复杂数据结构（1）

• 题意：n表示下面有多少条命令，min表示工资下界。有四种命令

1. I 命令，格式为 I_k，表示新建一个工资档案，初始工资为 $k$。如果某员工的初始工资低于工资下界，他将立刻离开公司. 即离开公司的员工的总数不算这个.
2. A 命令，格式为 A_k，表示把每位员工的工资加上 $k$.
3. S 命令，格式为 S_k，表示把每位员工的工资扣除 $k$.
4. F 命令，格式为 F_k，表示查询第 $k$ 多的工资.

• 对于每条 F 命令，你的程序要输出一行，仅包含一个整数，为当前工资第 $k$ 多的员工所拿的工资数，如果 $k$ 大于目前员工的数目，则输出-1。输出文件的最后一行包含一个整数，为离开公司的员工的总数。

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 100010, INF = 1e9;
int N, M;
struct node {
	int s[2], p, v;
	int size;
	void init(int v_, int p_) {
		v = v_, p = p_;
		size = 1;
	}
}tr[maxn];
int root, idx;
int tot, delta;

void pushup(int x) {
	tr[x].size = tr[tr[x].s[0]].size + tr[tr[x].s[1]].size + 1;
}

void rotate(int x) {
	int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
	int k = (tr[y].s[1] == x);
	tr[z].s[tr[z].s[1] == y] = x, tr[x].p = z;
	tr[y].s[k] = tr[x].s[k ^ 1], tr[tr[x].s[k ^ 1]].p = y;
	tr[x].s[k ^ 1] = y, tr[y].p = x;
	pushup(y), pushup(x);
}

void splay(int x, int k) {
	while (tr[x].p != k) {
		int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
		if (z != k) {
			if ((tr[y].s[1] == x) ^ (tr[z].s[1] == y)) rotate(x);
			else rotate(y);
		}
		rotate(x);
	}
	if (!k) root = x;
}

int insert(int v) {
	int u = root, p = 0;
	while (u) p = u, u = tr[u].s[v > tr[u].v];
	u = ++idx;
	if (p) tr[p].s[v > tr[p].v] = u;
	tr[u].init(v, p);
	splay(u, 0);
	return u;
}
//大于等于v的最小的节点的编号
int get(int v) {
	int u = root, res;
	while (u) {
		if (tr[u].v >= v) res = u, u = tr[u].s[0];
		else u = tr[u].s[1];
	}
	return res;
}
//找到这个有序序列第 k 个数（算上两个哨兵）
int get_k(int k) {
	int u = root;
	while (u) {
		if (tr[tr[u].s[0]].size >= k) u = tr[u].s[0];
		else if (tr[tr[u].s[0]].size + 1 == k) return tr[u].v;
		else k -= tr[tr[u].s[0]].size + 1, u = tr[u].s[1];
	}
	return -1;  //找不到
}
int main() {
	scanf("%d%d", &N, &M);
	int L = insert(-INF), R = insert(INF);
	while (N--) {
		char op[2];
		int k;
		scanf("%s%d", op, &k);
		if (op[0] == 'I') {
			if (k >= M) {
				//k 需要减 delta，因为默认的是所有人的工资都加上了delta
				k -= delta, insert(k), tot++;
			}
		}
		else if (op[0] == 'A') {
			delta += k;
		}
		else if (op[0] == 'S') {
			delta -= k;
			R = get(M - delta);
			splay(R, 0), splay(L, R);
			tr[L].s[1] = 0;
			pushup(L), pushup(R);
		}
		else {
			if (tr[root].size - 2 < k) printf("-1\n");
			else printf("%d\n", get_k(tr[root].size - k) + delta);
		}
	}
	printf("%d\n", tot - (tr[root].size - 2));
	return 0;
}

• 题意：请你写出一种数据结构，来维护一个长度为 $n$ 的序列，其中需要提供以下操作：1 pos x，将 $pos$ 位置的数修改为 $x$。2 l r x，查询整数 $x$ 在区间 $[l,r]$ 内的前驱(前驱定义为小于 $x$，且最大的数)。
• 线段树套 set.

