递归插入函数
template<class K>
bool zhang::BSTree<K>::Insert(const K& x)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		//处理根节点为空（树中没有节点的情况）
		_root = new Node(x);
		return false;
	}

	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;   //插入节点的父亲节点

	while (cur)
	{
		parent = cur;

		if (cur->_key > x)
		{
			//节点值大于插入数据向左移
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_key < x)
		{
			//节点值小于插入数据向右移
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			//二叉搜索树不允许有重复的节点，如果出现插入节点值和某一节点相同，则插入失败
			return false;
		}
	}

	cur = new Node(x);

	if (parent->_key < x)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}

	return true;
}


//递归插入函数
template<class K>
bool zhang::BSTree<K>::InsertR(const K& x)
{
	return _InsertR(_root, x);
}

template<class K>
bool zhang::BSTree<K>::_InsertR(Node*& root, const K& x)
{
	if (root == nullptr)
	{
		root = new Node(x);
	}

	if (root->_key > x)
	{
		return _InsertR(root->_left, x);
	}
	else if(root->_key < x)
	{
		return _InsertR(root->_right, x);
	}
	else
	{
		return false;
	}
}

2.3 数据删除操作Erase的实现

删除某个特定的数据的具体方法，应当分为以下三种情况来讨论：

  1. 若删除的节点为叶子节点，那么直接将其Delete，然后让其父亲节点的指针指向nullptr即可。
  2. 若删除的节点只有一个子节点，那么判断被删除的节点是否为根节点，如果不是，将这个子节点托管给被删除节点的父亲节点，即让父亲节点的左指针或右指针指向被删节点的子节点，如果是，那么直接将根节点更新为被删节点的子节点。
  3. 如果删除的节点既有左子节点也有右子节点，那么交换本节点的值与左子树中最大的值或右子树中最小的值，然后删除左子树或右子树中进行了交换的节点即可。

在编写代码是，可将第1、第2种情况合为一体编码。

对于Erase操作的递归实现，如果递归到要删除的节点，判断要删除的节点是否有两个节点，如果没有，只需要将被删节点的子节点直接赋值给本层root即可，如果有，那么执行与非递归实现中相同的节点值互换操作，再递归删除子树中被换的节点即可。

图2.2 三种情况下删除二叉搜索树节点的方式

代码2.3：（删除节点的非递归实现和递归实现）

//节点删除函数
template<class K>
bool zhang::BSTree<K>::Erase(const K& x)
{
	Node* parent = nullptr;   //被删除节点的父亲节点
	Node* cur = _root;

	while (cur)
	{
		if (cur->_key < x)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > x)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			//找到要删除的节点，开始删除
			if (cur->_left == nullptr)
			{
				if (parent == nullptr)  //要删除的节点为根节点
				{
					_root = cur->_right;
				}
				else
				{
					if (parent->_left == cur)
					{
						parent->_left = cur->_right;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_right;
					}
				}

				delete cur;
				cur = nullptr;
			}
			else if(cur->_right == nullptr)
			{
				if (parent == nullptr)  //要删除的节点为根节点
				{
					_root = cur->_left;
				}
				else
				{
					if (parent->_left == cur)
					{
						parent->_left = cur->_left;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_left;
					}
				}

				delete cur;
				cur = nullptr;
			}
			else
			{
				//要删除节点的左子节点和右子节点均不为nullptr
				//交换删除节点与右子树最左侧节点的值
				Node* leftInRight = cur->_right;
				Node* parentInRight = cur;

				//找右子树的最左节点
				while (leftInRight->_left != nullptr)
				{
					parentInRight = leftInRight;
					leftInRight = leftInRight->_left;
				}
				
				std::swap(leftInRight->_key, cur->_key);

				if (parentInRight == cur)
				{
					parentInRight->_right = leftInRight->_right;
				}
				else
				{
					parentInRight->_left = leftInRight->_right;
				}

				delete leftInRight;
				leftInRight = nullptr;

				return true;
			}
		}
	}

	return false;
}


//递归删除数据函数
template<class K>
bool zhang::BSTree<K>::EraseR(const K& x)
{
	return _EraseR(_root, x);
}

template<class K>
bool zhang::BSTree<K>::_EraseR(Node*& root, const K& x)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return false;
	}

