这学期会时不时更新一下伊曼纽尔·德曼(Emanuel Derman) 教授与迈克尔B.米勒(Michael B. Miller)的《The Volatility Smile》这本书,本意是协助导师课程需要,发在这里有意的朋友们可以学习一下,思路不一定够清晰且由于分工原因我是从书本第13章写起,还请大家见谅。
第13章 二叉树模型及其扩展
股价变动方式的二叉树模型
假设股息率=0,在BSM模型下的股价满足:
d
(
ln
(
S
)
)
=
μ
d
t
+
σ
d
Z
d(\ln(S))=\mu dt+\sigma dZ
d(ln(S))=μdt+σdZ
单位时间内,股票预期对数回报=
μ
\mu
μ,对数回报波动率=
σ
\sigma
σ,
t
t
t 时刻后的总方差=
σ
2
t
\sigma^2t
σ2t
根据伊藤引理推导(令
ln
(
S
)
=
P
\ln(S)=P
ln(S)=P):
d
(
S
)
=
d
(
e
P
)
=
(
∂
e
P
∂
P
μ
+
∂
e
P
∂
t
+
1
2
∂
2
e
P
∂
P
2
σ
2
)
d
t
+
∂
e
P
∂
P
σ
d
Z
=
(
e
P
μ
+
1
2
e
P
σ
2
)
d
t
+
e
P
σ
d
Z
=
(
μ
+
1
2
σ
2
)
S
d
t
+
σ
S
d
Z
d(S)=d(e^P)=(\frac{\partial e^P}{\partial P}\mu+\frac{\partial e^P}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2e^P}{\partial P^2}\sigma^2)dt+\frac{\partial e^P}{\partial P}\sigma dZ\\=(e^P\mu+\dfrac{1}{2}e^P\sigma^2)dt+e^P\sigma dZ\\=(\mu+\dfrac{1}{2}\sigma^2)Sdt+\sigma SdZ
d(S)=d(eP)=(∂P∂ePμ+∂t∂eP+21∂P2∂2ePσ2)dt+∂P∂ePσdZ=(ePμ+21ePσ2)dt+ePσdZ=(μ+21σ2)Sdt+σSdZ
上式表明:股票价格的预期回报=
μ
+
1
2
σ
2
\mu+\dfrac{1}{2}\sigma^2
μ+21σ2
上图展示了单期二叉树下, d t dt dt 时间间隔内股价的变动情况。 p , u , d p,u,d p,u,d 都是由 μ , σ \mu,\sigma μ,σ 决定的。假设上述描述的是真实的股价变动,则 p , 1 − p p,1-p p,1−p 都为真实的概率。真实事件发生的概率通常被称为 p p p 测度。
对数回报=
u
u
u 的概率为
p
p
p,对数回报=
d
d
d 的概率为
(
1
−
p
)
(1-p)
(1−p),均值=
μ
d
t
\mu dt
μdt。考虑均值和方程,可以进行如下推导:
p
u
+
(
1
−
p
)
d
=
μ
d
t
p
(
u
−
μ
d
t
)
2
+
(
1
−
p
)
(
d
−
μ
d
t
)
2
=
σ
2
d
t
pu+(1-p)d=\mu dt\\ p(u-\mu dt)^2+(1-p)(d-\mu dt)^2=\sigma^2dt
pu+(1−p)d=μdtp(u−μdt)2+(1−p)(d−μdt)2=σ2dt
将第一个式子中的
μ
d
t
\mu dt
μdt 带入第二个式子可得:
p
[
u
−
p
u
−
(
1
−
p
)
d
]
2
+
(
1
−
p
)
[
d
−
p
u
−
(
1
−
p
)
d
]
2
=
σ
2
d
t
p
[
(
u
−
d
)
(
1
−
p
)
]
2
+
(
1
−
p
)
[
p
(
d
−
u
)
]
2
=
σ
2
d
t
p
(
u
−
d
)
2
[
(
1
−
p
)
2
+
(
1
−
p
)
p
]
=
σ
2
d
t
p
(
1
−
p
)
(
u
−
d
)
2
=
σ
2
d
t
p[u-pu-(1-p)d]^2+(1-p)[d-pu-(1-p)d]^2=\sigma^2dt\\ p[(u-d)(1-p)]^2+(1-p)[p(d-u)]^2=\sigma^2dt\\ p(u-d)^2[(1-p)^2+(1-p)p]=\sigma^2dt\\ p(1-p)(u-d)^2=\sigma^2dt
p[u−pu−(1−p)d]2+(1−p)[d−pu−(1−p)d]2=σ2dtp[(u−d)(1−p)]2+(1−p)[p(d−u)]2=σ2dtp(u−d)2[(1−p)2+(1−p)p]=σ2dtp(1−p)(u−d)2=σ2dt
对于
p
,
u
,
d
p,u,d
p,u,d,上述式子只给出了两个约束条件,而这个方程有一系列解。因此,可以自己选择引入额外的约束条件,使其更为简便。
1、Cox-Ross-Rubinstein模型
令
u
+
d
=
0
u+d=0
u+d=0,保证二叉树中心位置保持不变,即可以得到Cox-Ross-Rubinstein(CRR)模型,上述两个约束条件可以改写为:
(
2
p
−
1
)
u
=
μ
d
t
4
p
(
1
−
p
)
u
2
=
σ
2
d
t
(2p-1)u=\mu dt\\ 4p(1-p)u^2=\sigma^2dt
(2p−1)u=μdt4p(1−p)u2=σ2dt
将1式取平方与2式相加可得:
(
4
p
2
−
4
p
+
1
+
4
p
−
4
p
2
)
u
2
=
μ
2
d
t
2
+
σ
2
d
t
u
2
=
μ
2
d
t
2
+
σ
2
d
t
