算法设计与分析阶段考总结

news2024/11/15 6:44:28

前言:基本是为了我自己看的一些我容易忘记的东西,为考试作准备把

第一章

算法中的基本概念

程序设计=数据结构+算法

算法特性

1.有穷性

2.确定性

3.可行性

4.输出

5.输入

算法复杂性分析

算法复杂性依赖于:问题规模N,输入I,算法本身A

时间复杂性T和空间复杂性S

时间复杂度

1.Master定理

求解T(n)=aT(n/b)+f(n)型方程,

第二章

递归算法:直接或者间接调用自身的算法称为递归算法

分治法的基本步骤如下:

  1. 分解:将原问题分解为若干个规模较小的子问题,这些子问题相互独立且与原问题形式相同。
  2. 解决:递归地解决各个子问题。如果子问题的规模足够小,则直接解决。
  3. 合并:将各个子问题的解合并起来,构成原问题的解。

Strassen矩阵乘法:

  1. 问题描述:给定两个n*n的矩阵A B,求C=A*B;

改进:

第三章

动态规划通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。

动态规划的基本步骤如下:

  1. 定义状态:定义一个状态数组,用于存储子问题的解。
  2. 状态转移方程:定义状态转移方程,用于描述如何从一个状态转移到另一个状态。
  3. 初始化:初始化状态数组中的某些值。
  4. 计算结果:根据状态转移方程和初始值,计算状态数组中的所有值,最终得到原问题的解。

备忘录方法        自顶向下的递归方式

动态规划算法        以自底向上

贪心算法以自顶向下的方式进行

第四章

贪心法是一种解决问题的方法,它在每一步都选择当前看起来最优的解,希望最终得到全局最优解。贪心法通常用于解决具有贪心选择性质和最优子结构的问题。

贪心法的基本步骤如下:

  1. 定义目标函数:定义一个目标函数,用于衡量解的优劣。
  2. 贪心选择:在每一步中,选择当前看起来最优的解。
  3. 证明正确性:证明贪心选择能够得到全局最优解。

贪心选择性        最优子结构

贪心法的适用范围

贪心策略适用的前提是:局部最优策略能导致产生全局最优解。

选择题填空题

程序设计=数据结构+算法

算法分析

 大整数乘法:

  1. 问题描述:n位10进制整数X和Y,输出X和Y的乘积;

棋盘覆盖问题:

  1. 问题描述:在一个2k×2k 个方格组成的棋盘中,恰有一个方格与其它方格不同,称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一特殊棋盘。在 棋盘覆盖问题中,要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格, 且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

具体思想就是将一个大棋盘分割成4个小棋盘,有3个小棋盘中没有特殊方格,用一个L型的骨牌覆盖3个小棋盘的汇合处。按照左上、右上、左下、右下的方法递归覆盖。

合并排序

改进 

 

循环赛日程表:

 

矩阵连乘

最长公共子序列问题

思路 

 追踪

 

0-1背包

 

活动安排问题

 

 

程序设计

汉诺塔问题

问题描述:Hanoi问题起源于一个类似传说故事,在Hanoi这个地方有一个寺庙,这里有3根柱子和64个大小不同的金碟子。每个碟子有一个孔可以穿过。所有的碟子都放在第一个柱子上,而且按照从上到下碟子的大小依次增大的顺序摆设。如下图所示。现在,假定寺庙里的僧侣要移动这些碟子,将它们从柱子a移动到柱子b上。不过移动的规则如下:    1.每次只能从一个柱子的最上面移动一个碟子到另外一个柱子上。    2.不能将大碟子放到小碟子的上面。    按照前面这个规则,我们该怎么去移动这些碟子呢?

void hanoi(int n,char a,char b,char c)//将n个碟子从a移到b
 { 
    if(n==0) 
    return; 
    else 
     { 
        hanoi(n-1,a,c,b); 
        move(a,b); 
        hanoi(n-1,c,b,a);
     }
}
  • 移动方法是从a->b->c->a,在移动圆盘的时候,若是奇数次移动,则将最小的圆盘移动到顺时针方向的下一个塔座上,若是偶数次移动,则在其他两个塔座之间,将较小的圆盘移动到另一个塔座上去;