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<set>
using namespace std;
const int maxn = 50010, maxm = maxn * 4, INF = 1e9;
int N, M;
struct Tree {
	int l, r;
	multiset<int> s;
}tr[maxm];
int w[maxn];
void build(int u, int l, int r) {
	tr[u] = { l, r };
	//加入两个哨兵
	tr[u].s.insert(-INF), tr[u].s.insert(INF);
	for (int i = l; i <= r; i++) {
		tr[u].s.insert(w[i]);
	}
	if (l == r) return;
	int mid = (l + r) / 2;
	build(2 * u, l, mid), build(2 * u + 1, mid + 1, r);
}
void change(int u, int pos, int x) {
	//这里一定要写成 find，不然会把所有 w[p] 删掉
	tr[u].s.erase(tr[u].s.find(w[pos]));
	tr[u].s.insert(x);
	if (tr[u].l == tr[u].r) return;
	int mid = (tr[u].l + tr[u].r) / 2;
	if (pos <= mid) change(u * 2, pos, x);
	else change(u * 2 + 1, pos, x);
}

int query(int u, int l, int r, int x) {
	if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) {
		auto it = tr[u].s.lower_bound(x);
		--it;
		return *it;
	}
	int mid = (tr[u].l + tr[u].r) / 2, res = -INF;
	if (l <= mid) res = max(res, query(2 * u, l, r, x));
	if (r > mid) res = max(res, query(2 * u + 1, l, r, x));
	return res;
}

int main() {
	scanf("%d%d", &N, &M);
	for (int i = 1; i <= N; i++) scanf("%d", &w[i]);
	build(1, 1, N);
	while (M--) {
		int op;
		scanf("%d", &op);
		if (op == 1) {
			int pos, x;
			scanf("%d%d", &pos, &x);
			change(1, pos, x);
			w[pos] = x;
		}
		else {
			int l, r, x;
			scanf("%d%d%d", &l, &r, &x);
			printf("%d\n", query(1, l, r, x));
		}
	}
	return 0;
}

• 请你写出一种数据结构，来维护一个长度为 $n$ 的数列，其中需要提供以下操作：

1 l r x，查询整数 $x$ 在区间 $[l,r]$ 内的排名。

2 l r k，查询区间 $[l,r]$ 内排名为 $k$ 的值。

3 pos x，将 $pos$ 位置的数修改为 $x$。

4 l r x，查询整数 $x$ 在区间 $[l,r]$ 内的前驱(前驱定义为小于 $x$，且最大的数)。

5 l r x，查询整数 $x$ 在区间 $[l,r]$ 内的后继(后继定义为大于 $x$，且最小的数)。

• 线段树套splay（思路是比较简单的，看代码就行）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1500010, INF = 1e9;
//50000 * 4 * 2 + n * logn 两个哨兵
int N, M;

struct node {
	int s[2], p, v;
	int size;
	void init(int _v, int _p) {
		v = _v, p = _p;
		size = 1;
	}
}tr[maxn];

// 为了防止变量名重复，这里的线段树用数组来表示
int L[maxn], R[maxn], T[maxn], idx;
int w[maxn];

//平衡树部分
void pushup(int u) {
	tr[u].size = tr[tr[u].s[0]].size + tr[tr[u].s[1]].size + 1;
}

void rotate(int x) {
	int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
	int k = (tr[y].s[1] == x);
	tr[z].s[tr[z].s[1] == y] = x, tr[x].p = z;
	tr[y].s[k] = tr[x].s[k ^ 1], tr[tr[x].s[k ^ 1]].p = y;
	tr[x].s[k ^ 1] = y, tr[y].p = x;
	pushup(y), pushup(x);
}

void splay(int& root, int x, int k) {
	while (tr[x].p != k) {
		int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
		if (z != k) {
			if ((tr[y].s[1] == x) ^ (tr[z].s[1] == y)) rotate(x);
			else rotate(y);
		}
		rotate(x);
	}
	if (!k) root = x;
}