(4p^2-4p+1+4p-4p^2)u^2=\mu^2dt^2+\sigma^2dt\\ u^2=\mu^2dt^2+\sigma^2dt
(4p2−4p+1+4p−4p2)u2=μ2dt2+σ2dtu2=μ2dt2+σ2dt
当
d
t
→
0
dt\to0
dt→0 时,
d
t
2
dt^2
dt2 相对于
d
t
dt
dt 可以忽略不计:
d
t
→
0
:
u
2
=
σ
2
d
t
u
=
σ
d
t
,
d
=
−
σ
d
t
dt\to0:u^2=\sigma^2dt\\ u=\sigma\sqrt{dt},d=-\sigma\sqrt{dt}
dt→0:u2=σ2dtu=σdt,d=−σdt
u
,
d
u,d
u,d 即为上述表达式,带入1式可得:
(
2
p
−
1
)
σ
d
t
=
μ
d
t
p
=
1
2
+
1
2
μ
σ
d
t
(2p-1)\sigma\sqrt{dt}=\mu dt\\ p=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{dt}
(2p−1)σdt=μdtp=21+21σμdt
至此,在CRR模型下,我们用
μ
,
σ
\mu,\sigma
μ,σ 表示
p
,
u
,
d
p,u,d
p,u,d
二叉树过程的均值与方差如下:
p
u
+
(
1
−
p
)
d
=
(
1
2
+
1
2
μ
σ
d
t
)
σ
d
t
+
(
1
−
1
2
−
1
2
μ
σ
d
t
)
(
−
σ
d
t
)
=
μ
d
t
p
(
1
−
p
)
(
u
−
d
)
2
=
(
1
2
+
1
2
μ
σ
d
t
)
(
1
2
−
1
2
μ
σ
d
t
)
(
σ
d
t
+
σ
d
t
)
2
=
(
1
−
μ
2
σ
2
d
t
)
(
σ
2
d
t
)
=
σ
2
d
t
−
μ
2
d
t
2
pu+(1-p)d=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{dt})\sigma\sqrt{dt}+(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{dt})(-\sigma\sqrt{dt})=\mu dt\\ p(1-p)(u-d)^2=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{dt})(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{dt})(\sigma\sqrt{dt}+\sigma\sqrt{dt})^2\\=(1-\frac{\mu^2}{\sigma^2}dt)(\sigma^2dt)=\sigma^2dt-\mu^2dt^2\\
pu+(1−p)d=(21+21σμdt)σdt+(1−21−21σμdt)(−σdt)=μdtp(1−p)(u−d)2=(21+21σμdt)(21−21σμdt)(σdt+σdt)2=(1−σ2μ2dt)(σ2dt)=σ2dt−μ2dt2
当
d
t
→
0
dt\to0
dt→0 时,
d
t
2
dt^2
dt2 相对于
d
t
dt
dt 可以忽略不计:
p
(
1
−
p
)
(
u
−
d
)
2
=
σ
2
d
t
p(1-p)(u-d)^2=\sigma^2dt
p(1−p)(u−d)2=σ2dt
满足一般的约束条件。
不过,如果 d t ≠ 0 dt\neq0 dt=0,计算得到的方差会比实际方差略小,收敛过程相比实际情况也会稍慢一些。
Jarrow-Rudd模型
该模型令
p
=
1
2
p=\dfrac{1}{2}
p=21,即股价上行下行概率相等:
1
2
u
+
1
2
d
=
μ
d
t
→
u
+
d
=
2
μ
d
t
1
4
(
u
−
d
)
2
=
σ
2
d
t
→
u
−
d
=
2
σ
d
t
\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}d=\mu dt\to u+d=2\mu dt\\ \frac{1}{4}(u-d)^2=\sigma^2dt\to u-d=2\sigma\sqrt{dt}
21u+21d=μdt→u+d=2μdt41(u−d)2=σ2dt→u−d=2σdt
易得:
u
=
μ
d
t
+
σ
d
t
d
=
μ
d
t
−
σ
d
t
u=\mu dt+\sigma\sqrt{dt}\\ d=\mu dt-\sigma\sqrt{dt}
u=μdt+σdtd=μdt−σdt
设初始股价=
S
0
S_0
S0,在一个时间段
d
t
dt
dt 后,预期股价如下推导:
E
[
S
d
t
]
=
1
2
S
0
e
u
+
1
2
S
0
e
d
=
1
2
S
0
e
μ
d
t
(
e
σ
d
t
+
e
−
σ
d
t
)
E[S_{dt}]=\frac{1}{2}S_0e^u+\frac{1}{2}S_0e^d=\frac{1}{2}S_0e^{\mu dt}(e^{\sigma\sqrt{dt}}+e^{-\sigma\sqrt{dt}})
E[Sdt]=21S0eu+21S0ed=21S0eμdt(eσdt+e−σdt)
对括号中的两项进行泰勒二阶展开(将
σ
d
t
\sigma\sqrt{dt}
σdt 看作整体):
E
[
S
d
t
]
≈
1
2
S
0
e
μ
d
t
(
1
+
σ
d
t
+
σ
2
d
t
2
+
1
−
σ
d
t
+
σ
2
d
t
2
)
=
S
0
e
μ
d
t
(
1
+
σ
2
d
t
2
)
