一、引入

1. 关联式容器

二、键值对

三、树形结构的关联式容器

3.1 set

3.1.1 set的介绍

3.1.2 set的使用

3.2 map3.2.1 map的介绍

3.2.2 map的使用

3.3 multiset

3.3.1 multiset的介绍

3.4 multimap

3.4.1 multimap的介绍

四、底层结构

4.1 AVL 树

4.1.1 AVL树的概念

4.1.2 AVL树节点的定义

4.1.3 AVL树的插入

4.1.4 AVL树的旋转

1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

4.1.5 AVL树的验证

4.1.6 AVL树的性能

4.2 红黑树

4.2.1 红黑树的概念

4.2.2 红黑树的性质

4.2.3 红黑树结构

4.2.5 红黑树的插入操作

一、引入

1. 关联式容器

在初阶阶段，我们已经接触过STL中的部分容器，比如：vector、list、deque、forward_list(C++11)等

这些容器统称为序列式容器，因为其底层为线性序列的数据结构，里面存储的是元素本身。

关联式容器也是用来存储数据的，与序列式容器不同的是，其里面存储的是<key, value>结构的键值对，在数据检索时比序列式容器效率更高。

二、键值对

用来表示具有一一对应关系的一种结构，该结构中一般只包含两个成员变量key和value，key代表键值，value表示与key对应的信息。

三、树形结构的关联式容器

STL总共实现了两种不同结构的管理式容器：树型结构与哈希结构。树型结构的关联式
容器主要有四种：map、set、multimap、multiset。这四种容器的共同点是：使用平衡搜索树(即红黑树)作为其底层结果，容器中的元素是一个有序的序列。下面一依次介绍每一个容器

3.1 set

3.1.1 set的介绍

1.set是按照一定次序存储元素的容器

2. 在set中，元素的value也标识它(value就是key，类型为T)，并且每个value必须是唯一的。set中的元素不能在容器中修改(元素总是const)，但是可以从容器中插入或删除它们。

3. 在内部，set中的元素总是按照其内部比较对象(类型比较)所指示的特定严格弱排序准则进行排序。

4. set容器通过key访问单个元素的速度通常比unordered_set容器慢，但它们允许根据顺序对子集进行直接迭代。

5. set在底层是用二叉搜索树(红黑树)实现的。

注意：
1. 与map/multimap不同，map/multimap中存储的是真正的键值对<key, value>，

set中只放value，但在底层实际存放的是由<value, value>构成的键值对。

2. set中插入元素时，只需要插入value即可，不需要构造键值对。

3. set中的元素不可以重复(因此可以使用set进行去重)。

4. 使用set的迭代器遍历set中的元素，可以得到有序序列

5. set中的元素默认按照小于来比较

6. set中查找某个元素，时间复杂度为：O(logN)也就是树的高度

7. set中的元素不允许修改

8. set中的底层使用二叉搜索树(红黑树)来实现。

3.1.2 set的使用

1. set的模板参数列表

template < class T,                        // set::key_type/value_type           
class Compare = less<T>,        // set::key_compare/value_compare          
class Alloc = allocator<T>      // set::allocator_type           
         > class set;

T: set中存放元素的类型，实际在底层存储<value, value>的键值对。
Compare：set中元素默认按照小于来比较
Alloc：set中元素空间的管理方式，使用STL提供的空间配置器管理

2. set的构造

函数声明 ——功能介绍

set (const Compare& comp = Compare(), const Allocator& =Allocator() );
构造空的set

set (InputIterator first, InputIterator last, const Compare&comp = Compare(),

const Allocator& = Allocator() );

用[first, last)区间中的元素构造set

set ( const set<Key,Compare,Allocator>& x);

set的拷贝构造

3. set的迭代器

函数声明功能介绍
iterator begin() ——返回set中起始位置元素的迭代器
iterator end() ——返回set中最后一个元素后面的迭代器

const_iterator cbegin() const ——返回set中起始位置元素的const迭代器
const_iterator cend() const ——返回set中最后一个元素后面的const迭代器

reverse_iterator rbegin() ——返回set第一个元素的反向迭代器，即end
reverse_iterator rend()——返回set最后一个元素下一个位置的反向迭代器，即begin

const_reverse_iterator crbegin() const ——返回set第一个元素的反向const迭代器，即cend
const_reverse_iterator crend() const ——返回set最后一个元素下一个位置的反向const迭代器，即crbegin

4. set的容量

函数声明 ——功能介绍
bool empty ( ) const ——检测set是否为空，空返回true，否则返回true
size_type size() const ——返回set中有效元素的个数