void insert(int& root, int v) {
	int u = root, p = 0;
	while (u) p = u, u = tr[u].s[v > tr[u].v];
	u = ++idx;
	if (p) tr[p].s[v > tr[p].v] = u;
	tr[u].init(v, p);
	splay(root, u, 0);
}
//返回以 T[u] 为根的小于等于 x 的数的个数
int get_k(int root, int v) {
	int u = root, res = 0;
	while (u) {
		if (tr[u].v < v) res += tr[tr[u].s[0]].size + 1, u = tr[u].s[1];
		else u = tr[u].s[0];
	}
	return res;
}
//把以 root 为根的splay，删掉x加上y
void update(int& root, int x, int y) {
	int u = root;
	while (u) {
		if (tr[u].v == x) break;
		else if (tr[u].v < x) u = tr[u].s[1];
		else u = tr[u].s[0];
	}
	splay(root, u, 0);
	//删掉平衡树的结点嘛，找到 u 的前驱和后继。
	int l = tr[u].s[0], r = tr[u].s[1];
	while (tr[l].s[1]) l = tr[l].s[1];
	while (tr[r].s[0]) r = tr[r].s[0];
	splay(root, l, 0), splay(root, r, l);
	tr[r].s[0] = 0;
	pushup(r), pushup(l);
	insert(root, y);
}

//前驱
int get_pre(int root, int v) {
	int u = root, res = -INF;
	while (u) {
		if (tr[u].v < v) res = max(res, tr[u].v), u = tr[u].s[1];
		else u = tr[u].s[0];
	}
	return res;
}

int get_suc(int root, int v) {
	int u = root, res = INF;
	while (u) {
		if (tr[u].v > v) res = min(res, tr[u].v), u = tr[u].s[0];
		else u = tr[u].s[1];
	}
	return res;
}

// 线段树部分

void build(int u, int l, int r) {
	L[u] = l, R[u] = r;
	insert(T[u], -INF), insert(T[u], INF);
	for (int i = l; i <= r; i++) insert(T[u], w[i]);
	if (l == r) return;
	int mid = (l + r) / 2;
	build(2 * u, l, mid), build(2 * u + 1, mid + 1, r);
}

int query(int u, int a, int b, int x) {
	if (a <= L[u] && R[u] <= b) {
		//返回以 T[u] 为根的小于 x 的数的个数
		return get_k(T[u], x) - 1;
	}
	int mid = (L[u] + R[u]) / 2, res = 0;
	if (a <= mid) res += query(2 * u, a, b, x);
	if (b > mid) res += query(2 * u + 1, a, b, x);
	return res;
}

void change(int u, int p, int x) {
	update(T[u], w[p], x);
	if (L[u] == R[u]) return;
	int mid = (L[u] + R[u]) / 2;
	if (p <= mid) change(2 * u, p, x);
	else change(2 * u + 1, p, x);
}

int query_pre(int u, int a, int b, int x) {
	//找到以 T[u] 为根节点splay里面小于x的最大的数
	if (a <= L[u] && R[u] <= b) return get_pre(T[u], x);
	int mid = (L[u] + R[u]) / 2, res = -INF;
	if (a <= mid) res = max(res, query_pre(2 * u, a, b, x));
	if (b > mid) res = max(res, query_pre(2 * u + 1, a, b, x));
	return res;
}
int query_suc(int u, int a, int b, int x) {
	//找到以 T[u] 为根节点splay里面大于x的最小的数
	if (a <= L[u] && R[u] <= b) return get_suc(T[u], x);
	int mid = (L[u] + R[u]) / 2, res = INF;
	if (a <= mid) res = min(res, query_suc(2 * u, a, b, x));
	if (b > mid) res = min(res, query_suc(2 * u + 1, a, b, x));
	return res;
}

int main() {
	scanf("%d%d", &N, &M);
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		scanf("%d", &w[i]);
	}
	build(1, 1, N);
	while (M--) {
		int op, a, b, x;
		scanf("%d", &op);
		if (op == 1) {
			//查询x的排名
			scanf("%d%d%d", &a, &b, &x);
			//query求的是小于 x 的个数
			printf("%d\n", query(1, a, b, x) + 1);
		}
		else if (op == 2) {
			//查询排名为 x 的值
			scanf("%d%d%d", &a, &b, &x);
			int l = 0, r = 1e8;
			while (l < r) {
				//最后让答案等于 r，所以向上取整
				int mid = (l + r + 1) / 2;
				if (query(1, a, b, mid) + 1 <= x) l = mid;
				else r = mid - 1;
			}
			printf("%d\n", r);
		}
		else if (op == 3) {
			//修改第pos的值为x
			scanf("%d%d", &a, &x);
			change(1, a, x);
			w[a] = x;
		}
		else if (op == 4) {
			//查询 x 的前驱
			scanf("%d%d%d", &a, &b, &x);
			printf("%d\n", query_pre(1, a, b, x));
		}
		else {
			//查询 x 的后继
			scanf("%d%d%d", &a, &b, &x);
			printf("%d\n", query_suc(1, a, b, x));
		}
	}
	return 0;
}

