分形是无限复杂的模式，在不同的尺度上具有自相似性。例如，一棵树的树干会分裂成更小的树枝。这些树枝又分裂成更小的树枝，以此类推。
通过编程的方式生成分形，可以将简单的形状变成复杂的重复图案。
本文将探讨如何利用一些简单的几何学基础和编程知识，在Python中建立令人印象深刻的分形图案。
分形在数据科学中发挥着重要作用。例如，在分形分析中，对数据集的分形特征进行评估，以帮助理解基础过程的结构。此外，处于分形生成中心的循环算法可以应用于广泛的数据问题，例如从二进制搜索算法到递归神经网络。
一、目标
写一个可以画等边三角形的程序，并且在三角形的每条边上，它必须能够绘制一个稍微小一点的向外的三角形。能够根据人的意愿多次重复此过程，从而创建一些有趣的模式。
二、表示图像
把图像表示为一个二维的像素阵列。像素阵列中的每个单元格将代表该像素的颜色（RGB）。
为此，可以使用NumPy库生成像素数组，并使用Pillow将其转换为可以保存的图像。
蓝色像素的x值为3，y值为4，可以通过一个二维数组访问，如pixels[4][3]
三、画一条线
现在开始编码，首先，需要一个可以获取两组坐标并在它们之间画一条线的函数。
下面的代码通过在两点之间插值来工作，每一步都向像素阵列添加新的像素。你可以把这个过程看作是在一条线上逐个像素地进行着色。
可以在每个代码片段中使用连续字符“\”来容纳一些较长的代码行。
import numpy as np
from PIL import Image
import math
def plot_line(from_coordinates, to_coordinates, thickness, colour, pixels):
# 找出像素阵列的边界
max_x_coordinate = len(pixels[0])
max_y_coordinate = len(pixels)
# 两点之间沿着x轴和y轴的距离
horizontal_distance = to_coordinates[1] - from_coordinates[1]
vertical_distance = to_coordinates[0] - from_coordinates[0]
# 两点之间的总距离
distance = math.sqrt((to_coordinates[1] - from_coordinates[1])**2 \
+ (to_coordinates[0] - from_coordinates[0])**2)
# 每次给一个新的像素上色时，将向前走多远
horizontal_step = horizontal_distance/distance
vertical_step = vertical_distance/distance
# 此时，将进入循环以在像素数组中绘制线
# 循环的每一次迭代都会沿着线添加一个新的点
for i in range(round(distance)):
# 这两个坐标是直线中心的坐标
current_x_coordinate = round(from_coordinates[1] + (horizontal_step*i))
current_y_coordinate = round(from_coordinates[0] + (vertical_step*i))
# 一旦得到了点的坐标，
# 就在坐标周围画出尺寸为thickness的图案
for x in range (-thickness, thickness):
for y in range (-thickness, thickness):
x_value = current_x_coordinate + x
y_value = current_y_coordinate + y
if (x_value > 0 and x_value < max_x_coordinate and \
y_value > 0 and y_value < max_y_coordinate):
pixels[y_value][x_value] = colour
# 定义图像的大小
pixels = np.zeros( (500,500,3), dtype=np.uint8 )
# 画一条线
plot_line([0,0], [499,499], 1, [255,200,0], pixels)
# 把像素阵列变成一张真正的图片
img = Image.fromarray(pixels)
# 显示得到的图片，并保存它
img.show()
img.save('Line.png')
此函数在像素阵列的每个角之间绘制一条黄线时的结果
四、画三角形
现在有了一个可以在两点之间画线的函数，可以画第一个等边三角形了。
给定三角形的中心点和边长，可以使用公式计算出高度：h = ½(√3a)。
现在利用这个高度、中心点和边长，可以计算出三角形的每个角的位置。使用之前制作的plot_line函数，可以在每个角之间画一条线。
def draw_triangle(center, side_length, thickness, colour, pixels):
# 等边三角形的高度是，h = ½(√3a)
# 其中a是边长
triangle_height = round(side_length * math.sqrt(3)/2)
# 顶角
top = [center[0] - triangle_height/2, center[1]]
# 左下角
bottom_left = [center[0] + triangle_height/2, center[1] - side_length/2]
# 右下角
bottom_right = [center[0] + triangle_height/2, center[1] + side_length/2]
# 在每个角之间画一条线来完成三角形
plot_line(top, bottom_left, thickness, colour, pixels)
plot_line(top, bottom_right, thickness, colour, pixels)
plot_line(bottom_left, bottom_right, thickness, colour, pixels)
在500x500像素PNG的中心绘制三角形时的结果
五、生成分形
一切都已准备就绪，可以用Python创建第一个分形。
但是最后一步是最难完成的，三角形函数为它的每一边调用自己，需要能够计算每个新的较小三角形的中心点，并正确地旋转它们，使它们垂直于它们所附着的一侧。
通过从旋转的坐标中减去中心点的偏移量，然后应用公式来旋转一对坐标，可以用这个函数来旋转三角形的每个角。
def rotate(coordinate, center_point, degrees):
# 从坐标中减去旋转的点
x = (coordinate[0] - center_point[0])
y = (coordinate[1] - center_point[1])
# Python的cos和sin函数采用弧度而不是度数
radians = math.radians(degrees)