E[S_{dt}]\approx\frac{1}{2}S_0e^{\mu dt}(1+\sigma\sqrt{dt}+\frac{\sigma^2dt}{2}+1-\sigma\sqrt{dt}+\frac{\sigma^2dt}{2})=S_0e^{\mu dt}(1+\frac{\sigma^2dt}{2})
E[Sdt]≈21S0eμdt(1+σdt+2σ2dt+1−σdt+2σ2dt)=S0eμdt(1+2σ2dt)
已知对
e
x
e^x
ex 做一阶泰勒展开为:
e
x
≈
1
+
x
e^x\approx1+x
ex≈1+x,将该近似带入上式得:
E
[
S
d
t
]
≈
S
0
e
μ
d
t
(
1
+
σ
2
d
t
2
)
≈
S
0
e
μ
d
t
e
σ
2
d
t
2
=
S
0
e
(
μ
+
σ
2
2
)
d
t
E[S_{dt}]\approx S_0e^{\mu dt}(1+\frac{\sigma^2dt}{2})\approx S_0e^{\mu dt}e^{\frac{\sigma^2dt}{2}}=S_0e^{(\mu+\frac{\sigma^2}{2})dt}
E[Sdt]≈S0eμdt(1+2σ2dt)≈S0eμdte2σ2dt=S0e(μ+2σ2)dt
当
d
t
→
0
dt\to0
dt→0 时,股票预期连续复利回报等于
μ
+
σ
2
2
\mu+\dfrac{\sigma^2}{2}
μ+2σ2,与伊藤引理相符
期权估值的二叉树模型
期权估值
将一只股票 S 和一个无风险债券 B 分解为两个基础状态依赖证券, Π u , Π d \Pi_u,\Pi_d Πu,Πd,其中,在一个微小时间间隔 d t dt dt 之后, Π u \Pi_u Πu 表示当股价上行时支付1美元,股价下行时不支付; Π d \Pi_d Πd 表示当股价下行时支付1美元,股价上行时不支付。用 1 S 1_S 1S 表示买入价值为1美元的股票,用 1 B 1_B 1B 表示买入价值为1美元的无风险债券
用 S U , S D S_U,S_D SU,SD 表示股价上行和下行状态,假设初始股价= S S S,股价上行时, 1 S 1_S 1S 的价值等于 U = S U / S ≡ e u U=S_U/S\equiv e^u U=SU/S≡eu;股价下行时,价值等于 D = S D / S ≡ e d D=S_D/S\equiv e^d D=SD/S≡ed。而投资于无风险债券的 1 B 1_B 1B 在股价上行和下行时都= e r d t , r e^{rdt},r erdt,r 表示无风险利率。具体如下图所示:
可以将证券 Π u \Pi_u Πu 表示成 1 S , 1 B 1_S,1_B 1S,1B 的线性关系式: Π u = α 1 S + β 1 B \Pi_u=\alpha1_S+\beta1_B Πu=α1S+β1B,当股价上行下行的时候,令等式右侧的损益等于 Π u \Pi_u Πu 的损益,即可求解得到 α , β \alpha,\beta α,β
一个同时持有
Π
u
,
Π
d
\Pi_u,\Pi_d
Πu,Πd 的组合在
d
t
dt
dt 时间段后价值一定=1美元,等同于一个在
d
t
dt
dt 时面值为1美元的无风险债券,即有如下式子:
Π
u
+
Π
d
=
e
−
r
d
t
1
B
\Pi_u+\Pi_d=e^{-rdt}1_B
Πu+Πd=e−rdt1B
考虑
Π
u
\Pi_u
Πu,在股价上行和下行的状态,分别有如下等式:
α
U
+
β
e
r
d
t
=
1
α
D
+
β
e
r
d
t
=
0
\alpha U+\beta e^{rdt}=1\\ \alpha D+\beta e^{rdt}=0
αU+βerdt=1αD+βerdt=0
联立可得:
α
=
1
U
−
D
β
=
−
e
−
r
d
t
D
U
−
D
\alpha=\frac{1}{U-D}\\ \beta=\frac{-e^{-rdt}D}{U-D}
α=U−D1β=U−D−e−rdtD
带入线性关系式可得:
Π
u
=
1
U
−
D
1
S
+
−
e
−
r
d
t
D
U
−
D
1
B
=
e
r
d
t
1
S
−
D
1
B
e
r
d
t
(
U
−
D
)
Π
d
=
e
−
r
d
t
1
B
−
e
r
d
t
1
S
−
D
1
B
e
r
d
t
(
U
−
D
)
=
U
1
B
−
e
r
d
t
1
S
e
r
d
t
(
U
−
D
)
\Pi_u=\frac{1}{U-D}1_S+\frac{-e^{-rdt}D}{U-D}1_B=\frac{e^{rdt}1_S-D1_B}{e^{rdt}(U-D)}\\ \Pi_d=e^{-rdt}1_B-\frac{e^{rdt}1_S-D1_B}{e^{rdt}(U-D)}=\frac{U1_B-e^{rdt}1_S}{e^{rdt}(U-D)}
Πu=U−D11S+U−D−e−rdtD1B=erdt(U−D)erdt1S−D1BΠd=e−rdt1B−erdt(U−D)erdt1S−D1B=erdt(U−D)U1B−erdt1S
状态依赖证券的初始价值等于:
Π
=
e
r
d
t
−
D
e
r
d
t
(
U
−
D
)
≡
e
−
r
d
t
q
Π
=
U
−
e
r
d
t
e
r
d
t
(
U
−
D
)
≡
e
−
r
d
t
(
1
−
q
)
\Pi=\frac{e^{rdt}-D}{e^{rdt}(U-D)}\equiv e^{-rdt}q\\ \Pi=\frac{U-e^{rdt}}{e^{rdt}(U-D)}\equiv e^{-rdt}(1-q)
Π=erdt(U−D)erdt−D≡e−rdtqΠ=erdt(U−D)U−erdt≡e−rdt(1−q)