5. set修改操作

函数声明功能介绍
pair<iterator,bool> insert (const value_type& x )
在set中插入元素x，实际插入的是<x, x>构成的键值对，如果插入成功，返回<该元素在set中的位置，true>,如果插入失败，说明x在set中已经存在，返回<x在set中的位置，false>

void erase ( iterator position ) ——删除set中position位置上的元素

size_type erase ( const key_type& x )——删除set中值为x的元素，返回删除的元素的个数

void erase ( iterator first,iterator last )——删除set中[first, last)区间中的元素，左闭右开

void swap (set<Key,Compare,Allocator>&st );——交换set中的元素

void clear ( ) ——将set中的元素清空

iterator find ( const key_type& x ) const——返回set中值为x的元素的位置

size_type count ( const key_type& x ) const——返回set中值为x的元素的个数

3.2 map
3.2.1 map的介绍

1. map是关联容器，它按照特定的次序(按照key来比较)存储由键值key和值value组合而成的元素。

2. 在map中，键值key通常用于排序和惟一地标识元素，而值value中存储与此键值key关联的内容。键值key和值value的类型可能不同，并且在map的内部，key与value通过成员类型value_type绑定在一起，为其取别名称为 pair: typedef pair value_type;

3. 在内部，map中的元素总是按照键值key进行比较排序的。

4. map中通过键值访问单个元素的速度通常比unordered_map容器慢，但map允许根据顺序对元素进行直接迭代(即对map中的元素进行迭代时，可以得到一个有序的序列)。

5. map支持下标访问符，即在[]中放入key，就可以找到与key对应的value。

6. map通常被实现为二叉搜索树(更准确的说：平衡二叉搜索树(红黑树))。

3.2.2 map的使用

1. map的模板参数说明

key: 键值对中key的类型
T：键值对中value的类型
Compare: 比较器的类型，map中的元素是按照key来比较的，缺省情况下按照小于来比较，一般情况下(内置类型元素)该参数不需要传递，如果无法比较时(自定义类型)，需要用户自己显式传递比较规则(一般情况下按照函数指针或者仿函数来传递)
Alloc：通过空间配置器来申请底层空间，不需要用户传递，除非用户不想使用标准库提供的空间配置器
注意：在使用map时，需要包含头文件。

2. map的构造

函数声明 ——功能介绍
map() ——构造一个空的map

3. map的迭代器

函数声明—— 功能介绍
begin()和end() ——begin:首元素的位置，end最后一个元素的下一个位置

cbegin()和cend() ——与begin和end意义相同，但cbegin和cend所指向的元素不能修改

rbegin()和rend()——反向迭代器，rbegin在end位置，rend在begin位置，其++和--操作与begin和end操作移动相反

crbegin()和crend()——与rbegin和rend位置相同，操作相同，但crbegin和crend所指向的元
素不能修改

4. map的容量与元素访问

函数声明 ——功能简介
bool empty ( ) const——检测map中的元素是否为空，是返回true，否则返回false

size_type size() const ——返回map中有效元素的个数

mapped_type& operator[] (const key_type& k)——返回去key对应的value

注意：在元素访问时，有一个与operator[]类似的操作at()(该函数不常用)函数，都是通过key找到与key对应的value然后返回其引用，不同的是：当key不存在时，operator[]用默认value与key构造键值对然后插入，返回该默认value，at()函数直接抛异常。

5. map中元素的修改

函数声明功能简介
pair<iterator,bool> insert (const value_type& x )
在map中插入键值对x，注意x是一个键值对，返回值也是键值对：iterator代表新插入元素的位置，bool代表释放插入成功

void erase ( iterator position ) ——删除position位置上的元素

size_type erase ( const key_type& x )——删除键值为x的元素

void erase ( iterator first, iterator last )——删除[first, last)区间中的元素

void swap (map<Key,T,Compare,Allocator>&mp )——交换两个map中的元素

void clear ( )—— 将map中的元素清空

iterator find ( const key_type& x)——在map中插入key为x的元素，找到返回该元素的位置
的迭代器，否则返回end

const_iterator find ( const key_type& x ) const
——在map中插入key为x的元素，找到返回该元素的位置的const迭代器，否则返回cend

size_type count ( const key_type& x ) const——返回key为x的键值在map中的个数，注意map中key是唯一的，因此该函数的返回值要么为0，要么为1，因此也可以用该函数来检测一个key是否在map中

1. map中的的元素是键值对
2. map中的key是唯一的，并且不能修改
3. 默认按照小于的方式对key进行比较
4. map中的元素如果用迭代器去遍历，可以得到一个有序的序列
5. map的底层为平衡搜索树(红黑树)，查找效率比较高
6. 支持[]操作符，operator[]中实际进行插入查找。

3.3 multiset
3.3.1 multiset的介绍

1. multiset是按照特定顺序存储元素的容器，其中元素是可以重复的。

2. 在multiset中，元素的value也会识别它(因为multiset中本身存储的就是<value, value>组成的键值对，因此value本身就是key，key就是value，类型为T). multiset元素的值不能在容器中进行修改(因为元素总是const的)，但可以从容器中插入或删除。