# 计算旋转点
new_x = (x * math.cos(radians)) - (y * math.sin(radians))
new_y = (y * math.cos(radians)) + (x * math.sin(radians))
# 将在开始时减去的偏移量加回旋转点上
return [new_x + center_point[0], new_y + center_point[1]]
将每个坐标旋转35度的三角形
可以旋转一个三角形后，思考如何在第一个三角形的每条边上画一个新的小三角形。
为了实现这一点，扩展draw_triangle函数，为每条边计算一个新三角形的旋转和中心点，其边长被参数shrink_side_by减少。
一旦它计算出新三角形的中心点和旋转，它就会调用draw_triangle（自身）来从当前线的中心画出新的、更小的三角形。然后，这将反过来打击同一个代码块，为一个更小的三角形计算另一组中心点和旋转。
这就是所谓的循环算法，因为draw_triangle函数现在会调用自己，直到达到希望绘制的三角形的最大深度。有这个转义句子是很重要的，因为理论上这个函数会一直循环下去（但实际上调用堆栈会变得太大，导致堆栈溢出错误）。
def draw_triangle(center, side_length, degrees_rotate, thickness, colour, \
pixels, shrink_side_by, iteration, max_depth):
# 等边三角形的高度是，h = ½(√3a)
# 其中'a'是边长
triangle_height = side_length * math.sqrt(3)/2
# 顶角
top = [center[0] - triangle_height/2, center[1]]
# 左下角
bottom_left = [center[0] + triangle_height/2, center[1] - side_length/2]
# 右下角
bottom_right = [center[0] + triangle_height/2, center[1] + side_length/2]
if (degrees_rotate != 0):
top = rotate(top, center, degrees_rotate)
bottom_left = rotate(bottom_left, center, degrees_rotate)
bottom_right = rotate(bottom_right, center, degrees_rotate)
# 三角形各边之间的坐标
lines = [[top, bottom_left],[top, bottom_right],[bottom_left, bottom_right]]
line_number = 0
# 在每个角之间画一条线来完成三角形
for line in lines:
line_number += 1
plot_line(line[0], line[1], thickness, colour, pixels)
# 如果还没有达到max_depth，就画一些新的三角形
if (iteration < max_depth and (iteration < 1 or line_number < 3)):
gradient = (line[1][0] - line[0][0]) / (line[1][1] - line[0][1])
new_side_length = side_length*shrink_side_by
# 正在绘制的三角形线的中心
center_of_line = [(line[0][0] + line[1][0]) / 2, \
(line[0][1] + line[1][1]) / 2]
new_center = []
new_rotation = degrees_rotate
# 需要旋转traingle的数量
if (line_number == 1):
new_rotation += 60
elif (line_number == 2):
new_rotation -= 60
else:
new_rotation += 180
# 在一个理想的世界里，这将是gradient=0，
# 但由于浮点除法的原因，无法
# 确保永远是这种情况
if (gradient < 0.0001 and gradient > -0.0001):
if (center_of_line[0] - center[0] > 0):
new_center = [center_of_line[0] + triangle_height * \
(shrink_side_by/2), center_of_line[1]]
else:
new_center = [center_of_line[0] - triangle_height * \
(shrink_side_by/2), center_of_line[1]]
else:
# 计算直线梯度的法线
difference_from_center = -1/gradient
# 计算这条线距中心的距离
# 到新三角形的中心
distance_from_center = triangle_height * (shrink_side_by/2)
# 计算 x 方向的长度，
# 从线的中心到新三角形的中心
x_length = math.sqrt((distance_from_center**2)/ \
(1 + difference_from_center**2))
# 计算出x方向需要走哪条路
if (center_of_line[1] < center[1] and x_length > 0):
x_length *= -1
# 现在计算Y方向的长度
y_length = x_length * difference_from_center
# 用新的x和y值来偏移线的中心
new_center = [center_of_line[0] + y_length, \
center_of_line[1] + x_length]
draw_triangle(new_center, new_side_length, new_rotation, \
thickness, colour, pixels, shrink_side_by, \
iteration+1, max_depth)
三角形分形，收缩边=1/2，最大深度=2
六、结论
下面是通过修改输入到draw_triangle函数的shrink_side_by和max_depth值生成的不同图像的一些示例。
有趣的是，这些多次重复的图案往往能创造出更复杂的形状，比如六边形，但却具有令人着迷的对称性。
越来越复杂的形状开始在重复三角形的对称性中出现
另一个分形，每次迭代使用较小的尺寸减小
分形是非常有趣的玩法，可以创造出美丽的图案。使用一些简单的概念和丰富的创造力，可以产生非常令人印象深刻的结构。
在理解分形的核心属性和应用循环算法的过程中打下的坚实基础，可以帮助理解数据科学中更复杂的分形问题。
