一个有趣的现象：倒谱上的第一个峰，恰好对应回声相比原声的延时。

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回声 $y$ 是原始声音 $x$ 延迟 $t_0$ 秒后的、带有衰减 $\alpha$ 的副本

$$y=\alpha x(t-t_0)$$

方便起见，这里取 $\alpha =1$

原始声音 $x$ 可以理解成一堆不同频率的正弦波的和：
$$x=a_{1}sin(f_1)+a_{2}sin(f_2)+...$$回声 $y$ 等价于把上面各个正弦波向后推移 $t_0$，表示成附加一个相位 $\phi$：
$$y=a_{1}sin(f_1+{\phi }_1)+a_{2}sin(f_2+{\phi }_2)+...$$
最终麦克风接收到的信号记为 $z=x+y$

考察 $z$ 的任何一个频率成分

$$f_n:a_{n}sin(f_n)+a_{n}sin(f_n+{\phi }_n)$$

可以看到，向后推移 $t_0$ 对任何频率成分的幅度影响是不同的。

这个影响将以周期为 $1/t_0$ 的正弦扰动的形式，在幅度谱上被观察到。

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举例而言，取 $t_0=0.01$ $s$

则 $z$ 中 $100Hz$ 频率成分的幅度刚好翻倍，$50Hz$ 刚好抵消，

因为：

原来的 $100Hz$ 正弦波加上延时 $10$ $ms$ 后的 $100Hz$，刚好峰-峰对齐

原来的 $50Hz$ 正弦波加上延时 $10$ $ms$ 后的 $50Hz$，刚好峰-谷对齐

以此推类，相比 $x$ 的幅度谱，$z$ 的幅度谱上

$200Hz/300Hz/400Hz...$ 都会翻倍

$50Hz/150Hz/250Hz...$ 都会相消

相当于回声给 $x$ 的幅度谱上附加一个周期为 $100Hz$ 的正弦扰动成分

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由上面的讨论可知，迟滞 $t_0$ 的回声的存在

会使得 $z$ 的幅度谱上多出了一个周期为 $1/t_0$ 、频率为 $t_0$ 的正弦扰动。

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那么如何表示这个幅度谱上频率为 $t_0$ 的正弦波？

可以把幅度谱当作一个信号，对其进行傅里叶变换，观察能量最高的成分。

这样得到的便是倒谱，谱上频率为 $t_0$ 的高峰，将恰好代表幅度谱上的扰动。