其中,定义:
q
=
e
r
d
t
−
D
U
−
D
1
−
q
=
U
−
e
r
d
t
U
−
D
q=\frac{e^{rdt}-D}{U-D}\\ 1-q=\frac{U-e^{rdt}}{U-D}
q=U−Derdt−D1−q=U−DU−erdt
上述约束条件说明,在风险中性条件下,股价上行和下行不存在无风险套利机会
q , 1 − q q,1-q q,1−q 不是“真实”概率,是伪概率。通常将这些伪概率称为 q q q 测度,而相对应的真实概率则称为 p p p 测度
为了更能反映本质,
q
q
q 的定义也可以写作:
q
U
+
(
1
−
q
)
D
=
e
r
d
t
q
S
e
u
+
(
1
−
q
)
S
e
d
=
S
e
r
d
t
S
=
e
−
r
d
t
[
q
S
u
+
(
1
−
q
)
S
d
]
qU+(1-q)D=e^{rdt}\\ qSe^u+(1-q)Se^d=Se^{rdt}\\ S=e^{-rdt}[qS_u+(1-q)S_d]
qU+(1−q)D=erdtqSeu+(1−q)Sed=SerdtS=e−rdt[qSu+(1−q)Sd]
因此,在
q
q
q 测度中,股票的现值等于其未来价格按照概率加权之后,用无风险利率折现后的价值
将股票 S 换成任意的衍生证券 C,同理都有:
C
=
e
−
r
d
t
[
q
C
u
+
(
1
−
q
)
C
d
]
C=e^{-rdt}[qC_u+(1-q)C_d]
C=e−rdt[qCu+(1−q)Cd]
BSM偏微分方程与二叉树模型
当
d
t
→
0
dt\to0
dt→0 时,对上式求导即可得到BSM的偏微分方程,利用之前得到的CRR公式:
u
=
σ
d
t
,
d
=
−
σ
d
t
u=\sigma\sqrt{dt},d=-\sigma\sqrt{dt}
u=σdt,d=−σdt
推导得:
q
=
e
r
d
t
−
D
U
−
D
=
e
r
d
t
−
e
−
σ
d
t
e
σ
d
t
−
e
−
σ
d
t
1
−
q
=
U
−
e
r
d
t
U
−
D
=
e
σ
d
t
−
e
r
d
t
e
σ
d
t
−
e
−
σ
d
t
q=\frac{e^{rdt}-D}{U-D}=\frac{e^{rdt}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}\\ 1-q=\frac{U-e^{rdt}}{U-D}=\frac{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{rdt}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}
q=U−Derdt−D=eσdt−e−σdterdt−e−σdt1−q=U−DU−erdt=eσdt−e−σdteσdt−erdt
带入上述与C相关的方程可得:
C
=
e
−
r
d
t
[
q
C
u
+
(
1
−
q
)
C
d
]
=
e
−
r
d
t
[
e
r
d
t
−
e
−
σ
d
t
e
σ
d
t
−
e
−
σ
d
t
C
u
+
e
σ
d
t
−
e
r
d
t
e
σ
d
t
−
e
−
σ
d
t
C
d
]
e
r
d
t
C
=
e
r
d
t
−
e
−
σ
d
t
e
σ
d
t
−
e
−
σ
d
t
C
u
+
e
σ
d
t
−
e
r
d
t
e
σ
d
t
−
e
−
σ
d
t
C
d
C=e^{-rdt}[qC_u+(1-q)C_d]=e^{-rdt}[\frac{e^{rdt}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}C_u+\frac{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{rdt}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}C_d]\\ e^{rdt}C=\frac{e^{rdt}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}C_u+\frac{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{rdt}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}C_d
C=e−rdt[qCu+(1−q)Cd]=e−rdt[eσdt−e−σdterdt−e−σdtCu+eσdt−e−σdteσdt−erdtCd]erdtC=eσdt−e−σdterdt−e−σdtCu+eσdt−e−σdteσdt−erdtCd
将
C
C
C 表示成
S
,
t
S,t
S,t 的连续函数,于是
C
=
C
(
S
,
t
)
C=C(S,t)
C=C(S,t),并且:
C
u
=
C
(
S
e
σ
d
t
,
t
+
d
t
)
C
d
=
C
(
S
e
−
σ
d
t
,
t
+
d
t
)
C_u=C(Se^{\sigma\sqrt{dt}},t+dt)\\C_d=C(Se^{-\sigma\sqrt{dt}},t+dt)
Cu=C(Seσdt,t+dt)Cd=C(Se−σdt,t+dt)
带入得:
C
=
e
−
r
d
t
[
q
C
u
+
(
1
−
q
)
C
d
]
=
e
−
r
d
t
[
q
C
(
S
e
σ
d
t
,
t
+
d
t
)
+
(
1
−
q
)
C
(
S
e
−
σ
d
t