• 题意：给定一个长度为 $N$ 的数列 $A$，以及 $M$ 条指令，每条指令可能是以下两种之一：C l r d，表示把 $A[l],A[l+1],\dots ,A[r]$ 都加上 $d$。Q l r，表示询问数列中第 $l\sim r$ 个数的和。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn = 100010, maxm = 350;
typedef long long ll;
ll add[maxm], sum[maxm], w[maxn];
int N, M, len;

int get(int i) {
	//看看映射到了哪一块儿，注意这种写法会让 1~i-1在第一段
	return i / len;
}

void change(int l, int r, int d) {
	if (get(l) == get(r)) {  //段内直接暴力
		for (int i = l; i <= r; i++) w[i] += d, sum[get(i)] += d;
	}
	else {
		int i = l, j = r;
		while (get(i) == get(l)) w[i] += d, sum[get(i)] += d, i++;
		while (get(j) == get(r)) w[j] += d, sum[get(j)] += d, j--;
		for (int k = get(i); k <= get(j); k++) {
			//这个地方，即使长度不足len也没有关系，因为询问的时候，这些长度不足len的段不会作为整体被询问到。
			sum[k] += len * d, add[k] += d;
		}
	}
}

ll query(int l, int r) {
	ll res = 0;
	if (get(l) == get(r)) {
		for (int i = l; i <= r; i++) res += w[i] + add[get(i)];
	}
	else {
		int i = l, j = r;
		while (get(i) == get(l)) res += w[i] + add[get(i)], i++;
		while (get(j) == get(r)) res += w[j] + add[get(j)], j--;
		for (int k = get(i); k <= get(j); k++) res += sum[k];
	}
	return res;
}

int main() {
	scanf("%d%d", &N, &M);
	len = sqrt(N);
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		scanf("%lld", &w[i]);
		sum[get(i)] += w[i];
	}
	char op[2];
	int l, r, d;
	while (M--) {
		scanf("%s%d%d", &op, &l, &r);
		if (op[0] == 'C') {
			scanf("%d", &d);
			change(l, r, d);
		}
		else printf("%lld\n", query(l, r));
	}
	return 0;
}

• 给一个序列，给很多次询问，求某个区间不同数字的个数。

• 将 $n$ 个数分成 $\sqrt{\frac{n^2}{m}}$ 块。对所有询问进行排序，排序标准：

  1. $Q[i].left /len < Q[j].left / len $（块号优先排序）
  2. 如果1相同，则 $Q[i].right<Q[j].right$ （按照查询的右边界排序）
  3. 关于 $i$ 和 $j$ 到底怎么变化的问题，只需要记住，$add$ 是下一个位置的数字，$sub$ 是上一个位置的数字.

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int N, M, len;
const int maxn = 50010, maxm = 200010, maxs = 1000010;

struct Query 
{
	int id, l, r;
}q[maxm];
int w[maxn], cnt[maxs], ans[maxm];

int get(int x) 
{
	return x / len;
}

bool cmp(const Query& a, const Query& b) 
{
	int i = get(a.l), j = get(b.l);
	if (i != j) return i < j;
	return a.r < b.r;
}

void add(int x, int& res) 
{
	if (cnt[x] == 0) res++;
	cnt[x]++;
}
void del(int x, int& res) 
{
	cnt[x]--;
	if (cnt[x] == 0) res--;
}

int main() {
	scanf("%d", &N);
	for (int i = 1; i <= N; i++) scanf("%d", &w[i]);
	scanf("%d", &M);
	len = sqrt((double)N * N / (double)M);
	for (int i = 0; i < M; i++) 
    {
		int l, r;
		scanf("%d%d", &l, &r);
		q[i] = { i, l, r };
	}
	sort(q, q + M, cmp);
	int res = 0;
	// i 指向前一个位置
	for (int k = 0, i = 0, j = 1; k < M; k++) 
    {
        //这里 i 是右端点 j 是左端点
		int id = q[k].id, l = q[k].l, r = q[k].r;
		while (i < r) add(w[++i], res);
		while (i > r) del(w[i--], res);
		while (j < l) del(w[j++], res);
		while (j > l) add(w[--j], res);
		ans[id] = res;
	}
	for (int i = 0; i < M; i++) printf("%d\n", ans[i]);
	return 0;
}

