给你一个整数数组 nums，请你将该数组升序排列。

// class Solution {
//     public int[] sortArray(int[] nums) {
//         // API选手（手动狗头）
//         Arrays.sort(nums);
//         return nums;
//     }
// }

// 归并排序
class Solution {
    public int[] sortArray(int[] nums) {
        Merge.sort(nums);
        return nums;
    }
}
class Merge {

    // 用于辅助合并有序数组
    private static int[] temp;

    public static void sort(int[] nums) {
        // 先给辅助数组开辟内存空间
        temp = new int[nums.length];
        // 排序整个数组（原地修改）
        sort(nums, 0, nums.length - 1);
    }

    // 定义：将子数组 nums[lo..hi] 进行排序
    private static void sort(int[] nums, int lo, int hi) {
        if (lo == hi) {
            // 单个元素不用排序
            return;
        }
        // 这样写是为了防止溢出，效果等同于 (hi + lo) / 2
        int mid = lo + (hi - lo) / 2;
        // 先对左半部分数组 nums[lo..mid] 排序
        sort(nums, lo, mid);
        // 再对右半部分数组 nums[mid+1..hi] 排序
        sort(nums, mid + 1, hi);
        // 将两部分有序数组合并成一个有序数组
        merge(nums, lo, mid, hi);
    }

    // 将 nums[lo..mid] 和 nums[mid+1..hi] 这两个有序数组合并成一个有序数组
    private static void merge(int[] nums, int lo, int mid, int hi) {
        // 先把 nums[lo..hi] 复制到辅助数组中
        // 以便合并后的结果能够直接存入 nums
        for (int i = lo; i <= hi; i++) {
            temp[i] = nums[i];
        }

        // 数组双指针技巧，合并两个有序数组
        int i = lo, j = mid + 1;
        for (int p = lo; p <= hi; p++) {
            if (i == mid + 1) {
                // 左半边数组已全部被合并
                nums[p] = temp[j++];
            } else if (j == hi + 1) {
                // 右半边数组已全部被合并
                nums[p] = temp[i++];
            } else if (temp[i] > temp[j]) {
                nums[p] = temp[j++];
            } else {
                nums[p] = temp[i++];
            }
        }
    }
}

给你一个整数数组 nums ，按要求返回一个新数组 counts 。数组 counts 有该性质： counts[i] 的值是 nums[i] 右侧小于 nums[i] 的元素的数量。

class Solution {
    public List<Integer> countSmaller(int[] nums) {
        // 暴力破解
        // 超出时间限制
        List<Integer> counts = new LinkedList<>();
        for(int i = 0; i < nums.length; i++){
            int count = 0;
            for(int j = i + 1; j < nums.length; j++){
                if(nums[j] < nums[i]) count++;
            }
            counts.add(count);
        }
        return counts;
    }
}

考虑归并排序

和归并排序什么关系呢，主要在 merge 函数，我们在使用 merge 函数合并两个有序数组的时候，其实是可以知道一个元素 nums[i] 后边有多少个元素比 nums[i] 小的。

这时候我们应该把 temp[i] 放到 nums[p] 上，因为 temp[i] < temp[j]。

但就在这个场景下，我们还可以知道一个信息：5 后面比 5 小的元素个数就是 左闭右开区间 [mid + 1, j) 中的元素个数，即 2 和 4 这两个元素：

换句话说，在对 nums[lo..hi] 合并的过程中，每当执行 nums[p] = temp[i] 时，就可以确定 temp[i] 这个元素后面比它小的元素个数为 j - mid - 1。

class Solution {
    private class Pair {
        int val, id;
        Pair(int val, int id) {
            // 记录数组的元素值
            this.val = val;
            // 记录元素在数组中的原始索引
            this.id = id;
        }
    }

    // 归并排序所用的辅助数组
    private Pair[] temp;
    // 记录每个元素后面比自己小的元素个数
    private int[] count;

    public List<Integer> countSmaller(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        count = new int[n];
        temp = new Pair[n];   
        Pair[] arr = new Pair[n];
        // 记录元素原始的索引位置，以便在 count 数组中更新结果
        for (int i = 0; i < n; i++)
            arr[i] = new Pair(nums[i], i);
        
        // 执行归并排序，本题结果被记录在 count 数组中
        sort(arr, 0, n - 1);
        
        List<Integer> res = new LinkedList<>();
        for (int c : count) res.add(c);
        return res;             
    }