	if (root->_key > x)
	{
		return _EraseR(root->_left, x);
	}
	else if (root->_key < x)
	{
		return _EraseR(root->_right, x);
	}
	else
	{
		//删除数据
		Node* del = root;  //带删除的节点

		if (root->_left == nullptr)
		{
			root = del->_right;
		}
		else if (root->_right == nullptr)
		{
			root = del->_left;
		}
		else
		{
			//要删除的节点左右子节点都不为空
			//去找右子树最小的节点，交换删除
			Node* minRight = root->_right;
			while (minRight->_left)
			{
				minRight = minRight->_left;
			}

			std::swap(root->_key, minRight->_key);

			return _EraseR(root->_right, x);
		}

		delete del;
		del = nullptr;

		return true;
	}
}

2.4 数据查找操作Find的实现

将节点数据val与要查找的数据key进行比较，如果val小于key，那么到这个节点的右子树去查找，如果val大于key，那么去这个节点的左子树去查找，如果两者相等，那么返回该节点的指针。如果遇到了nullptr，那么表明二叉搜索树中没有key，返回nullptr。

代码2.4：（查找的非递归实现和递归实现）

//递归查找函数
template<class K>
zhang::BSTreeNode<K>* zhang::BSTree<K>::FindR(const K& key)
{
	return _FindR(_root, key);
}

template<class K>
zhang::BSTreeNode<K>* zhang::BSTree<K>::_FindR(Node* root, const K& key)
{
	if (nullptr == root)
	{
		return nullptr;
	}

	if (root->_key > key)
	{
		return _FindR(root->_left, key);
	}
	else if (root->_key < key)
	{
		return _FindR(root->_right, key);
	}
	else
	{
		return root;
	}
}


//搜索二叉树节点查找函数非递归实现
template<class K>
zhang::BSTreeNode<K>* zhang::BSTree<K>::Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;

	while (cur)
	{
		if (cur->_key == key)
		{
			return cur;  //找到节点
		}
		else if (cur->_key < key)
		{
			//向右子树查找
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			//向左子树查找
			cur = cur->_left;
		}
	}

	return nullptr;
}

2.5 中序遍历InOrder的实现

由于二叉搜索树的左子树的节点均小于根节点，右子树的节点均大于根节点，因此，搜索二叉树中序遍历可以获取一组无重复的升序序列。其实现方法与普通二叉树的中序遍历一致。

代码2.5：（二叉搜索树中序遍历）

//搜索二叉树中序遍历函数（升序）
template<class K>
void zhang::BSTree<K>::InOrder()
{
	_InOrder(_root);
	std::cout << std::endl;
}

template<class K>
void zhang::BSTree<K>::_InOrder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}

	_InOrder(root->_left);
	std::cout << root->_key << " ";
	_InOrder(root->_right);
}

2.6 构造函数的实现

  • 对于默认构造函数，不需要动态开辟内存空间，只需要将_root的值置为nullptr即可，我们可以在声明成员变量_root时就给定初值nullptr，这样使用编译的生成的默认构造函数即可。
  • 对于拷贝构造函数，需要按照前序遍历的方式，依次创建每个节点，并对每个节点进行链接。

注：如果显示定义了拷贝构造函数，那么编译器在一般情况下就不会自动生成默认构造函数。此时，应当使用下面的指令来强制编译器生成默认构造函数：

BSTree() = default;   //强制编译器生成默认构造函数

代码2.6：（拷贝构造函数）

//拷贝构造函数
template<class K>
zhang::BSTree<K>::BSTree(const BSTree<K>& bt)
{
	_root = _Copy(bt._root);
}

template<class K>
zhang::BSTreeNode<K>* zhang::BSTree<K>::_Copy(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return nullptr;
	}

	Node* newNode = new Node(root->_key);
	newNode->_left = _Copy(root->_left);
	newNode->_right = _Copy(root->_right);

	return newNode;
}

2.7 析构函数的实现

按照后序遍历的方式，依次释放每个节点即可。

代码2.7：（析构函数）

//析构函数
template<class K>
zhang::BSTree<K>::~BSTree()
{
	_Destroy(_root);
}

template<class K>
void zhang::BSTree<K>::_Destroy(Node*& root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}