• 题意：墨墨购买了一套 $N$ 支彩色画笔（其中有些颜色可能相同），摆成一排，你需要回答墨墨的提问。墨墨会像你发布如下指令：Q L R 代表询问你从第 $L$ 支画笔到第 $R$ 支画笔中共有几种不同颜色的画笔。R P Col 把第 $P$ 支画笔替换为颜色 $Col$。
• 输入：$1\le N,M\le 10000$，修改操作不多于 $1000$ 次，所有的输入数据中出现的所有整数均大于等于 $1$ 且不超过 $10^6$。
• 设序列大小为 $n$，询问次数是 $m$，修改次数是 $m$t块的大小是 $a$，由于 $m$ 中的 $l,r$ 和 $t$ 这三个询问的维度并不相等。因此分块大小应该这样计算：$l$ 移动次数为 $O(am+n)$，$r$ 移动次数是 $O(am+\frac{n^2}{a})$，$t$ 的移动次数是 $O(t\frac{n^2}{a^2})$. 然后接下来就是玄学推导。由于题目的 $n$ 和 $m$ 的范围大致一致，因此 $l$ 可以写为 $O(an)$，$r$ 可以写为 $O(an)$，则由 $an=t\frac{n^2}{a^2}$ 得 $a=\sqrt[3]{nt}$
• 其实就是排序的时候用到了分块儿，之后还是一个暴力做法。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10010, M = 1000010;

int a[N], n, m, mc, mq, len;
int res, cnt[M], ans[N];

struct Query
{
    int l, r, id, t;
}Q[N];

struct Modify
{
    int p, c;
}c[N];

int get(int x)
{
    return x / len;
}

bool cmp(const Query& q1, const Query& q2)
{
    int l1 = get(q1.l), l2 = get(q2.l);
    int r1 = get(q1.r), r2 = get(q2.r);
    int t1 = q1.t, t2 = q2.t;

    if(l1 != l2) return l1 < l2;
    if(r1 != r2) return r1 < r2;
    return t1 < t2;
}

void add(int x, int& res)
{
    if(cnt[x] == 0) res++;
    cnt[x]++;
}

void sub(int x, int& res)
{
    cnt[x]--;
    if(cnt[x] == 0) res--;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
    }

    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        static char op[5];
        static int x, y;
        scanf("%s%d%d", op, &x, &y);
        if(*op == 'Q') mq++, Q[mq] = {x, y, mq, mc};
        else c[++mc] = {x, y};
    }

    int res = 0;

    len = cbrt(1.0 * n * (mc + 1));
    sort(Q + 1, Q + mq + 1, cmp);

    for(int k = 1, i = 1, j = 0, t = 0; k <= mq; k++)
    {
        //这里的 i 表示左端点，j 表示右端点
        //一定要先改变右端点再改变左端点
        int l = Q[k].l, r = Q[k].r, id = Q[k].id, tm = Q[k].t;
        while(j > r) sub(a[j--], res);
        while(j < r) add(a[++j], res);
        while(i < l) sub(a[i++], res);
        while(i > l) add(a[--i], res);

        while(t < tm)
        {
            t++;
            if(l <= c[t].p && c[t].p <= r)
            {
                sub(a[c[t].p], res);
                add(c[t].c, res);
            }
            swap(a[c[t].p], c[t].c);
        }
        while(t > tm)
        {
            if(l <= c[t].p && c[t].p <= r)
            {
                sub(a[c[t].p], res);
                add(c[t].c, res);
            }
            swap(a[c[t].p], c[t].c);
            t--;
        }
        ans[id] = res;
    }
    for(int i = 1; i <= mq; i++)
    {
        printf("%d\n", ans[i]);
    }
    return 0;
}

• 给一个序列 $n\le 10^5$，序列由一系列数字 $X_i\le 10^9$ 组成，下面有一系列询问 $m\le 10^5$，每次询问一个区间 $[l,r]$，求这个区间这个数的最大值：区间每个数出现次数 乘 这个数字.
• 这个题就是典型的增加方便删除困难，因为删除操作维护最大值不容易实现。这道题还有一个地方就是卡常，离散化用 vector 实现，更快一些.

