Seal库官方示例（一）：bfv

尽量理论来理解代码。
完整代码或者\native\examples里面

说到前面的话

两段官方的话

大致意思就是，这个库有门槛，需要先学会同态的概念，提供的例子必须要看要理解。必看的例子如下，

代码解析

基础加密

参数设置

三个核心参数
首先要知道这里的BFV代码是基于RLWE的，也就是涉及到多项式运算，同时它只能加密整数。
回忆一下RLWE的实例 $(b = a s + e, a)$ 中的部分是取自于多项式环 $R_q = \mathbb{Z}_q[x]/f(x)$ （其中 $f(x)=x^N+1$ ），明文空间是 $R_t$ 。
那么由此将得到三个十分重要的加密参数，即多项式阶数模 $N$ 、多项式系数模数 $q$ 、明文模数 $t$
第三个参数仅有bfv需要(BGV的明文空间是 $R_2$ ,CKKS是浮点数和复数)。

poly_modulus_degree (degree of polynomial modulus);
coeff_modulus ([ciphertext] coefficient modulus);
plain_modulus (plaintext modulus; only for the BFV scheme);

同态方案设置
设置当前使用的方案是bfv

EncryptionParameters parms(scheme_type::bfv);

多项式阶数模设置
多项式的阶数模必须是2的正整数次幂，设置得越大，那么密文将越大，相应的计算就会更慢，但是能使用更复杂的计算。另外，官方推荐的至少大于等于1024。这个例子用的4096。

size_t poly_modulus_degree = 4096;
parms.set_poly_modulus_degree(poly_modulus_degree);

多项式系数模设置
接下来设置多项式的系数模，这是多个大素数相乘得到的大整数，每个素数最大为60bits（计算机目前64位，没法直接表示这个大整数，所以用多个相乘），每个素数是由一个类的实例表示的向量，系数的最大位长为它的素数因子位长之和。系数模越大，那么计算能力更强，但它的位长受限于多项式的阶数模，如下

上面的数字可通过查看native/src/seal/util/hestdparms.h 或者调用函数

CoeffModulus::MaxBitCount(poly_modulus_degree);

也可以直接调用默认的

CoeffModulus::BFVDefault(poly_modulus_degree);

所以设置多项式系数模就可以像下面一样设置

parms.set_coeff_modulus(CoeffModulus::BFVDefault(poly_modulus_degree));

明文模数设置
明文模数在bfv中不受限制，可以是任意的正整数，比如这里就取2的幂次可以使得运算简化。
明文的模数决定明文数据类型的size和乘法中的噪声预算的消耗，回想一下bfv中的密文是使用了类似模交换操作的，也就是乘以了 $t / q$ 来进行噪声缩放，从而达到控制噪声的目的，所以容易知道明文模数 $t$ 越大，将导致每一次乘法的噪声越大，也就是噪声预算消耗得越大，所以需要它尽可能的小来获取更好的性能。
这里估算的噪声预算大致是log2(coeff_modulus/plain_modulus) (bits)（ $\log q/t$ ）
每一次乘法消耗的噪声预算大致是log2(plain_modulus) + (other terms)（）

parms.set_plain_modulus(1024);

参数可用性校验
参数设置完成后，需要校验一下已设置的参数是否可用，本代码的例子计算的是 $4(x^2+1)(x+1)^2=4x^4+8x^3+8x^2+8x+4$

SEALContext context(parms);
/*Print the parameters that we have chosen.*/
print_line(__LINE__);
cout << "Set encryption parameters and print" << endl;
print_parameters(context);
cout << "Parameter validation (success): " << context.parameter_error_message() << endl;
cout << endl;
cout << "~~~~~~ A naive way to calculate 4(x^2+1)(x+1)^2. ~~~~~~" << endl;

校验结果如图

代码的最后（本来在代码的最后位置，这里我提到这里来了），展示了如果设置的参数有问题，seal库会输出为什么有问题。。。相当于一个不错的辅助作用，能帮助修改参数。

print_line(__LINE__);
cout << "An example of invalid parameters" << endl;
parms.set_poly_modulus_degree(2048);
context = SEALContext(parms);
print_parameters(context);
cout << "Parameter validation (failed): " << context.parameter_error_message() << endl << endl;

校验结果如图

密钥生成

主要位公钥 $s k = s$ 、私钥 $p k = (b = a s + e, a)$ 、评估密钥evk的生成，首先需要一个密钥生成类的实例来创建一个自动生成私钥的生成器，接着利用私钥来生成公钥。

公钥和私钥生成

KeyGenerator keygen(context);
SecretKey secret_key = keygen.secret_key();
PublicKey public_key;
keygen.create_public_key(public_key);

创建加密器
创建加密器，实例化一个加密器类

Encryptor encryptor(context, public_key);

同态计算生成
同态计算密文的时候需要用到这个类（实际运用中，它不会由私钥拥有方来构建）

Evaluator evaluator(context);

创建解密器
创建解密器，实例化一个解密器类

Decryptor decryptor(context, secret_key);

