区间DP

• • 石子合并：前缀和+动态规划
  • 最长合法子序列
  • 环形石子合并
  • 石子合并 II
  • 城镇国王
  • 超级括号序列
  • 炸弹人

区间DP：

• 状态：区间左右端点 dp[i][j]
• 阶段：区间长度
• 转移：由外到内

石子合并：前缀和+动态规划

问题特征：问总代价最少，求最优解 -> 动态规划的特征。

条件特征：石子合并，线性数组不断缩小的过程 -> 区间动态规划的特征。

按照区间DP定义状态：

• dp[i][j]：i-j 区间总代价最少

那 dp[i][j] 从哪里来？

从最后一步开始想，考虑合并最后的俩堆石子，一定有一个分界线X。

最后俩堆石子合并 = [第1堆-第X堆] + [第X+1堆-第N堆] + 石子总数

• dp[i][j] = min(dp[1][n], dp[1][x] + dp[x+1][n] + 石子总数)

但分界线X在哪里，我们确定不了，贪心算不出，只能枚举一轮找到最小值。

第1堆到第x堆怎么球呢？

• 寻找分界线m
• 1-x俩堆石子合并 = [第1堆-第m堆] + [第m+1堆-第x堆] + 1-m的石子总数

依此类推, 直到一堆石子。

for(int i=1; i<=n; i++)
	s[i] = s[i-1] + a[i];         // 前缀和，方便计算[i,j]区间的石子总数

int re( int i, int j )
    if ( i == j )  return 0;      // 只剩下一堆
    int ans = INT_MAX;
    for( int x = i; x < j; x++ )  // 枚举分界线
        ans = min( ans, re(i, x) + re(x+1, j) );
    return ans + s[j] - s[i-1];   // 加上石子总数

 

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最长合法子序列

 

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环形石子合并

 

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石子合并 II

 

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城镇国王

 

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超级括号序列

 

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炸弹人