,
t
+
d
t
)
]
e
r
d
t
C
=
q
C
(
S
e
σ
d
t
,
t
+
d
t
)
+
(
1
−
q
)
C
(
S
e
−
σ
d
t
,
t
+
d
t
)
C=e^{-rdt}[qC_u+(1-q)C_d]=e^{-rdt}[qC(Se^{\sigma\sqrt{dt}},t+dt)+(1-q)C(Se^{-\sigma\sqrt{dt}},t+dt)]\\e^{rdt}C=qC(Se^{\sigma\sqrt{dt}},t+dt)+(1-q)C(Se^{-\sigma\sqrt{dt}},t+dt)
C=e−rdt[qCu+(1−q)Cd]=e−rdt[qC(Seσdt,t+dt)+(1−q)C(Se−σdt,t+dt)]erdtC=qC(Seσdt,t+dt)+(1−q)C(Se−σdt,t+dt)
通过泰勒展开可得:
(
1
+
r
d
t
)
C
=
q
[
C
+
∂
C
∂
S
S
(
σ
d
t
+
1
2
σ
2
d
t
)
+
1
2
∂
2
C
∂
S
2
S
2
σ
2
d
t
+
∂
C
∂
t
d
t
]
+
(
1
−
q
)
[
C
+
∂
C
∂
S
S
(
−
σ
d
t
+
1
2
σ
2
d
t
)
+
1
2
∂
2
C
∂
S
2
S
2
σ
2
d
t
+
∂
C
∂
t
d
t
]
=
C
+
∂
C
∂
S
S
[
(
2
q
−
1
)
σ
d
t
+
1
2
σ
2
d
t
]
+
1
2
∂
2
C
∂
S
2
S
2
σ
2
d
t
+
∂
C
∂
t
d
t
(1+rdt)C=q[C+\frac{\partial C}{\partial S}S(\sigma\sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2dt)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2C}{\partial S^2}S^2\sigma^2dt+\frac{\partial C}{\partial t}dt]\\+(1-q)[C+\frac{\partial C}{\partial S}S(-\sigma\sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2dt)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2C}{\partial S^2}S^2\sigma^2dt+\frac{\partial C}{\partial t}dt]\\=C+\frac{\partial C}{\partial S}S[(2q-1)\sigma\sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2dt]+\frac{1}{2}\frac{\partial^2C}{\partial S^2}S^2\sigma^2dt+\frac{\partial C}{\partial t}dt
(1+rdt)C=q[C+∂S∂CS(σdt+21σ2dt)+21∂S2∂2CS2σ2dt+∂t∂Cdt]+(1−q)[C+∂S∂CS(−σdt+21σ2dt)+21∂S2∂2CS2σ2dt+∂t∂Cdt]=C+∂S∂CS[(2q−1)σdt+21σ2dt]+21∂S2∂2CS2σ2dt+∂t∂Cdt
在该式中我们需要求得
(
2
q
−
1
)
(2q-1)
(2q−1),进行如下推导:
q
=
e
r
d
t
−
e
−
σ
d
t
e
σ
d
t
−
e
−
σ
d
t
1
−
q
=
e
σ
d
t
−
e
r
d
t
e
σ
d
t
−
e
−
σ
d
t
2
q
−
1
=
e
r
d
t
−
e
−
σ
d
t
e
σ
d
t
−
e
−
σ
d
t
−
e
σ
d
t
−
e
r
d
t
e
σ
d
t
−
e
−
σ
d
t
=
e
r
d
t
−
e
−
σ
d
t
−
(
e
σ
d
t
−
e
r
d
t
)
e
σ
d
t
−
e
−
σ
d
t
=
2
e
r
d
t
−
e
−
σ
d
t
−
e
σ
d
t
e
σ
d
t
−
e
−
σ
d
t
q=\frac{e^{rdt}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}\\ 1-q=\frac{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{rdt}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}\\ 2q-1=\frac{e^{rdt}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}-\frac{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{rdt}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}\\=\frac{e^{rdt}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}-(e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{rdt})}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}\\=\frac{2e^{rdt}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}-e^{\sigma\sqrt{dt}}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}