	_Destroy(root->_left);
	_Destroy(root->_right);

	delete root;
	root = nullptr;
}

三.  二叉搜索树的应用

3.1 二叉搜索树的key模型

key模型，是查找模型，第二章中所实现的就是搜索二叉树的key模型，其只存储一个key值作为关键码，关键码为用于搜索的值。

  • 学生宿舍门禁系统：将所有学生的学号存入一颗二叉搜索树（AVL树、红黑树），当学生刷卡时，读取学生的学号，然后到存有学生信息的二叉搜索树中匹配，如果查找到了该学生，就开门，否则报警。
  • 单词拼写检查：将库中所有单词存入一颗二叉搜索树，在其中查找某个单词，如果找不到，就报拼写错误。

3.2 二叉搜索树的key-value模型

每个节点中存储一个关键码key和一个与之对于的value值，即存储<key, value>的键值对，通过查找key值，获取与之对应的value。key-value模型与key模型没有任何本质区别，只是多存储了一个value值而已。

  • 中英互译软件：输入英文，到搜索二叉树中查找这个单词，然后输出与之匹配的汉语。

四.  二叉搜索树的性能分析

  • 在最理想的情况下（除最后一层以外每层节点数量均达到最大值），使用二叉搜索树查找的时间复杂度为O(logN)。
  • 在最坏情况下（二叉搜索树的左子树或右子树为空，或某颗子树的节点数远小于另一颗），使用二叉搜索树查找的时间复杂度为O(N)。

由此可见，二叉搜索树的结构对查找效率存在显著影响，这依赖于数据插入的顺序。通过使用AVL树和红黑树，可以避免这一缺陷。

图4.1 二叉搜索树的最好情况和最坏情况

 

附录一：二叉搜索树的Key模型完整版代码

namespace zhang
{
	template<class K>
	struct BSTreeNode    //二叉搜索树节点
	{
		BSTreeNode<K>* _left;
		BSTreeNode<K>* _right;
		K _key;

		BSTreeNode(const K& key)
			: _left(nullptr)
			, _right(nullptr)
			, _key(key)
		{}
	};

	template<class K>
	class BSTree
	{
		typedef BSTreeNode<K> Node;

	public:
		BSTree() = default;   //强制编译器生成默认构造函数
		BSTree(const BSTree<K>& bt);  //拷贝构造函数
		~BSTree();  //析构函数

		bool Insert(const K& x);   //数据插入函数
		Node* Find(const K& key);  //二叉搜索树节点查找函数
		void InOrder();  //中序遍历函数
		bool Erase(const K& x);  //节点删除函数
		bool InsertR(const K& x);  //递归插入函数
		bool EraseR(const K& x);  //递归删除数据函数
		Node* FindR(const K& key);  //递归查找函数

	private:
		Node* _Copy(Node* root);   
		void _Destroy(Node*& root);
		void _InOrder(Node* root);
		bool _InsertR(Node*& root, const K& x);
		bool _EraseR(Node*& root, const K& x);
		Node* _FindR(Node* root, const K& key);

	private:
		Node* _root = nullptr;
	};
}

//拷贝构造函数
template<class K>
zhang::BSTree<K>::BSTree(const BSTree<K>& bt)
{
	_root = _Copy(bt._root);
}

template<class K>
zhang::BSTreeNode<K>* zhang::BSTree<K>::_Copy(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return nullptr;
	}

	Node* newNode = new Node(root->_key);
	newNode->_left = _Copy(root->_left);
	newNode->_right = _Copy(root->_right);

	return newNode;
}

//析构函数
template<class K>
zhang::BSTree<K>::~BSTree()
{
	_Destroy(_root);
}

template<class K>
void zhang::BSTree<K>::_Destroy(Node*& root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}

	_Destroy(root->_left);
	_Destroy(root->_right);

	delete root;
	root = nullptr;
}

//递归查找函数
template<class K>
zhang::BSTreeNode<K>* zhang::BSTree<K>::FindR(const K& key)
{
	return _FindR(_root, key);
}

template<class K>
zhang::BSTreeNode<K>* zhang::BSTree<K>::_FindR(Node* root, const K& key)
{
	if (nullptr == root)
	{
		return nullptr;
	}

	if (root->_key > key)
	{
		return _FindR(root->_left, key);
	}
	else if (root->_key < key)
	{
		return _FindR(root->_right, key);
	}
	else
	{
		return root;
	}
}