1. 首先分块排序，第一关键字按照左端点 $l$ 所在块升序排序，第二关键字按照右端点升序排序.
2. 对于左右端点在同一块内的询问可以暴力处理
3. 左右端点横跨两个块的询问（记为块 $A$ 和 $A$ 之外），初始时将右端点置于块 $A$ 的右端点，左端点置于块 $A$ 的右端点加 $1$ 的位置，右端点只会一直往右左，暴力维护左端点即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;

typedef long long ll;
ll a[N], res, ans[N];
int len, idx;

int cnt[N];
vector<ll> nums;

int get_id(ll x)
{
    return lower_bound(nums.begin(), nums.end(), x) - nums.begin();
}

struct Query
{
    int l, r, id;
}Q[N];

void add(int x)
{
    cnt[x]++;
    if(cnt[x] * nums[x] > res) res = cnt[x] * nums[x];
}

void sub(int x)
{
    cnt[x]--;
}

int get(int x)
{
    return x / len;
}

bool cmp(Query& q1, Query& q2)
{
    int l1 = get(q1.l), l2 = get(q2.l);
    if(l1 != l2) return l1 < l2;
    return q1.r < q2.r;
}

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%lld", &a[i]);
        nums.push_back(a[i]);
    }

    sort(nums.begin(), nums.end());
    nums.erase(unique(nums.begin(), nums.end()), nums.end());
    //这样子，a中存储的就是每一个数字的相对大小了.
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        a[i] = get_id(a[i]);
    }
    
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        scanf("%d%d", &Q[i].l, &Q[i].r);
        Q[i].id = i;
    }

    len = sqrt(m);
    sort(Q + 1, Q + m + 1, cmp);

    for(int x = 1; x <= m; )
    {
        memset(cnt, 0, sizeof cnt);
        int y = x;
        while(y <= m && get(Q[x].l) == get(Q[y].l)) y++;
        
        while(x < y)
        {
            res = 0;
            if(get(Q[x].l) != get(Q[x].r)) break;
            int l = Q[x].l, r = Q[x].r, id = Q[x].id;
            for(int k = l; k <= r; k++) add(a[k]);
            ans[id] = res;
            for(int k = l; k <= r; k++) sub(a[k]);
            x++;
        }
        
        int right = get(Q[x].l) * len + len - 1;
        int i = right + 1, j = right;
        res = 0;
        while(x < y)
        {
            int l = Q[x].l, r = Q[x].r, id = Q[x].id;
            while(j < r) add(a[++j]);
            ll backup = res;
            while(i > l) add(a[--i]);
            ans[id] = res;
            res = backup;
            while(i < right + 1) sub(a[i++]);
            x++;
        }
    }
    
    for(int i = 1; i <= m; i++) printf("%lld\n", ans[i]);
    return 0;
}

• 给定一棵 $N(N\le 40000)$ 个节点的树，节点编号从 $1$ 到 $N$，每个节点都有一个整数权值。现在，我们要进行 $M\le 10^5$ 次询问，格式为 u v，对于每个询问你需要回答从 $u$ 到 $v$ 的路径上（包括两端点）共有多少种不同的点权值。点的权值在 $int$ 范围内.

1. 先把树的问题转化为序列问题，即求出树的欧拉序列.
2. 记录每一个结点第一次出现的位置 $first[u]$，和最后一次出现的位置 $last[u]$.
3. 不妨设 $first[x]<first[y]$:
   1. 若 $lca(x,y)=x$，则区间为在欧拉序列 $[first[x],first[y]]$ 中只出现了一次的点.
   2. 若 $lca(x,y)\ne x$，则区间为在欧拉序列 $[last[x],first[y]]$ 中出现一次的点加上 $lca(x,y)$.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;

int h[N], e[N], ne[N], idx;
int a[N], n, m, ans[N];
int seq[N], top, que[N], first[N], last[N];
vector<int> nums;

int cnt[N], st[N];
int len;
int depth[N], f[N][16];

void add_edge(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

struct Query
{
    int l, r, id, p;
}Q[N];