q=eσdt−e−σdterdt−e−σdt1−q=eσdt−e−σdteσdt−erdt2q−1=eσdt−e−σdterdt−e−σdt−eσdt−e−σdteσdt−erdt=eσdt−e−σdterdt−e−σdt−(eσdt−erdt)=eσdt−e−σdt2erdt−e−σdt−eσdt
将领头阶
d
t
dt
dt 代入得:
2
q
−
1
=
2
e
r
d
t
−
e
−
σ
d
t
−
e
σ
d
t
e
σ
d
t
−
e
−
σ
d
t
≈
2
r
d
t
+
σ
d
t
−
1
2
σ
2
d
t
−
σ
d
t
−
1
2
σ
2
d
t
σ
d
t
+
1
2
σ
2
d
t
+
σ
d
t
−
1
2
σ
2
d
t
=
2
r
d
t
−
σ
2
d
t
2
σ
d
t
=
(
r
−
1
2
σ
2
)
d
t
σ
2q-1=\frac{2e^{rdt}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}-e^{\sigma\sqrt{dt}}}{e^{\sigma\sqrt{dt}}-e^{-\sigma\sqrt{dt}}}\\\approx\frac{2rdt+\sigma\sqrt{dt}-\frac{1}{2}\sigma^2dt-\sigma\sqrt{dt}-\frac{1}{2}\sigma^2dt}{\sigma\sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2dt+\sigma\sqrt{dt}-\frac{1}{2}\sigma^2dt}\\=\frac{2rdt-\sigma^2dt}{2\sigma\sqrt{dt}}\\=\frac{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)\sqrt{dt}}{\sigma}
2q−1=eσdt−e−σdt2erdt−e−σdt−eσdt≈σdt+21σ2dt+σdt−21σ2dt2rdt+σdt−21σ2dt−σdt−21σ2dt=2σdt2rdt−σ2dt=σ(r−21σ2)dt
带入之前得泰勒展开式可得:
(
1
+
r
d
t
)
C
=
C
+
∂
C
∂
S
S
[
(
2
q
−
1
)
σ
d
t
+
1
2
σ
2
d
t
]
+
1
2
∂
2
C
∂
S
2
S
2
σ
2
d
t
+
∂
C
∂
t
d
t
=
C
+
∂
C
∂
S
S
[
(
r
−
1
2
σ
2
)
d
t
σ
σ
d
t
+
1
2
σ
2
d
t
]
+
1
2
∂
2
C
∂
S
2
S
2
σ
2
d
t
+
∂
C
∂
t
d
t
=
C
+
∂
C
∂
S
S
[
(
r
−
1
2
σ
2
)
d
t
+
1
2
σ
2
d
t
]
+
1
2
∂
2
C
∂
S
2
S
2
σ
2
d
t
+
∂
C
∂
t
d
t
=
C
+
∂
C
∂
S
r
S
d
t
+
1
2
∂
2
C
∂
S
2
S
2
σ
2
d
t
+
∂
C
∂
t
d
t
(1+rdt)C=C+\frac{\partial C}{\partial S}S[(2q-1)\sigma\sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2dt]+\frac{1}{2}\frac{\partial^2C}{\partial S^2}S^2\sigma^2dt+\frac{\partial C}{\partial t}dt\\=C+\frac{\partial C}{\partial S}S[\frac{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)\sqrt{dt}}{\sigma}\sigma\sqrt{dt}+\frac{1}{2}\sigma^2dt]+\frac{1}{2}\frac{\partial^2C}{\partial S^2}S^2\sigma^2dt+\frac{\partial C}{\partial t}dt\\=C+\frac{\partial C}{\partial S}S[(r-\frac{1}{2}\sigma^2)dt+\frac{1}{2}\sigma^2dt]+\frac{1}{2}\frac{\partial^2C}{\partial S^2}S^2\sigma^2dt+\frac{\partial C}{\partial t}dt\\=C+\frac{\partial C}{\partial S}rSdt+\frac{1}{2}\frac{\partial^2C}{\partial S^2}S^2\sigma^2dt+\frac{\partial C}{\partial t}dt
(1+rdt)C=C+∂S∂CS[(2q−1)σdt+21σ2dt]+21∂S2∂2CS2σ2dt+∂t∂Cdt=C+∂S∂CS[σ(r−21σ2)dtσdt+21σ2dt]+21∂S2∂2CS2σ2dt+∂t∂Cdt=C+∂S∂CS[(r−21σ2)dt+21σ2dt]+21∂S2∂2CS2σ2dt+∂t∂Cdt=C+∂S∂CrSdt+21∂S2∂2CS2σ2dt+∂t∂Cdt
两边同除
d
t
dt
dt,可得:
C
r
=
∂
C
∂
S
r
S
+
1
2
∂
2
C
∂
S
2