    // 归并排序
    private void sort(Pair[] arr, int lo, int hi) {
        if (lo == hi) return;
        int mid = lo + (hi - lo) / 2;
        sort(arr, lo, mid);
        sort(arr, mid + 1, hi);
        merge(arr, lo, mid, hi);
    }

    // 合并两个有序数组
    private void merge(Pair[] arr, int lo, int mid, int hi) {
        for (int i = lo; i <= hi; i++) {
            temp[i] = arr[i];
        }
        
        int i = lo, j = mid + 1;
        for (int p = lo; p <= hi; p++) {
            if (i == mid + 1) { // 左边数组已经排序好了
                arr[p] = temp[j++];
            } else if (j == hi + 1) { // 右边数组已经排序好了
                arr[p] = temp[i++];
                // 更新 count 数组
                count[arr[p].id] += j - mid - 1;
            } else if (temp[i].val > temp[j].val) {
                arr[p] = temp[j++];
            } else {
                arr[p] = temp[i++];
                // 更新 count 数组
                count[arr[p].id] += j - mid - 1;
            }
        }
    }    
}

因为在排序过程中，每个元素的索引位置会不断改变，所以我们用一个 Pair 类封装每个元素及其在原始数组 nums 中的索引，以便 count 数组记录每个元素之后小于它的元素个数。

给定一个数组 nums ，如果 i < j 且 nums[i] > 2*nums[j] 我们就将 (i, j) 称作一个重要翻转对。

你需要返回给定数组中的重要翻转对的数量。

这道题目和题目是一个意思，而且和上一道题非常类似，只不过上一题求的是 nums[i] > nums[j]，这里求的是 nums[i] > 2*nums[j] 罢了

解题的思路当然还是要在 merge 函数中做点手脚，当 nums[lo..mid] 和 nums[mid+1..hi] 两个子数组完成排序后，对于 nums[lo..mid] 中的每个元素 nums[i]，去 nums[mid+1..hi] 中寻找符合条件的 nums[j] 就行了

// 记录「翻转对」的个数
int count = 0;

// 将 nums[lo..mid] 和 nums[mid+1..hi] 这两个有序数组合并成一个有序数组
private void merge(int[] nums, int lo, int mid, int hi) {
    for (int i = lo; i <= hi; i++) {
        temp[i] = nums[i];
    }
    
    // 在合并有序数组之前，加点私货
    for (int i = lo; i <= mid; i++) {
        // 对于左半边的每个 nums[i]，都去右半边寻找符合条件的元素
        for (int j = mid + 1; j <= hi; j++) {
            // nums 中的元素可能较大，乘 2 可能溢出，所以转化成 long
            if ((long)nums[i] > (long)nums[j] * 2) {
                count++;
            }
        }
    }
    
    // 数组双指针技巧，合并两个有序数组
    int i = lo, j = mid + 1;
    for (int p = lo; p <= hi; p++) {
        if (i == mid + 1) {
            nums[p] = temp[j++];
        } else if (j == hi + 1) {
            nums[p] = temp[i++];
        } else if (temp[i] > temp[j]) {
            nums[p] = temp[j++];
        } else {
            nums[p] = temp[i++];
        }
    }
}

不过呢，这段代码提交会超时，毕竟额外添加了一个嵌套 for 循环。怎么进行优化呢，注意子数组 nums[lo..mid] 是排好序的，也就是 nums[i] <= nums[i+1]。

所以，对于 nums[i], lo <= i <= mid，我们在找到的符合 nums[i] > 2*nums[j] 的 nums[j], mid+1 <= j <= hi，也必然也符合 nums[i+1] > 2*nums[j]。

换句话说，我们不用每次都傻乎乎地去遍历整个 nums[mid+1..hi]，只要维护一个开区间边界 end，维护 nums[mid+1..end-1] 是符合条件的元素即可

class Solution {
    public int reversePairs(int[] nums) {
        // 执行归并排序
        sort(nums);
        return count;
    }

    private int[] temp;

    public void sort(int[] nums) {
        temp = new int[nums.length];
        sort(nums, 0, nums.length - 1);
    }  
    
    // 归并排序
    private void sort(int[] arr, int lo, int hi) {
        if (lo == hi) return;
        int mid = lo + (hi - lo) / 2;
        sort(arr, lo, mid);
        sort(arr, mid + 1, hi);
        merge(arr, lo, mid, hi);
    }

    // 记录「翻转对」的个数
    private int count = 0;

    private void merge(int[] nums, int lo, int mid, int hi) {
        for (int i = lo; i <= hi; i++) {
            temp[i] = nums[i];
        }
        