加密

再次说明这里加密的例子是 $4x^4+8x^3+8x^2+8x+4$ ，这里设置了x=6。在RLWE问题中我们可以把明文消息看作多项式的系数，这里的明文就是6，也就是只有一项常数项。另外，别忘了明文的模数是1024。
明文创建
下面的代码创建了一个包含常量6的明文多项式，接着将明文多项式变为一个字符串，其中多项式的系数为十六进制。

print_line(__LINE__);
uint64_t x = 6;
Plaintext x_plain(uint64_to_hex_string(x));
cout << "Express x = " + to_string(x) + " as a plaintext polynomial 0x" + x_plain.to_string() + "." << endl;

输出结果如下

加密操作
密文由两个或多个多项式形如（ $c_t=(c_0,c_1))$ ）组成的，系数要模多项式系数模数，也就是模（ $q$ ）

print_line(__LINE__);
Ciphertext x_encrypted;
cout << "Encrypt x_plain to x_encrypted." << endl;
encryptor.encrypt(x_plain, x_encrypted);

密文的大小由Ciphertext::size()给出，新加密的密文大小都是2

cout << "    + size of freshly encrypted x: " << x_encrypted.size() << endl;

查看噪声预算

cout << "    + noise budget in freshly encrypted x: " << decryptor.invariant_noise_budget(x_encrypted) << " bits"
         << endl;

解密

调用解密器

Plaintext x_decrypted;
cout << "    + decryption of x_encrypted: ";
decryptor.decrypt(x_encrypted, x_decrypted);
cout << "0x" << x_decrypted.to_string() << " ...... Correct." << endl;

输出结果如下

这里没有输出加密后的密文，我试了半天没输出成功（太菜了😇），找了一下原因是输出结果是二进制形式不是可阅读的，所以Ciphertexts类里面只提供了save（可以通过stringstream来保存为一个文件）和load（从文件里导出）方法，它没有提供一个类似Plaintext类里的to_string方法。
这是Ciphertexts里的save方法的说明。

同态计算

因为噪声预算会随着乘法深度（次数）的增加而增加，所以为了能够完成更多次的计算，一般选择最小化乘法次数
所以这里计算多项式 $4x^4+8x^3+8x^2+8x+4$ 的时候，选择使用 $4(x^2+1)(x+1)^2$ ，这样对比直接计算能将乘法的深度从4降到了2。
首先是计算 $x^2+1$

print_line(__LINE__);
cout << "Compute x_sq_plus_one (x^2+1)." << endl;
Ciphertext x_sq_plus_one;
evaluator.square(x_encrypted, x_sq_plus_one);//Squares a ciphertext
Plaintext plain_one("1");
evaluator.add_plain_inplace(x_sq_plus_one, plain_one);//Add a ciphertext and a plaintext

同态乘法会导致密文扩张，精确的说，如果输出的两个密文大小为M和N，那么同态乘法后的密文大小将变为M+N-1，下面的代码输出了密文扩张大小和噪声消耗。

cout << "    + size of x_sq_plus_one: " << x_sq_plus_one.size() << endl;
cout << "    + noise budget in x_sq_plus_one: " << decryptor.invariant_noise_budget(x_sq_plus_one) << " bits"
      << endl;

输出一下解密的结果

Plaintext decrypted_result;
cout << "    + decryption of x_sq_plus_one: ";
decryptor.decrypt(x_sq_plus_one, decrypted_result);
cout << "0x" << decrypted_result.to_string() << " ...... Correct." << endl;

输出结果如下

可以看到这里乘法后，密文从2项变到了3项，而噪声消耗了55-33=22个比特，因为还有噪声预算能够消耗，也就是还没达到噪声界限，所以能够正确解密。

接着计算 $x+1)^2$

print_line(__LINE__);
cout << "Compute x_plus_one_sq ((x+1)^2)." << endl;
Ciphertext x_plus_one_sq;
evaluator.add_plain(x_encrypted, plain_one, x_plus_one_sq);
evaluator.square_inplace(x_plus_one_sq);
cout << "    + size of x_plus_one_sq: " << x_plus_one_sq.size() << endl;
cout << "    + noise budget in x_plus_one_sq: " << decryptor.invariant_noise_budget(x_plus_one_sq) << " bits"
     << endl;
cout << "    + decryption of x_plus_one_sq: ";
decryptor.decrypt(x_plus_one_sq, decrypted_result);
cout << "0x" << decrypted_result.to_string() << " ...... Correct." << endl;

这里需要提一下的是add_plain_inplace()、square_inplace(0与add_plain()、square()函数的区别，带有inplace的是需要指定一个参数用来接收结果的，不带的就是直接保存在第一个参数里的。
输出结果如下

这里的噪声消耗也是22比特

最后是计算两个的乘积

print_line(__LINE__);
cout << "Compute encrypted_result (4(x^2+1)(x+1)^2)." << endl;
Ciphertext encrypted_result;
Plaintext plain_four("4");
evaluator.multiply_plain_inplace(x_sq_plus_one, plain_four);
evaluator.multiply(x_sq_plus_one, x_plus_one_sq, encrypted_result);
cout << "    + size of encrypted_result: " << encrypted_result.size() << endl;
cout << "    + noise budget in encrypted_result: " << decryptor.invariant_noise_budget(encrypted_result) << " bits"
     << endl;
cout << "NOTE: Decryption can be incorrect if noise budget is zero." << endl;

cout << endl;
cout << "~~~~~~ A better way to calculate 4(x^2+1)(x+1)^2. ~~~~~~" << endl;