S
2
σ
2
+
∂
C
∂
t
Cr=\frac{\partial C}{\partial S}rS+\frac{1}{2}\frac{\partial^2C}{\partial S^2}S^2\sigma^2+\frac{\partial C}{\partial t}
Cr=∂S∂CrS+21∂S2∂2CS2σ2+∂t∂C
上式即为BSM偏微分方程。
BSM模型的扩展
基本案例:股息率和无风险利率都等于0,计价单位为无风险债券
在该种情况下,对于标准欧式看涨期权,BSM价格为:
C
(
S
,
K
,
v
)
=
S
N
(
d
1
)
−
K
N
(
d
2
)
d
1
,
2
=
1
v
ln
(
S
K
)
±
v
2
C(S,K,v)=SN(d_1)-KN(d_2)\\ d_{1,2}=\frac{1}{v}\ln(\frac{S}{K})\pm\frac{v}{2}
C(S,K,v)=SN(d1)−KN(d2)d1,2=v1ln(KS)±2v
其中
v
=
σ
τ
v=\sigma\sqrt{\tau}
v=στ,
τ
\tau
τ 表示到期时间
上式包含了两个证券,即股票和债券。下面我们用债券的价格给股票和看涨期权报价——即将债券价格看作货币或者计价单位
令
C
B
=
C
/
B
,
S
B
=
S
/
B
C_B=C/B,S_B=S/B
CB=C/B,SB=S/B,相当于用一单位无风险债券给证券报价。若无风险利率=0,则该无风险债券的现值及未来价值都等于面值,且
B
=
K
,
B
B
=
1
B=K,B_B=1
B=K,BB=1。可以将上式改写为:
C
B
(
S
B
,
v
)
=
S
B
N
(
d
1
)
−
N
(
d
2
)
d
1
,
2
=
1
v
ln
(
S
B
)
±
v
2
C_B(S_B,v)=S_BN(d_1)-N(d_2)\\ d_{1,2}=\frac{1}{v}\ln(S_B)\pm\frac{v}{2}
CB(SB,v)=SBN(d1)−N(d2)d1,2=v1ln(SB)±2v
C
B
,
S
B
C_B,S_B
CB,SB 不再用美元、欧元或者任何其他一种货币来计价,而是以无风险债券作为计价单位
模型扩展:利率不等于0
此时债券按无风险利率增长,有 d B = r B d t dB=rBdt dB=rBdt,债券价格随时间变化而变化。若债券面值= K K K,距离到期日 τ \tau τ,则债券价格 B = K e − r τ B=Ke^{-r\tau} B=Ke−rτ
同样的,以债券现值
B
B
B 为计价单位,有:
B
B
=
1
,
S
B
=
S
/
B
=
e
r
τ
S
/
K
B_B=1,S_B=S/B=e^{r\tau}S/K
BB=1,SB=S/B=erτS/K
已知:
C
B
(
S
B
,
v
,
r
,
τ
)
=
S
B
N
(
d
1
)
−
N
(
d
2
)
d
1
,
2
=
1
v
ln
(
S
B
)
±
v
2
C_B(S_B,v,r,\tau)=S_BN(d_1)-N(d_2)\\ d_{1,2}=\frac{1}{v}\ln(S_B)\pm\frac{v}{2}
CB(SB,v,r,τ)=SBN(d1)−N(d2)d1,2=v1ln(SB)±2v
上述等式乘以债券当前价值:
B
=
K
e
−
r
τ
B=Ke^{-r\tau}
B=Ke−rτ,可得:
C
(
S
,
K
,
σ
,
r
,
τ
)
=
S
N
(
d
1
)
−
K
e
−
r
τ
N
(
d
2
)
d
1
,
2
=
1
v
[
ln
(
S
e
r
τ
K
)
±
v
2
2
]
,
v
=
σ
τ
C(S,K,\sigma,r,\tau)=SN(d_1)-Ke^{-r\tau}N(d_2)\\ d_{1,2}=\frac{1}{v}[\ln(\frac{Se^{r\tau}}{K})\pm\frac{v^2}{2}],v=\sigma\sqrt{\tau}
C(S,K,σ,r,τ)=SN(d1)−Ke−rτN(d2)d1,2=v1[ln(KSerτ)±2v2],v=στ
上述式子即为标准的BSM公式
当无风险利率 ≠ \neq = 0时,股票的相对波动率就是以债券价格为计价单位的股价波动率。而如果利率是一个随机变量,那么 B B B 也是一个随机变量
模型扩展:股票支付连续股利,且股息率已知
假设一只股票股息率为
b
b
b,按每一单位时间支付。相当于在银行储蓄1美元,而银行按照自己的计价货币支付连续利息
r
r
r,到到期日时,1美元会增长至
e
b
τ
e^{b\tau}
ebτ 美元,而我们将股息再投资买人股票,那么最终会得到
e
b
τ
e^{b\tau}
ebτ 份股票。1份股票为标的资产的欧式看涨期权在到期日的损益为
max
[
S
T
−
K
,
0
]
\max[S_T-K,0]
max[ST−K,0],要想获得这一期权,你可以在今天买入以
e
−
b
τ
e^{-b\tau}
e−bτ 份股票为标的资产的期权,这些股票初始价值为
S
e
−
b
τ
Se^{-b\tau}
Se−bτ,但是由于进行了再投资,在到期之日这些股票的价值就等于
S
T
S_T
ST。因此,你可以将式:
C
(
S
,
K
,
σ
,
r
,
τ
)
=
S
N
(
d
1
)
−
K
e
−
r
τ
N
(
d
2
)
d
1
,
2
=
1
v
[
ln
(
S
e
r
τ
K
)
±
v
2
2
]
,
v
=
σ
τ
C(S,K,\sigma,r,\tau)=SN(d_1)-Ke^{-r\tau}N(d_2)\\ d_{1,2}=\frac{1}{v}[\ln(\frac{Se^{r\tau}}{K})\pm\frac{v^2}{2}],v=\sigma\sqrt{\tau}