int get(int x)
{
    return x / len;
}

bool cmp(const Query& q1, const Query& q2)
{
    int l1 = get(q1.l), l2 = get(q2.l);
    if(l1 != l2) return l1 < l2;
    return q1.r < q2.r;
}

void dfs(int u, int fa)
{
    seq[++top] = u;
    first[u] = top;
    for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int v = e[i];
        if(v == fa) continue;
        dfs(v, u);
    }
    seq[++top] = u;
    last[u] = top;
}

void bfs()
{
    memset(depth, 0x3f, sizeof depth);
    depth[0] = 0, depth[1] = 1;
    int hh = 0, tt = -1;
    que[++tt] = 1;
    while(hh <= tt)
    {
        int u = que[hh++];
        for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int v = e[i];
            if(depth[v] > depth[u] + 1)
            {
                depth[v] = depth[u] + 1;
                f[v][0] = u;
                for(int k = 1; k <= 15; k++) f[v][k] = f[f[v][k - 1]][k - 1];
                que[++tt] = v;
            }
        }
    }
}

int lca(int a, int b)
{
    if(depth[a] < depth[b]) swap(a, b);
    for(int k = 15; k >= 0; k--)
    {
        if(depth[f[a][k]] >= depth[b])
        {
            a = f[a][k];
        }
    }
    if(a == b) return a;

    for(int k = 15; k >= 0; k--)
    {
        if(f[a][k] != f[b][k])
        {
            a = f[a][k];
            b = f[b][k];
        }
    }
    return f[a][0];
}

void add(int x, int& res)
{
    st[x] ^= 1;
    if(st[x])
    {
        cnt[a[x]]++;
        if(cnt[a[x]] == 1) res++;
    }
    else
    {
        cnt[a[x]]--;
        if(!cnt[a[x]]) res--;
    }
}

int main()
{
    memset(h, -1, sizeof h);
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        nums.push_back(a[i]);
    }

    sort(nums.begin(), nums.end());
    nums.erase(unique(nums.begin(), nums.end()), nums.end());

    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        a[i] = lower_bound(nums.begin(), nums.end(), a[i]) - nums.begin();
    }

    for(int i = 1; i < n; i++)
    {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        add_edge(x, y), add_edge(y, x);
    }

    dfs(1, -1);
    bfs();

    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        
        if(first[x] > first[y]) swap(x, y);
        
        int p = lca(x, y);
        if(p == x) Q[i] = {first[x], first[y], i};
        else Q[i] = {last[x], first[y], i, p};
    }

    len = sqrt(top);
    sort(Q + 1, Q + m + 1, cmp);

    int res = 0;
    for(int i = 1, L = 1, R = 0; i <= m; i++)
    {
        int l = Q[i].l, r = Q[i].r, id = Q[i].id, p = Q[i].p;
        while(R < r) add(seq[++R], res);
        while(R > r) add(seq[R--], res);
        while(L < l) add(seq[L++], res);
        while(L > l) add(seq[--L], res);

        if(p) add(p, res);
        ans[id] = res;
        if(p) add(p, res);
    }

    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        printf("%d\n", ans[i]);
    }
}

• 题意：给定一个长度为 $n$ 的序列 $a_1,a_2,...,a_n$ 以及一个整数 $k$。现在要进行 $m$ 次询问，每次询问给定一个区间 $[l,r]$，请你求出共有多少个数对 $(i,j)$ 满足 $l\le i<j\le r$ 且 $a_i\oplus a_j$ 的结果在二进制表示下恰好有 $k$ 个 $1$。$n\le 10^5,0\le k\le 14,0\le a_i<2^{14}$

给定一棵树，树中包含 $n$ 个节点（编号 $1\sim n$），其中第 $i$ 个节点的权值为 $a_i$。初始时，$1$ 号节点为树的根节点。现在要对该树进行 $m$ 次操作，操作分为以下 $4$ 种类型：

1 u v k，修改路径上节点权值，将节点 $u$ 和节点 $v$ 之间路径上的所有节点（包括这两个节点）的权值增加 $k$。

2 u k，修改子树上节点权值，将以节点 $u$ 为根的子树上的所有节点的权值增加 $k$。

3 u v，询问路径，询问节点 $u$ 和节点 $v$ 之间路径上的所有节点（包括这两个节点）的权值和。

4 u，询问子树，询问以节点 $u$ 为根的子树上的所有节点的权值和。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 100010, M = N * 2;
int w[N], h[N], e[M], ne[M], idx;
int n, m;

