题目

标题和出处

标题：有效的数独

出处：36. 有效的数独

难度

2 级

题目描述

要求

请你判断一个 $\text{9}\times \text{9}$ 的数独是否有效。只需要根据以下规则，验证已经填入的数字是否有效即可。

1. 每一行必须包含数字 $\text{1-9}$ 且没有重复。
2. 每一行必须包含数字 $\text{1-9}$ 且没有重复。
3. 每一个九宫格必须包含数字 $\text{1-9}$ 且没有重复。

注意：

• 一个有效的数独（部分已被填充）不一定是可解的。
• 只需要根据以上规则，验证已经填入的数字是否有效即可。

示例

示例 1：

输入：$\text{board = }$
$\text{[["5","3",".",".","7",".",".",".","."]}$
$\text{,["6",".",".","1","9","5",".",".","."]}$
$\text{,[".","9","8",".",".",".",".","6","."]}$
$\text{,["8",".",".",".","6",".",".",".","3"]}$
$\text{,["4",".",".","8",".","3",".",".","1"]}$
$\text{,["7",".",".",".","2",".",".",".","6"]}$
$\text{,[".","6",".",".",".",".","2","8","."]}$
$\text{,[".",".",".","4","1","9",".",".","5"]}$
$\text{,[".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]}$
输出：$\text{true}$

示例 2：

输入：$\text{board = }$
$\text{[["8","3",".",".","7",".",".",".","."]}$
$\text{,["6",".",".","1","9","5",".",".","."]}$
$\text{,[".","9","8",".",".",".",".","6","."]}$
$\text{,["8",".",".",".","6",".",".",".","3"]}$
$\text{,["4",".",".","8",".","3",".",".","1"]}$
$\text{,["7",".",".",".","2",".",".",".","6"]}$
$\text{,[".","6",".",".",".",".","2","8","."]}$
$\text{,[".",".",".","4","1","9",".",".","5"]}$
$\text{,[".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]}$
输出：$\text{false}$
解释：除了第一行的第一个数字从 $\text{5}$ 改为 $\text{8}$ 以外，空格内其他数字均与示例 1 相同。但由于位于左上角的九宫格内有两个 $\text{8}$ 存在，因此这个数独是无效的。

数据范围

• $\text{board.length}=\text{9}$
• $\text{board[i].length}=\text{9}$
• $\text{board[i][j]}$ 是一位数字 $\text{1-9}$ 或者 $\text{‘.’}$

解法

思路和算法

这道题要求判断一个已经填入部分数字的数独是否有效，不需要考虑数独是否有解，只需要考虑每一行、每一列和每一个九宫格中的数字是否都是唯一的。以下将一行、一列和一个九宫格统称为「判断单位」。

为了判断数独是否有效，需要记录每一个判断单位中的每个数字的出现情况。数独中的每一个单元格都对应一行、一列和一个九宫格，遍历数组一次即可判断数独是否有效。

对于数独的第 $i$ 行第 $j$ 列的单元格，其中 $0\le i,j<9$，其所在的行下标和列下标分别为 $i$ 和 $j$，其所在的九宫格的行编号和列编号分别为 $\lfloor \frac{i}{3}\rfloor$ 和 $\lfloor \frac{j}{3}\rfloor$，由于行编号和列编号都小于 $3$，因此可以将行编号和列编号转换为九宫格的编号：$\lfloor \frac{i}{3}\rfloor \times 3+\lfloor \frac{j}{3}\rfloor$。

有效的数独要求每一个判断单位中每一个数字都只能出现一次，因此可以使用哈希表记录每个数字的出现次数，如果出现次数大于一次则是无效的数独。其实，并不需要记录每个数字的出现次数，只需要记录每个数字是否出现过即可。记录每个数字是否出现过的做法如下。

对于遍历到的每个单元格，如果尚未填入数字则跳过，如果已经填入数字则执行以下操作：

1. 判断该单元格所在的三个判断单位中该数字是否已经出现过，如果至少一个判断单位中该数字已经出现过，则和当前遍历到的单元格重复，因此是无效的数独，返回 $\text{false}$；

2. 如果三个判断单位中该数字都没有出现过，则将三个判断单位中该数字的状态都更新为已经出现过。

如果遍历结束之后没有出现同一个判断单位中有重复数字的情况，则是有效的数独，返回 $\text{true}$。

实现方面有两点技巧：

1. 由于数独中的数字范围有限且是连续的正整数，因此可以使用数组代替哈希表；

2. 对于每个判断单位，可以将代替哈希表的数组长度设为 $10$，其目的是将下标范围设为 $0$ 到 $9$，使得下标可以直接和数字对应，不需要进行下标转换。

代码

class Solution {
    public boolean isValidSudoku(char[][] board) {
        boolean[][] rows = new boolean[9][10];
        boolean[][] columns = new boolean[9][10];
        boolean[][] subboxes = new boolean[9][10];
        for (int i = 0; i < 9; i++) {
            for (int j = 0; j < 9; j++) {
                char c = board[i][j];
                if (c == '.') {
                    continue;
                }
                int subboxRowIndex = i / 3, subboxColumnIndex = j / 3;
                int subboxIndex = subboxRowIndex * 3 + subboxColumnIndex;
                int digit = c - '0';
                if (rows[i][digit] || columns[j][digit] || subboxes[subboxIndex][digit]) {
                    return false;
                }
                rows[i][digit] = true;
                columns[j][digit] = true;
                subboxes[subboxIndex][digit] = true;
            }
        }
        return true;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(1)$。数独的大小固定，有 $81$ 个单元格，对每个单元格遍历一次。

• 空间复杂度：$O(1)$。空间复杂度主要取决于记录每一行、每一列和每一个九宫格中出现的数字的哈希表，由于数独的大小固定，因此哈希表的空间也是固定的。