全排序

void Perm(int list[], int k, int m)
{
      if(k==m)
       {   for(int i=0;i<=m;i++)   cout<<list[i];
            cout<<endl;
        }
        else
         for(int i=k;i<=m;i++)
          {  
              swap(list[k],list[i]);
              Perm(list, k+1,m);
               swap(list[k],list[i]);
            } }

快速排序

#include<algorithm>

#include<cstdio>



using namespace std;



const int N=1e5+5;

int q[N];

void quick_sort(int *q,int l,int r)

{

    if(l>=r)return;

    int i=l-1,j=r+1,x=q[l+r+1>>1];

    while(i<j)

    {

        do i++;while(q[i]<x);

        do j--;while(q[j]>x);

        if(i<j)swap(q[i],q[j]);

    }

    quick_sort(q,l,i - 1),quick_sort(q,i,r);

}



int main()

{

    int n=0,x;

    while(~scanf("%d",&x)&&x)q[++n]=x;

    quick_sort(q,1,n);

    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",q[i]);

}

合并排序

void MergeSort(Type a[], int left, int  right)
   {
      if (left<right) {//至少有2个元素
         int i=(left+right)/2;  //取中点
         MergeSort(a, left, i);
         MergeSort(a, i+1, right);
        Merge(a, b, left, i, right);  //合并到数组b
       copy(a, b, left, right);    //复制回数组a
      }
   }

最大子段和问题

// 动态规划求解最大子段和问题
// n:数组a的元素个数
// a:待求最大子段和的数组
// c:保存子段和的起点
// d:返回最大子段和的终点
int MaxSum(int n, int *a, int *c, int *d) {
    int *b, sum; // b数组保存以i结尾的最大子段和,sum保存当前找到的最大子段和
    sum = 0;
    b[0] = 0; // 初始化b[0]为0
    for(i = 1; i <= n; i++) {
        if(b[i-1] > 0) {
            b[i] = b[i-1] + a[i]; // 如果前一个最大子段和是正数,则加上当前元素能获得更大的子段和
            c[i] = 1; // 标记当前元素在前一个最大子段和中
        } else {
            b[i] = a[i]; // 如果前一个最大子段和是负数,则当前元素就是新的最大子段和的开头
            c[i] = 0; // 标记当前元素为新的最大子段和的开头
        }
        if(b[i] > sum) { // 如果当前最大子段和比已知的最大子段和更大
            sum = b[i]; // 更新最大子段和
            (*d) = i; // 记录当前最大子段和的结束位置
        }
    }
    return sum; // 返回最大子段和
}

 0-1背包

​​#include<bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
const int MAXN = 1005;
int v[MAXN];    // 体积
int w[MAXN];    // 价值
int f[MAXN][MAXN];  // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值
 
int main()
{
    int n, m;
    cin >> m >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> v[i] >> w[i];
 
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            //  当前背包容量装不进第i个物品,则价值等于前i-1个物品
            if(j < v[i])
                f[i][j] = f[i - 1][j];
            // 能装,需进行决策是否选择第i个物品
            else
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
 
    cout << f[n][m] << endl;
 
    return 0;
}
 

最优装载

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
const int MAXN = 10005;
int w[MAXN];
 
bool cmp(int a, int b) {
    return a > b;
}
 
int main() {
    int n, c;
    cin >> n >> c;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> w[i];
    }
    sort(w + 1, w + n + 1, cmp);
    int sum = 0, cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (sum + w[i] <= c) {
            sum += w[i];
            cnt++;
        } else {
            break;
        }
    }
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

活动安排

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105;
int n,t;
int s[N],f[N];
void solve() {
	if(f[1] > t)return;
	cout <<"choose: 1 ";
	int j = 1;
	for(int i = 2; i <= n; ++i) {
		if(s[i] >= f[j]) {
			cout << i << " ";
			j = i;
		}
	}
}

int main() {
	cin >> n >> t;
	for(int i = 1; i <=n ; ++i) {
		cin >> s[i] >> f[i];
	}
	solve();
	return 0;
}

/*输入
10 11
1 4
3 5
0 6
5 7
3 8
5 9
6 10
8 11
8 12
2 13
*/

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