题目描述

给定M×N矩阵，每一行、每一列都按升序排列，请编写代码找出某元素。

示例:

现有矩阵 matrix 如下：

[
  [1,   4,  7, 11, 15],
  [2,   5,  8, 12, 19],
  [3,   6,  9, 16, 22],
  [10, 13, 14, 17, 24],
  [18, 21, 23, 26, 30]
]

给定 target = 5，返回 true。
给定 target = 20，返回 false。

解题方法与思路

这道题，确实可以算作一道中等题。它一共有三种解决方案，一种方法的时间复杂度都要低于前面一种的时间复杂度。并且，每一种都有它独特的地方在。我想，这就是这道题的魅力所在。
接下来，就让我来为你讲述，这道题的三种方法究竟是哪三种方法。

方法一：顺序查找法

顾名思义，就是顺序查找，暴力破解。我们用两个双层for循环去解决它。

但是，需要注意的是，使用一般的双层for循环，这道题会超时，得写成类似于这样的形式才行
for (const auto& row: matrix)
这是因为这样的写法，就不会去复制数组里的元素值，从而节省了一定的时间。

具体的代码如下：

class Solution {
public:
    bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        if(matrix.empty()) return false;
        for (const auto& row: matrix) {
            for (int element: row) {
                if (element == target) {
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }
};

在这里插入图片描述

复杂度分析

时间复杂度：O(mn) 其中m是矩阵的行数，n是矩阵的列数
空间复杂度：O(1)

方法二：二分查找法

由于这个矩阵中的元素是有序的，所以我们可以使用二分查找法来降低时间复杂度。
我们分别对矩阵的每一行使用二分查找，去找目标元素，找到了就返回true，否则就是false
二分查找其实就是设置两个指针left 与 right 分别指向数组的头元素与尾元素。然后使用while循环去遍历这整个数组
left 要小于等于 right 。我们找到数组的中间元素mid。假如mid 等于目标元素，返回true，小于目标元素，left = mid +1，否则就是right = mid -1
最后如果都找不到就返回 false

具体的代码如下：

class Solution {
public:
    bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        for(int i = 0; i < matrix.size(); ++i){
            int left = 0;
            int right = matrix[0].size() - 1;
            while(left <= right){
                int mid = (left + right) / 2;
                if(matrix[i][mid] == target) return true;
                else if(matrix[i][mid] < target) left = mid +1;
                else right = mid - 1;
            }
        }
        return false;
    }
};

在这里插入图片描述

复杂度分析

时间复杂度：O(m * log(n)) 其中m是矩阵的行数，n是矩阵的列数
空间复杂度：O(1)

方法三：基于观察法的查找矩阵算法，Z字查找

我们观察矩阵，发现这个矩阵的横向与纵向的元素其实都是递增的。
根据这个特性，我们可以从矩阵的右上角元素开始遍历。
假如目标元素大于右上角元素，说明这个元素，大于第一行所有元素，下次遍历的时候，就直接少遍历一行，从下一行开始遍历。
假如目标元素小于左上角元素，那就说明，这个元素，直接小于最后一列的所有元素，所以下次就直接少遍历一列。
由此这样遍历，每一次遍历，都能缩小一行或者一列的元素。进一步的缩小了时间复杂度与空间复杂度。

具体的代码如下：

class Solution {
public:
    bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        if(matrix.empty()) return false;
        int row = 0;
        int col = matrix[0].size() - 1;
        while(row < matrix.size() && col >= 0){
            if(matrix[row][col] > target) --col;
            else if(matrix[row][col] < target) ++row;
            else return true;
        }
        return false;
    }
};