这里本来是没有输出结果的，看到噪声预算还有剩余，就加了点代码看看结果。输出结果如下

大概消耗了33-4=29比特的噪声预算，式子越复杂消耗的越多。两个三项的相乘会得到五项。
$x = 6$ ，表达式是 $4x^4+8x^3+8x^2+8x+4=4(x^2+1)(x+1)^2$ ，我们期待解密结果是 $4\times37\times49=7252 \mod 1024 = 84$ 换算为十六进制就是0x54，所以解密正确。

重线性化

重线性化是为了减少密文的规模扩张，并将密文规模还原到近似乘法之前的状况。
重线性化需要重线性化密钥rlk（其他方案里也叫做evk），它是由一层一层计算出来的一连串的密钥链，每一层都需要对应每一层的密钥，主要是用来消除密钥乘积的二次项，但是会诞生一定的噪声。
假设一个二阶的密文为 $[\mathbf c_0,\mathbf c_1,\mathbf c_2]$ ，线性化的目的是将它变成一阶的 $[\mathbf c'_0,\mathbf c'_1]$ 即 $\left[\mathbf{c}_{0}+\mathbf{c}_{1} \cdot \mathbf{s}+\mathbf{c}_{2} \cdot \mathbf{s}^{2}\right]_{q}=\left[\mathbf{c}_{0}^{\prime}+\mathbf{c}_{1}^{\prime} \cdot \mathbf{s}+\mathbf{r}\right]_{q}$ ，其中 $\mathbf r$ 很小。
首先需要生成重线性化密钥rlk

print_line(__LINE__);
cout << "Generate relinearization keys." << endl;
RelinKeys relin_keys;
keygen.create_relin_keys(relin_keys);

接下来重新计算 $4(x^2+1)(x+1)^2$ ，并在每一次乘法后都调用重线性化，还原密文规模。

print_line(__LINE__);
cout << "Compute and relinearize x_squared (x^2)," << endl;
cout << string(13, ' ') << "then compute x_sq_plus_one (x^2+1)" << endl;
Ciphertext x_squared;
evaluator.square(x_encrypted, x_squared);
cout << "    + size of x_squared: " << x_squared.size() << endl;
evaluator.relinearize_inplace(x_squared, relin_keys);
cout << "    + size of x_squared (after relinearization): " << x_squared.size() << endl;
evaluator.add_plain(x_squared, plain_one, x_sq_plus_one);
cout << "    + noise budget in x_sq_plus_one: " << decryptor.invariant_noise_budget(x_sq_plus_one) << " bits"
     << endl;
cout << "    + decryption of x_sq_plus_one: ";
decryptor.decrypt(x_sq_plus_one, decrypted_result);
cout << "0x" << decrypted_result.to_string() << " ...... Correct." << endl;

print_line(__LINE__);
Ciphertext x_plus_one;
cout << "Compute x_plus_one (x+1)," << endl;
cout << string(13, ' ') << "then compute and relinearize x_plus_one_sq ((x+1)^2)." << endl;
evaluator.add_plain(x_encrypted, plain_one, x_plus_one);
evaluator.square(x_plus_one, x_plus_one_sq);
cout << "    + size of x_plus_one_sq: " << x_plus_one_sq.size() << endl;
evaluator.relinearize_inplace(x_plus_one_sq, relin_keys);
cout << "    + noise budget in x_plus_one_sq: " << decryptor.invariant_noise_budget(x_plus_one_sq) << " bits"
     << endl;
cout << "    + decryption of x_plus_one_sq: ";
decryptor.decrypt(x_plus_one_sq, decrypted_result);
cout << "0x" << decrypted_result.to_string() << " ...... Correct." << endl;

print_line(__LINE__);
cout << "Compute and relinearize encrypted_result (4(x^2+1)(x+1)^2)." << endl;
evaluator.multiply_plain_inplace(x_sq_plus_one, plain_four);
evaluator.multiply(x_sq_plus_one, x_plus_one_sq, encrypted_result);
cout << "    + size of encrypted_result: " << encrypted_result.size() << endl;
evaluator.relinearize_inplace(encrypted_result, relin_keys);
cout << "    + size of encrypted_result (after relinearization): " << encrypted_result.size() << endl;
cout << "    + noise budget in encrypted_result: " << decryptor.invariant_noise_budget(encrypted_result) << " bits"
     << endl;

cout << endl;
cout << "NOTE: Notice the increase in remaining noise budget." << endl;

接着是看看解密的结果

print_line(__LINE__);
cout << "Decrypt encrypted_result (4(x^2+1)(x+1)^2)." << endl;
decryptor.decrypt(encrypted_result, decrypted_result);
cout << "    + decryption of 4(x^2+1)(x+1)^2 = 0x" << decrypted_result.to_string() << " ...... Correct." << endl;
cout << endl;