//递归删除数据函数
template<class K>
bool zhang::BSTree<K>::EraseR(const K& x)
{
	return _EraseR(_root, x);
}

template<class K>
bool zhang::BSTree<K>::_EraseR(Node*& root, const K& x)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return false;
	}

	if (root->_key > x)
	{
		return _EraseR(root->_left, x);
	}
	else if (root->_key < x)
	{
		return _EraseR(root->_right, x);
	}
	else
	{
		//删除数据
		Node* del = root;  //带删除的节点

		if (root->_left == nullptr)
		{
			root = del->_right;
		}
		else if (root->_right == nullptr)
		{
			root = del->_left;
		}
		else
		{
			//要删除的节点左右子节点都不为空
			//去找右子树最小的节点，交换删除
			Node* minRight = root->_right;
			while (minRight->_left)
			{
				minRight = minRight->_left;
			}

			std::swap(root->_key, minRight->_key);

			return _EraseR(root->_right, x);
		}

		delete del;
		del = nullptr;

		return true;
	}
}

//递归插入函数
template<class K>
bool zhang::BSTree<K>::InsertR(const K& x)
{
	return _InsertR(_root, x);
}

template<class K>
bool zhang::BSTree<K>::_InsertR(Node*& root, const K& x)
{
	if (root == nullptr)
	{
		root = new Node(x);
	}

	if (root->_key > x)
	{
		return _InsertR(root->_left, x);
	}
	else if(root->_key < x)
	{
		return _InsertR(root->_right, x);
	}
	else
	{
		return false;
	}
}

//搜索二叉树节点插入函数
template<class K>
bool zhang::BSTree<K>::Insert(const K& x)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		//处理根节点为空（树中没有节点的情况）
		_root = new Node(x);
		return false;
	}

	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;   //插入节点的父亲节点

	while (cur)
	{
		parent = cur;

		if (cur->_key > x)
		{
			//节点值大于插入数据向左移
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_key < x)
		{
			//节点值小于插入数据向右移
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			//二叉搜索树不允许有重复的节点，如果出现插入节点值和某一节点相同，则插入失败
			return false;
		}
	}

	cur = new Node(x);

	if (parent->_key < x)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}

	return true;
}

//搜索二叉树节点查找函数
template<class K>
zhang::BSTreeNode<K>* zhang::BSTree<K>::Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;

	while (cur)
	{
		if (cur->_key == key)
		{
			return cur;  //找到节点
		}
		else if (cur->_key < key)
		{
			//向右子树查找
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			//向左子树查找
			cur = cur->_left;
		}
	}

	return nullptr;
}

//搜索二叉树中序遍历函数（升序）
template<class K>
void zhang::BSTree<K>::InOrder()
{
	_InOrder(_root);
	std::cout << std::endl;
}

template<class K>
void zhang::BSTree<K>::_InOrder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}

	_InOrder(root->_left);
	std::cout << root->_key << " ";
	_InOrder(root->_right);
}

//节点删除函数
template<class K>
bool zhang::BSTree<K>::Erase(const K& x)
{
	Node* parent = nullptr;   //被删除节点的父亲节点
	Node* cur = _root;

	while (cur)
	{
		if (cur->_key < x)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > x)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			//找到要删除的节点，开始删除
			if (cur->_left == nullptr)
			{
				if (parent == nullptr)  //要删除的节点为根节点
				{
					_root = cur->_right;
				}
				else
				{
					if (parent->_left == cur)
					{
						parent->_left = cur->_right;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_right;
					}
				}

				delete cur;
				cur = nullptr;
			}
			else if(cur->_right == nullptr)
			{
				if (parent == nullptr)  //要删除的节点为根节点
				{
					_root = cur->_left;
				}
				else
				{
					if (parent->_left == cur)
					{
						parent->_left = cur->_left;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_left;
					}
				}

				delete cur;
				cur = nullptr;
			}
			else
			{
				//要删除节点的左子节点和右子节点均不为nullptr
				//交换删除节点与右子树最左侧节点的值
				Node* leftInRight = cur->_right;
				Node* parentInRight = cur;

