反向传播

反向传播（back propagation）是一种用于训练神经网络的算法，其作用是计算神经网络中每个参数对损失函数的影响，从而进行参数更新，使得神经网络的预测结果更加准确。

具体来说，反向传播算法首先通过前向传播计算神经网络的预测结果，并与实际结果进行比较，得到损失函数的值。然后，反向传播算法计算每个参数对损失函数的影响，即参数的梯度。这些梯度可以告诉我们，在当前的参数取值下，将参数向梯度的相反方向移动可以减少损失函数的值。最后，通过梯度下降等优化算法，可以更新神经网络中的参数，使得损失函数的值逐渐减小，直到达到最小值。

上述涉及到两个主要公式：

• 损失函数公式：
  $$J(w,b)=\frac{1}{2m}\sum _{i=0}^{m-1}(f_{w,b}(x^{(i)})-y^{(i)})$$

• 梯度下降公式：
  $$\{\begin{array}{l}{w}_j=w_j-\alpha \frac{\partial J(w,b)}{\partial w_j}\\ \\ b=b-\alpha \frac{\partial J(w,b)}{\partial b}\end{array}$$
  其中
  $$\{\begin{array}{l}\frac{\partial J(w,b)}{\partial w_j}=\frac{1}{m}{\sum }_{i=0}^{m-1}(f_{w,b}(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}\\ \\ \frac{\partial J(w,b)}{\partial b}=\frac{1}{m}{\sum }_{i=0}^{m-1}(f_{w,b}(x^{(i)})-y^{(i)})\end{array}$$

反向传播算法的作用是实现神经网络的自动学习。通过反向传播算法，神经网络可以从大量的训练样本中学习到数据的特征，并将这些特征表示为神经网络中的参数。这些参数可以在新的数据样本中进行预测，并且可以通过监督学习中的反向传播算法进行更新，以逐渐提高神经网络的预测准确率。

小结：

反向传播，目的就是为了实现神经网络的自动学习。

在整个优化模型参数的流程中，我们首先通过正向传播，得到预测值，通过损失函数公式计算损失值，通过反向传播算法可以计算每个神经元对损失函数的贡献，然后将这些贡献反向传播回网络中的每个神经元，从而确定每个神经元的梯度。然后可以使用梯度下降算法或其他优化算法来更新神经网络的参数，以最小化损失函数。这个过程就是通过反向传播计算梯度，再使用优化算法来更新模型参数的过程。

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反向传播中的数学

反向传播用到了很多数学知识，最主要比如导数的计算以及微积分中的链式法则：

导数与python

$e.g.1$

求 $\frac{\partial J(w)}{\partial w}$，$J(w)=w^2$

from sympy import symbols, diff

J, w = symbols('J,w')
J = w ** 2
dj_dw = diff(J,w)
print(dj_dw)

结果：

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$e.g.2$

求 $\frac{\partial J(w)}{\partial w}$，$J(w)=\frac{1}{w}$

from sympy import symbols, diff

J, w = symbols('J,w')
J = 1/w
dj_dw = diff(J,w)
print(dj_dw)

结果：

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$e.g.3$

求 $\frac{\partial J(w)}{\partial w}$，$J(w)=\frac{1}{w^2}$

from sympy import symbols, diff

J, w = symbols('J,w')
J = 1/w**2
dj_dw = diff(J,w)
print(dj_dw)

结果：

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链式法则

假设我们有一个函数 $f(x)$，即 $f(x)=h(g(x))$，其中：

• $g(x)=2x+3$
• $h(y)=y^3+5y$

现在我们想计算 $f(x)$ 关于 $x$ 的导数，即 $\frac{df}{dx}$。

根据链式法则，有：

$$\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\ast \frac{dg}{dx}$$

其中，$\frac{df}{dg}$ 表示 $f$ 关于 $g$ 的导数，$\frac{dg}{dx}$ 表示 $g$ 关于 $x$ 的导数。

• 首先计算 $\frac{df}{dg}$。因为 $f(x)=h(g(x))$，所以：
  $$\frac{df}{dg}=h^{\prime }(g(x))=3\ast g(x{)}^2+5$$

• 由 $g(x)=2x+3$
  $$\frac{df}{dg}=3\ast (2x+3{)}^2+5$$

• 然后计算 $\frac{dg}{dx}$。因为 $g(x)=2x+3$，所以
  $$\frac{dg}{dx}=2$$

• 根据链式法则，有：
  $$\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\ast \frac{dg}{dx}=(3(2x+3{)}^2+5)\ast 2=6(2x+3{)}^2+10$$
  因此，$f(x)$ 关于 $x$ 的导数为 $6(2x+3{)}^2+10$。

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简单神经网络处理流程从而理解反向传播

神经网络与前向传播

一个简单的神经网路如上图，假定我们使用 ReLU 作为激活函数，

我们可以使用前向传播推出损失函数值

假设最初参数设定为：

• $w^{[1]}=2,b^{[1]}=0$
• $w^{[2]}=3,b^{[2]}=1$

假定初始输入层值设定为：

• $x=1$
• $y=5$

根据神经网络计算公式，有：

$$a^{[1]}=g(w^{[1]}x+b^{[1]})=g(2\ast 1+0)=2$$$$a^{[2]}=g(w^{[2]}{a}^{[1]}+b^{[2]})=g(3\ast 2+1)=7$$

由实际值 $y=5$ 与预测值 $a^{[2]}=7$，得损失函数：
$$J(w,b)=\frac{1}{2}(a^{[2]}-y{)}^2=\frac{1}{2}(7-5{)}^2=2$$

