1 概念

二分图是一种能将所有结点分为两部分的图，其中图的每条边所连接的两个顶点都分别属于不同的部分。

2 API

public class	Bipartite
	Bipartite(Graph G)	预处理函数
public boolean	isBipartitle()	是否是二分图
public Iterable<Iteratable>	cycle()	如果不是二分图，输出同色边所在环路
public boolean	color(int v)	输出顶点v的颜色

3 分析和实现

深度优先非递归实现，源代码如下：

package com.gaogzhen.datastructure.graph.undirected;

import com.gaogzhen.datastructure.stack.Stack;
import edu.princeton.cs.algs4.Graph;

import java.util.Iterator;

/**
 * 二分图
 * @author: Administrator
 * @createTime: 2023/03/10 19:27
 */
public class Bipartite {
    /**
     * 标记顶点
     */
    private boolean[] marked;

    /**
     * 记录所有顶点到起点的路径
     */
    private int[] edgeTo;

    /**
     * 双色标记顶点颜色,true和false
     */
    private boolean[] color;

    /**
     * 是否是二分图标志，默认true
     */
    private boolean isBipartite = true;

    /**
     * 如果不是二分图，记录形成同色边所在环
     */
    private Stack<Integer> cycle;

    /**
     * 染色法检测是否是二分图
     *
     * @param G the undirected graph
     */
    public Bipartite(Graph G) {
        // 只是检测二分图可以不进行平行边的判断；如果想找到形成同色边所在环则需要进行平行边的判断
        // if (hasParallelEdges(G)) {
        //     return;
        // }

        // don't need special case to identify self-loop as a cycle
        // if (hasSelfLoop(G)) return;
        int len = G.V();
        marked = new boolean[len];
        color = new boolean[len];
        edgeTo = new int[len];
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            edgeTo[i] = -1;
        }
        dfs(G);
    }

    private void dfs(Graph G) {
        Stack<Node> stack = new Stack<>();
        for (int v = 0; v < G.V(); v++) {
            if (!marked[v]) {
                if (dfs(G, v, stack) ) {
                    return;
                }
            }
        }
    }

    /**
     * 深度优先染色
     *
     * @param G     无向图
     * @param v
     * @param stack
     */
    private boolean dfs(Graph G, int v, Stack<Node> stack) {
        marked[v] = true;
        Iterable<Integer> adj = G.adj(v);
        if (adj != null) {
            stack.push(new Node(v,adj.iterator()));
        }

        while (!stack.isEmpty()) {
            Node c = stack.pop();

            while (c.adj.hasNext()) {
                Integer w = c.adj.next();
                if (!marked[w]) {
                    marked[w] = true;
                    edgeTo[w] = c.v;
                    // 当前顶点染和其父结点相反的颜色
                    color[w] = !color[c.v];
                    if (c.adj.hasNext()) {
                        stack.push(c);
                    }
                    Iterable<Integer> adjW = G.adj(w);
                    if (adjW != null) {
                        stack.push(new Node(w, adjW.iterator()));
                    }
                    break;
                }

                // check for cycle (but disregard reverse of edge leading to v)
                else if (color[w] == color[c.v]) {
                    // 记录同色边所在环路
                    cycle = new Stack<>();
                    cycle.push(w);
                    for (int x = c.v; x != w; x = edgeTo[x]) {
                        cycle.push(x);
                    }
                    cycle.push(w);
                    isBipartite = false;
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }

    /**
     * 检测无向图G是否有子环
     * @param G
     * @return
     */
    private boolean hasSelfLoop(Graph G) {
        for (int v = 0; v < G.V(); v++) {
            for (int w : G.adj(v)) {
                if (v == w) {
                    cycle = new Stack<Integer>();
                    cycle.push(v);
                    cycle.push(v);
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }

    /**
     * 检测无向图G是否有平行边
     * @param G
     * @return
     */
    private boolean hasParallelEdges(Graph G) {
        marked = new boolean[G.V()];

        for (int v = 0; v < G.V(); v++) {

            // check for parallel edges incident to v
            for (int w : G.adj(v)) {
                if (marked[w]) {
                    cycle = new Stack<Integer>();
                    cycle.push(v);
                    cycle.push(w);
                    cycle.push(v);
                    return true;
                }
                marked[w] = true;
            }

            // reset so marked[v] = false for all v
            for (int w : G.adj(v)) {
                marked[w] = false;
            }
        }
        return false;
    }

    /**
     * 是否是二分图
     * @return
     */
    public boolean isBipartite() {
        return isBipartite;
    }

    public boolean color(int v) {
        validateVertex(v);
        if (!isBipartite) {
            throw new UnsupportedOperationException("graph is not bipartite");
        }
        return color[v];
    }

    private void validateVertex(int v) {
        int V = marked.length;
        if (v < 0 || v >= V) {
            throw new IllegalArgumentException("vertex " + v + " is not between 0 and " + (V-1));
        }
    }

    /**
     * 如果有环，返回环路
     * @return a cycle if the graph {@code G} has a cycle,
     *         and {@code null} otherwise
     */
    public Iterable<Integer> cycle() {
        return cycle;
    }



    static class Node {

        /**
         * 顶点索引
         */
        private int v;


        /**
         * 顶点邻接表
         */
        private Iterator<Integer> adj;

        public Node(int v, Iterator<Integer> adj) {
            this.v = v;
            this.adj = adj;
        }
    }
}

原理：深度优先遍历无向图，遍历顶点v，标记且颜色染为其父结点的反色。遍历顶点v邻接表顶点w时，如果w已经被标记过且颜色和顶点v的颜色相同。说明边v-w为同色边，不是二分图。重复上述过程，如果遍历完整个无向图，没有发现同色边，说明该无向图为二分图，且染色完毕。

记录同色边所在环：edgeTo[]记录所有顶点到起点的路径，为一棵由父链接表示的树。如果找到同色边v-w，说明它一也形成了环路。变量从顶点v开始遍历树，通过把x设为edgeTo[v]，直到顶点w。容器起始放入顶点w，最后放入w，记录完整环路。

双色：利用布尔值true和false表示，通过逻辑非很容易取反色。

4 测试

测试代码：

public static void testBipartite() {
    String path = "H:\\gaogzhen\\java\\projects\\algorithm\\asserts\\bipartite.txt";
    // String path = "H:\\gaogzhen\\java\\projects\\algorithm\\asserts\\maze.txt";
    In in = new In(path);
    Graph graph = new Graph(in);
    Bipartite bipartite = new Bipartite(graph);
    System.out.println("是否是二分图：" + bipartite.isBipartite());
    System.out.println("非二分图环：" + bipartite.cycle());
}

bipartite.txt中染色效果如下图4-1所示：

maze.txt染色效果如下图4-2所示：

5 总结

如果一幅图有环且环中顶点数为奇数，那么它就不是二分图。

• 如果一幅图没有环，那么深度优先遍历就是一棵树，从起点开始，把边两个顶点染不同的颜色，一定是二分图。
• 一幅图有环而且环中顶点数为奇数，给顶点做标记$1,2,\dots ,2k+1,k\in N$。根据我们的染色规则，那么第1和顶点和最后一个顶点由同一条边相连接，且颜色相同。所以不是二分图。

广度优先搜索算法也可以解决二分图判别染色问题，有兴趣的小伙伴自行实现吧，也可以参考算法第四版对应jar包。

后记

如果小伙伴什么问题或者指教，欢迎交流。

❓QQ:806797785

⭐️源代码仓库地址：https://gitee.com/gaogzhen/algorithm

参考链接:

[1][美]Robert Sedgewich,[美]Kevin Wayne著;谢路云译.算法：第4版[M].北京：人民邮电出版社，2012.10.p344-348.