				//找右子树的最左节点
				while (leftInRight->_left != nullptr)
				{
					parentInRight = leftInRight;
					leftInRight = leftInRight->_left;
				}
				
				std::swap(leftInRight->_key, cur->_key);

				if (parentInRight == cur)
				{
					parentInRight->_right = leftInRight->_right;
				}
				else
				{
					parentInRight->_left = leftInRight->_right;
				}

				delete leftInRight;
				leftInRight = nullptr;

				return true;
			}
		}
	}

	return false;
}

附录二：二叉搜索树的key-value模型完整版代码

namespace zhang
{
	template<class K, class V>
	struct BSTreeNode   //二叉搜索树节点
	{
		BSTreeNode* _left;  //左子节点
		BSTreeNode* _right; //右子节点
		K _key;   //关键字
		V _val;   //映射值

		BSTreeNode(const K& key, const V& val)
			: _left(nullptr)
			, _right(nullptr)
			, _key(key)
			, _val(val)
		{ }
	};

	template<class K, class V>
	class BSTree
	{
		typedef BSTreeNode<K, V> Node;

	public:
		bool Insert(const K& key, const V& val);  //数据插入函数
		void InOrder();   //中序遍历函数
		bool Erase(const K& key);   //数据删除函数
		Node* find(const K& key);    //查找函数

	private:
		Node* _find(Node* root, const K& key);
		void _InOrder(Node* root);

	private:
		Node* _root = nullptr;   //根节点
	};
}

//查找函数
template<class K, class V>
zhang::BSTreeNode<K, V>* zhang::BSTree<K, V>::find(const K& key)
{
	return _find(_root, key);
}

template<class K, class V>
zhang::BSTreeNode<K, V>* zhang::BSTree<K, V>::_find(Node* root, const K& key)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return nullptr;
	}

	if (root->_key > key)
	{
		return _find(root->_left, key);
	}
	else if (root->_key < key)
	{
		return _find(root->_right, key);
	}
	else
	{
		//std::cout << key << "->" << root->_val << std::endl;
		return root;
	}
}

template<class K, class V>
bool zhang::BSTree<K, V>::Erase(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;
	while (cur)
	{
		//查找要删除的节点
		if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			//开始删除数据
			if (cur->_left == nullptr)
			{
				if (parent == nullptr)
				{
					_root = cur->_right;  //删除了根节点
					delete cur;
				}
				else
				{
					//删除非根节点
					if (parent->_left == cur)
					{
						parent->_left = cur->_right;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_right;
					}

					delete cur;
				}
			}
			else if (cur->_right == nullptr)
			{
				if (parent == nullptr)
				{
					_root = cur->_left;  //删除了根节点
					delete cur;
				}
				else
				{
					//删除非根节点
					if (parent->_left == cur)
					{
						parent->_left = cur->_left;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_left;
					}

					delete cur;
				}
			}
			else
			{
				//要删除的节点的左右子节点均不为空
	
				//1.找右子树中最小的节点
				Node* minRight = cur->_right;
				Node* parentMin = cur;
				while (minRight->_left)
				{
					parentMin = minRight;
					minRight = minRight->_left;
				}

				std::swap(cur->_key, minRight->_key);
				std::swap(cur->_val, minRight->_val);

				if (parentMin == cur)
				{
					parentMin->_right = minRight->_right;
				}
				else
				{
					parentMin->_left = minRight->_right;
				}

				delete minRight;
			}

			return true;
		}
	}

	return false;
}

template<class K, class V>
void zhang::BSTree<K, V>::InOrder()
{
	_InOrder(_root);
	std::cout << std::endl;
}

template<class K, class V>
void zhang::BSTree<K, V>::_InOrder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}

	_InOrder(root->_left);
	std::cout << "<" << root->_key << "," << root->_val << ">" << " ";
	_InOrder(root->_right);
}

template<class K, class V>
bool zhang::BSTree<K, V>::Insert(const K& key, const V& val)
{
	if (_root == nullptr)  //二叉树为空
	{
		_root = new Node(key, val);
		return true;
	}

	//二叉搜索树不为空
	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key > key)
		{
			//根节点值大于关键字，向左树移动
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_key < key)
		{
			//根节点值小于关键字，向右子树移动
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			//二叉搜索树中不允许有相同节点，遇到相同节点插入失败，返回false
			return false;
		}
	}

	//判断应该插入到左子树还是右子树
	if (parent->_key < key)
	{
		parent->_right = new Node(key, val);
	}
	else
	{
		parent->_left = new Node(key, val);
	}

	return true;
}

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