我们可以将上述前向传播过程分解为如下步骤流程

到这里，稍微停顿一下，思考在神经网络中，我们的下一步要做什么？

反向传播，更新参数，从而使得预测值 $a^{[2]}=7$ 更加趋近于实际值 $y=5$

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神经网络与反向传播

神经网络 反向传播 梯度下降 链式法则

上述已经完成了前向传播的部分，我们剩下将使用反向传播方法，计算每个参数的梯度，然后使用梯度下降的方法更新参数。

其实到这里，我相信读者都记得这两个公式：

• 计算梯度的公式：
  $$\{\begin{array}{l}\frac{\partial J(w,b)}{\partial w_j}=\frac{1}{m}{\sum }_{i=0}^{m-1}(f_{w,b}(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}\\ \\ \frac{\partial J(w,b)}{\partial b}=\frac{1}{m}{\sum }_{i=0}^{m-1}(f_{w,b}(x^{(i)})-y^{(i)})\end{array}$$

• 更新参数公式：
  $$\{\begin{array}{l}{w}_j=w_j-\alpha \frac{\partial J(w,b)}{\partial w_j}\\ \\ b=b-\alpha \frac{\partial J(w,b)}{\partial b}\end{array}$$

读者也都知道：

• 梯度下降目的是为了最小化损失函数；
• 在每个迭代步骤中，我们首先计算损失函数关于每个参数的梯度，然后根据梯度的方向和大小，调整参数的值，以使损失函数的值减少。这个过程会不断迭代，直到达到预定的停止条件；
• 反向传播更新神经网络参数；
• 链式法则是什么；

但是就是总感觉差点什么？画图来说：

其实就是少了一句非常重要的话：

• 梯度下降更新参数，只直接更新输出层参数，而隐藏层的参数，我们通过链式法则 “间接” 更新

在本案例中，我们存在一个隐藏层（且隐藏层中也只包含一个神经网络），一个输出层（输出层中只包含一个神经网络），即：

对于输出层参数 $w^{[2]},b^{[2]}$ 的更新，我们通过梯度下降直接更新：

• 计算梯度：
  $$\{\begin{array}{l}\frac{\partial J}{\partial w^{[2]}}=(7-5)\ast 7=14\\ \\ \frac{\partial J}{\partial b^{[2]}}=7-5=2\end{array}$$
• 更新参数：
  $$\{\begin{array}{l}{w}^{[2]}=w^{[2]}-\alpha \frac{\partial J(w,b)}{\partial w^{[2]}}=3-14\ast \alpha \\ \\ b^{[2]}=b^{[2]}-\alpha \frac{\partial J(w,b)}{\partial b^{[2]}}=1-2\ast \alpha \end{array}$$

上述步骤就是通过梯度下降法，更新输出层参数 $w^{[2]}$ 与 $b^{[2]}$ 的步骤；

而对于隐藏层的参数 $w^{[1]},b^{[1]}$ 的更新，我们需要通过链式法则传递间接计算梯度，然后更新：

• 间接计算梯度：
  $$\{\begin{array}{l}\frac{\partial J}{\partial w^{[1]}}=\frac{\partial J}{\partial a^{[2]}}\frac{\partial a^{[2]}}{\partial a^{[1]}}\frac{\partial a^{[1]}}{\partial w^{[1]}}\\ \\ \frac{\partial J}{\partial b^{[1]}}=\frac{\partial J}{\partial a^{[2]}}\frac{\partial a^{[2]}}{\partial a^{[1]}}\frac{\partial a^{[1]}}{\partial b^{[1]}}\end{array}$$

• 由：
  $$J=\frac{1}{2}(a^{[2]}-y{)}^2$$$$a^{[2]}=g(w^{[2]}{a}^{[1]}+b^{[2]})$$$$g(z)=max(0,z)(ReLU)$$$$a^{[1]}=g(w^{[1]}x+b^{[1]})$$

• 所以：
  $$\frac{\partial J}{\partial a^{[2]}}=a^{[2]}-y$$$$\frac{\partial a^{[2]}}{\partial a^{[1]}}=w^{[2]}$$$$\frac{\partial a^{[1]}}{\partial w^{[1]}}=x$$$$\frac{\partial a^{[1]}}{\partial b^{[1]}}=1$$

• 即：
  $$\frac{\partial J}{\partial w^{[1]}}=\frac{\partial J}{\partial a^{[2]}}\frac{\partial a^{[2]}}{\partial a^{[1]}}\frac{\partial a^{[1]}}{\partial w^{[1]}}=(a^{[2]}-y)\ast w^{[2]}\ast x=(7-5)\ast 3\ast 1=6$$$$\frac{\partial J}{\partial b^{[1]}}=\frac{\partial J}{\partial a^{[2]}}\frac{\partial a^{[2]}}{\partial a^{[1]}}\frac{\partial a^{[1]}}{\partial b^{[1]}}=(a^{[2]}-y)\ast w^{[2]}\ast 1=(7-5)\ast 3\ast 1=6$$

• 修改参数值：
  $$\{\begin{array}{l}{w}^{[1]}=w^{[1]}-\alpha \frac{\partial J(w,b)}{\partial w^{[1]}}=2-6\ast \alpha \\ \\ b^{[1]}=b^{[1]}-\alpha \frac{\partial J(w,b)}{\partial b^{[2]}}=0-6\ast \alpha \end{array}$$

上述过程就是通过链式法则，结合梯度下降法来更新参数 $w^{[1]}$ 与 参数 $b^{[1]}$ 的值；