3. 在内部，multiset中的元素总是按照其内部比较规则(类型比较)所指示的特定严格弱排序准则进行排序。

4. multiset容器通过key访问单个元素的速度通常比unordered_multiset容器慢，但当使用迭代器遍历时会得到一个有序序列。

5. multiset底层结构为二叉搜索树(红黑树)。

注意：
1. multiset中，底层中存储的是<value, value>的键值对
2. mtltiset的插入接口中只需要插入即可
3. 与set的区别是，multiset中的元素可以重复，set是中value是唯一的
4. 使用迭代器对multiset中的元素进行遍历，可以得到有序的序列
5. multiset中的元素不能修改
6. 在multiset中找某个元素，时间复杂度为O(logN)
7. multiset的作用：可以对元素进行排序

3.4 multimap
3.4.1 multimap的介绍

1. Multimaps是关联式容器，它按照特定的顺序，存储由key和value映射成的键值对<key, value>，其中多个键值对之间的key是可以重复的。

2. 在multimap中，通常按照key排序和惟一地标识元素，而映射的value存储与key关联的内容。key和value的类型可能不同，通过multimap内部的成员类型value_type组合在一起，value_type是组合key和value的键值对:
typedef pair<const Key, T> value_type;

3. 在内部，multimap中的元素总是通过其内部比较对象，按照指定的特定严格弱排序标准对key进行排序的。

4. multimap通过key访问单个元素的速度通常比unordered_multimap容器慢，但是使用迭代器直接遍历multimap中的元素可以得到关于key有序的序列。

5. multimap在底层用二叉搜索树(红黑树)来实现。

注意：multimap和map的唯一不同就是：map中的key是唯一的，而multimap中key是可以重复的

1. multimap中的key是可以重复的。
2. multimap中的元素默认将key按照小于来比较
3. multimap中没有重载operator[]操作

四、底层结构

map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

4.1 AVL 树

4.1.1 AVL树的概念

当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

图上的蓝色数字即为该节点的左右子树高度之差。

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在，搜索时
间复杂度O( logN)。

4.1.2 AVL树节点的定义

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
    AVLTreeNode(const T& data)
        : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
        , _data(data), _bf(0)
    {}
    AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子
    AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子
    AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
    T _data;
    int _bf; // 该节点的平衡因子
};

4.1.3 AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。

那AVL树的插入过程可以分为两步：
1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可

2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1，正负2

1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此
时满足AVL树的性质，插入成功
2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转
处理

4.1.4 AVL树的旋转

1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

左图为F节点即为根节点，右图为F节点上面还有节点。（红黑树也会用到旋转哦！）

void RotateR(Node* parent)
{
    Node* subL = parent->_left;
    Node* subLR = subL->_right;

    parent->_left = subLR;
     if (subLR)
        subLR->_parent = parent;

    Node* parentParent = parent->_parent;

    subL->_right = parent;
    parent->_parent = subL;

     if (parent == _root)
      {
        _root = subL;
        _root->_parent = nullptr;
        }
        else
        {
       if (parentParent->_left == parent)
        parentParent->_left = subL;
       else
        parentParent->_right = subL;

      subL->_parent = parentParent;
     }
}

2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

以60节点作为cur节点，30节点是parent节点。60节点左侧连接30节点，把60节点的左子树给30节点，当30节点的右子树。返回60节点作为parent节点

3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

以60节点作为cur节点，30节点是parent节点。找到60节点左子树的最左侧，连接30节点，把60节点的左子树给30节点，当30节点的右子树。

以60节点作为cur节点，90节点作为parent节点，60节点右侧连接90节点，右子树交由90节点作为90的左子树。

void _RotateLR(PNode pParent)
{
    PNode pSubL = pParent->_pLeft;
    PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平
衡因子
    int bf = pSubLR->_bf;
// 先对30进行左单旋
    _RotateL(pParent->_pLeft);
// 再对90进行右单旋
    _RotateR(pParent);
    if(1 == bf)
        pSubL->_bf = -1;
    else if(-1 == bf)
        pParent->_bf = 1;
}

4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

60节点cur，90节点parent，60节点右侧连接90，60的右子树交给90的左侧。

60节点cur，30节点parent，60左侧连接30,60的左子树交给30当右子树。

假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR

当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋（右侧高，插在了右侧）

当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋（左侧高，插在了较高右子树的左侧）

2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL

当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋（左侧高，插在了在左侧）

当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋（右侧高，插在了较高左子树的右侧）

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新

左边高进行右单旋，右边高左单旋

4.1.5 AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
1. 验证其为二叉搜索树
        如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2. 验证其为平衡树
        每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
        节点的平衡因子是否计算正确

4.1.6 AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 O(logN)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：
插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。
因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合