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int dep[N], sz[N], fa[N], son[N];
int nw[N], id[N], top[N], cnt;

void dfs1(int u, int father, int depth)
{
    dep[u] = depth, sz[u] = 1, fa[u] = father;
    for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int v = e[i];
        if(v == father) continue;
        dfs1(v, u, depth + 1);
        if(sz[son[u]] < sz[v]) son[u] = v;
        sz[u] += sz[v];
    }
}

//t 表示当前结点所在重链的开头结点是什么
void dfs2(int u, int t)
{
    id[u] = ++cnt; nw[cnt] = w[u], top[u] = t;
    if(!son[u]) return;
    dfs2(son[u], t);
    for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int v = e[i];
        //判断 v 是否为 father 时，千万别写错，不然可能会 MLE
        if(v == fa[u] || son[u] == v) continue;
        dfs2(v, v);
    }
}

struct node
{
    int l, r;
    ll sum, add;
}tr[N * 4];

void pushup(int u)
{
    tr[u].sum = tr[2 * u].sum + tr[2 * u + 1].sum;
}

void pushdown(int u)
{
    auto& root = tr[u], &left = tr[2 * u], &right = tr[2 * u + 1];
    if(root.add)
    {
        left.sum += root.add * (left.r - left.l + 1);
        right.sum += root.add * (right.r - right.l + 1);
        left.add += root.add, right.add += root.add;
        root.add = 0;
    }
}

void build(int u, int l, int r)
{
    tr[u] = {l, r};
    if(l == r) tr[u].sum = nw[l];
    else
    {
        int mid = (l + r) / 2;
        build(2 * u, l, mid), build(2 * u + 1, mid + 1, r);
        pushup(u);
    }
}

void update(int u, int l, int r, int k)
{
    if(l <= tr[u].l && tr[u].r <= r)
    {
        tr[u].add += k;
        tr[u].sum += (ll)k * (tr[u].r - tr[u].l + 1);
    }
    else
    {
        pushdown(u);
        int mid = (tr[u].l + tr[u].r) / 2;
        if(l <= mid) update(2 * u, l, r, k);
        if(r > mid) update(2 * u + 1, l, r, k);
        pushup(u);
    }
}

ll query(int u, int l, int r)
{
    if(l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) return tr[u].sum;
    pushdown(u);
    int mid = (tr[u].l + tr[u].r) / 2;
    ll res = 0;
    if(l <= mid) res += query(2 * u, l, r);
    if(r > mid) res += query(2 * u + 1, l, r);
    return res;
}

void update_path(int u, int v, int k)
{
    while(top[u] != top[v])
    {
        if(dep[top[u]] < dep[top[v]]) swap(u, v);
        //传进线段树的下标s结点编号。
        update(1, id[top[u]], id[u], k);
        u = fa[top[u]];
    }
    if(dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
    update(1, id[v], id[u], k);
}

void query_path(int u, int v)
{
    ll res = 0;
    while(top[u] != top[v])
    {
        if(dep[top[u]] < dep[top[v]]) swap(u, v);
        res += query(1, id[top[u]], id[u]);
        u = fa[top[u]];
    }
    if(dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
    res += query(1, id[v], id[u]);
    printf("%lld\n", res);
}

void update_tree(int u, int k)
{
    update(1, id[u], id[u] + sz[u] - 1, k);
}

void query_tree(int u)
{
    printf("%lld\n", query(1, id[u], id[u] + sz[u] - 1));
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &w[i]);
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a);
    }
    dfs1(1, -1, 1);
    dfs2(1, 1);
    build(1, 1, n);

    scanf("%d", &m);
    while (m -- )
    {
        int t, u, v, k;
        scanf("%d%d", &t, &u);
        if (t == 1)
        {
            scanf("%d%d", &v, &k);
            update_path(u, v, k);
        }
        else if (t == 2)
        {
            scanf("%d", &k);
            update_tree(u, k);
        }
        else if (t == 3)
        {
            scanf("%d", &v);
            query_path(u, v);
        }
        else query_tree(u);
    }
    return 0;
}