基于变化点 copula 优化算法中的贝叶斯研究（Matlab代码实现）

news2024/11/26 23:22:31

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目录

💥1 概述

1.1 Copula函数定义

1.2 Copula函数类型

📚2 运行结果

2.1 方案1

2.2 方案2

🎉3 参考文献

🌈4 Matlab代码实现

💥1 概述

1.1 Copula函数定义

Copula最早由Sklar在1959年提出，即Sklar定理。

$H(x, y)=C(F(x), G(y))$

以二维变量为例，F(x)与G(y)分别为变量X与Y的边缘分布函数，由式(1)可知，若H(x,y)为F(x)与G(y)的联合分布函数，那么存在唯一的Copula函数C，可以将联合分布函数与边缘分布函数进行连接。

Sklar定理认为[19]一个联合分布函数的相关性性质完全由其Copula函数所确定。换言之，变量的随机性可用其各自的边缘分布进行描述，而变量之间的耦合特性需由Copula函数进行表示。N个随机变量的联合分布可分解为N个变量各自的边缘分布以及一个Copula函数，将变量的随机性和耦合性分离，达到减少联合分布函数求解难度的目的。

1.2 Copula函数类型

常用的Copula函数分为椭圆族Copula函数与阿基米德Copula函数两类。椭圆族Copula函数包括正态Copula函数与t-Copula函数，两者均有对称的尾部相关性，在中心区域差别不大。阿基米德Copula函数具有统一的分布函数表达式:

$C\left(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{N}\right)=\varphi^{-1}\left(\varphi\left(u_{1}\right)+\varphi\left(u_{2}\right)+\cdots+\varphi\left(u_{N}\right)\right)$

式中: u1,u2,…,UN——随机变量边缘分布; $\varphi$ ——阿基米德Copula函数生成元。

根据不同的生成元函数能得到不同的阿基米德Copula函数，常见的有Frank Copula(Fr-Copula)函数、Clayton Copula(Clay-Copula）函数以及Gumbel Copula(Gum-Copula)函数，3种阿基米德Copula函数生成元如表1所示。

不同类型的Copula函数具有不同的特性，因而对于相关性的描述也有所不同。其中椭圆族Copula函数与Fr-Copula函数侧重于刻画对称的尾部相关性，而Clay-Copula函数与Gum-Copula函数则更适合描述非对称的上尾特性和非对称的下尾特性。如果只应用某种单一Copula函数进行数据拟合分析相关性，容易出现失真状况，导致相关性分析不准确。因此可选择将几种Copula函数组合，构造混合Copula函数模型进行数据相关性的分析。