        // 进行效率优化，维护左闭右开区间 [mid+1, end) 中的元素乘 2 小于 nums[i]
        // 为什么 end 是开区间？因为这样的话可以保证初始区间 [mid+1, mid+1) 是一个空区间
        int end = mid + 1;
        for (int i = lo; i <= mid; i++) {
            // nums 中的元素可能较大，乘 2 可能溢出，所以转化成 long
            while (end <= hi && (long)nums[i] > (long)nums[end] * 2) {
                end++;
            }
            count += end - (mid + 1);
        }

        // 数组双指针技巧，合并两个有序数组
        int i = lo, j = mid + 1;
        for (int p = lo; p <= hi; p++) {
            if (i == mid + 1) {
                nums[p] = temp[j++];
            } else if (j == hi + 1) {
                nums[p] = temp[i++];
            } else if (temp[i] > temp[j]) {
                nums[p] = temp[j++];
            } else {
                nums[p] = temp[i++];
            }
        }
    }          
}

给你一个整数数组 nums 以及两个整数 lower 和 upper 。求数组中，值位于范围 [lower, upper] （包含 lower 和 upper）之内的 区间和的个数 。

区间和 S(i, j) 表示在 nums 中，位置从 i 到 j 的元素之和，包含 i 和 j (i ≤ j)。

简单说，题目让你计算元素和落在 [lower, upper] 中的所有子数组的个数。

首先，解决这道题需要快速计算子数组的和，创建一个前缀和数组 preSum 来辅助我们迅速计算区间和。

preSum 中的两个元素之差其实就是区间和。

class Solution {
    private int lower, upper;

    public int countRangeSum(int[] nums, int lower, int upper) {
    this.lower = lower;
        this.upper = upper;
        // 构建前缀和数组，注意 int 可能溢出，用 long 存储
        long[] preSum = new long[nums.length + 1];
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            preSum[i + 1] = (long)nums[i] + preSum[i];
        }
        // 对前缀和数组进行归并排序
        sort(preSum);
        return count;
    }

    private long[] temp;

    public void sort(long[] nums) {
        temp = new long[nums.length];
        sort(nums, 0, nums.length - 1);
    }

    private void sort(long[] nums, int lo, int hi) {
        if (lo == hi) {
            return;
        }
        int mid = lo + (hi - lo) / 2;
        sort(nums, lo, mid);
        sort(nums, mid + 1, hi);
        merge(nums, lo, mid, hi);
    }

    private int count = 0;

    private void merge(long[] nums, int lo, int mid, int hi) {
        for (int i = lo; i <= hi; i++) {
            temp[i] = nums[i];
        }
        
        // 在合并有序数组之前加点私货（这段代码会超时）
        // for (int i = lo; i <= mid; i++) {
        //     for (int j = mid + 1; j <= hi; k++) {
        //         // 寻找符合条件的 nums[j]
        //         long delta = nums[j] - nums[i];
        //         if (delta <= upper && delta >= lower) {
        //             count++;
        //         }
        //     }
        // }
        
        // 进行效率优化
        // 维护左闭右开区间 [start, end) 中的元素和 nums[i] 的差在 [lower, upper] 中
        int start = mid + 1, end = mid + 1;
        for (int i = lo; i <= mid; i++) {
            // 如果 nums[i] 对应的区间是 [start, end)，
            // 那么 nums[i+1] 对应的区间一定会整体右移，类似滑动窗口
            while (start <= hi && nums[start] - nums[i] < lower) {
                start++;
            }
            while (end <= hi && nums[end] - nums[i] <= upper) {
                end++;
            }
            count += end - start;
        }

        // 数组双指针技巧，合并两个有序数组
        int i = lo, j = mid + 1;
        for (int p = lo; p <= hi; p++) {
            if (i == mid + 1) {
                nums[p] = temp[j++];
            } else if (j == hi + 1) {
                nums[p] = temp[i++];
            } else if (temp[i] > temp[j]) {
                nums[p] = temp[j++];
            } else {
                nums[p] = temp[i++];
            }
        }
    }
}

我们依然在 merge 函数合并有序数组之前加了一些逻辑，这个效率优化有点类似维护一个滑动窗口，让窗口中的元素和 nums[i] 的差落在 [lower, upper] 中。

所有递归的算法，本质上都是在遍历一棵（递归）树，然后在节点（前中后序位置）上执行代码。你要写递归算法，本质上就是要告诉每个节点需要做什么。

–end–