C(S,K,σ,r,τ)=SN(d1)−Ke−rτN(d2)d1,2=v1[ln(KSerτ)±2v2],v=στ
中的
S
S
S 替换成为
S
e
−
b
τ
Se^{-b\tau}
Se−bτ:
C
(
S
,
K
,
σ
,
r
,
τ
)
=
S
e
−
b
τ
N
(
d
1
)
−
K
e
−
r
τ
N
(
d
2
)
d
1
,
2
=
1
v
[
ln
(
S
e
(
r
−
b
)
τ
K
)
±
v
2
2
]
,
v
=
σ
τ
C(S,K,\sigma,r,\tau)=Se^{-b\tau}N(d_1)-Ke^{-r\tau}N(d_2)\\ d_{1,2}=\frac{1}{v}[\ln(\frac{Se^{(r-b)\tau}}{K})\pm\frac{v^2}{2}],v=\sigma\sqrt{\tau}
C(S,K,σ,r,τ)=Se−bτN(d1)−Ke−rτN(d2)d1,2=v1[ln(KSe(r−b)τ)±2v2],v=στ
二叉树:若股息率=
b
b
b,那么
e
−
b
(
d
t
)
e^{-b(dt)}
e−b(dt) 份价格为
S
S
S 的股票在
d
t
dt
dt 时间后会增长成1份股票,价格等于
S
u
S_u
Su 或
S
d
S_d
Sd,如图所示:
假设无风险利率为
r
r
r,根据定义,
q
q
q 测度需要考虑股票的总回报,既包括股利支付,也包括到期日的股票价值。对
d
t
dt
dt 时间段后预期股价的约束条件为:
q
S
u
+
(
1
−
q
)
S
d
=
e
r
d
t
(
S
e
−
b
d
t
)
=
S
e
(
r
−
b
)
d
t
≡
F
qS_u+(1-q)S_d=e^{rdt}(Se^{-bdt})=Se^{(r-b)dt}\equiv F
qSu+(1−q)Sd=erdt(Se−bdt)=Se(r−b)dt≡F
其中
F
F
F 表示前瞻股价,其中包括了支付的股利
风险中性下的
q
q
q 测度就可以表示为:
q
=
F
−
S
d
S
u
−
S
d
q=\frac{F-S_d}{S_u-S_d}
q=Su−SdF−Sd
期权不支付股利,因此它们的预期损益仍然按照无风险利率进行折现:
q
C
u
+
(
1
−
q
)
C
d
=
C
e
r
d
t
qC_u+(1-q)C_d=Ce^{rdt}
qCu+(1−q)Cd=Cerdt
时间依赖下的波动率:波动率微笑有期限结构但没有斜度
改变波动率的假设。现在,假设未来股票的回报波动率时一个与时间
t
t
t 相关的函数,则股价变动就可以描述为:
d
S
S
=
μ
d
t
+
σ
(
t
)
d
Z
\frac{dS}{S}=\mu dt+\sigma(t)dZ
SdS=μdt+σ(t)dZ
假设建立CRR二叉树模型,阶段1波动率=
σ
1
\sigma_1
σ1,阶段2波动率=
σ
2
\sigma_2
σ2,如果每个阶段的时间间隔
d
t
dt
dt 是相等的,除非
σ
1
=
σ
2
\sigma_1=\sigma_2
σ1=σ2,即
σ
(
t
)
\sigma(t)
σ(t) 保持不变,否则这个二叉树模型将不是“封闭”的
要使得二叉树模型封闭,只需改变不同节点之间的时间间隔:
S
e
σ
1
d
t
1
−
σ
2
d
t
2
=
S
e
−
σ
1
d
t
1
+
σ
2
d
t
2
→
σ
1
d
t
1
=
σ
2
d
t
2
Se^{\sigma_1\sqrt{dt_1}-\sigma_2\sqrt{dt_2}}=Se^{-\sigma_1\sqrt{dt_1}+\sigma_2\sqrt{dt_2}}\\ \to\sigma_1\sqrt{dt_1}=\sigma_2\sqrt{dt_2}
Seσ1dt1−σ2dt2=Se−σ1dt1+σ2dt2→σ1dt1=σ2dt2
我们需要的是不同阶段的总波动率相等,即
σ
i
d
t
i
\sigma_i\sqrt{dt_i}
σidti 保持不变
总的来说,对于确定到期期限
T
T
T 和已知波动率序列
σ
i
\sigma_i
σi,有:
σ
1
d
t
1
=
σ
i
d
t
i
→
d
t
i
d
t
1
=
σ
1
2
σ
i
2
\sigma_1\sqrt{dt_1}=\sigma_i\sqrt{dt_i}\\ \to\frac{dt_i}{dt_1}=\frac{\sigma_1^2}{\sigma_i^2}
σ1dt1=σidti→dt1dti=σi2σ12
所以可以得到:
T
=
∑
i
=
1
N
d
t
i
=
d
t
1
∑
i
=
1
N
d
t
i
d
t
1
=
d
t
1
∑
i
=
1
N
σ
1
2
σ
i
2
T=\sum_{i=1}^Ndt_i=dt_1\sum_{i=1}^N\frac{dt_i}{dt_1}=dt_1\sum_{i=1}^N\frac{\sigma_1^2}{\sigma_i^2}
T=i=1∑Ndti=dt1i=1∑Ndt1dti=dt1i=1∑Nσi2σ12
覆盖至到期日需要多少个时间间隔,可以通过解上述方程求得
N
N
N。
关于时间依赖波动率,还有一点需要注意:每一时间阶段内的二项无套利概率
q
q
q 并不需要保持不变,可以随着时间的变化而变化,将
d
t
dt
dt 用
d
t
i
dt_i
dti 代替可得:
q
i
=
e
r
d
t
i
−
e
−
σ
i
d
t
i
e
σ
i
d
t
i
−
e
−
σ
i
d
t
i
1
−
q
i
=
e
σ
i
d
t
i
−
e
r
d
t
i
e
σ
i
d
t
i
−
e
−
σ
i
d
t
i
q_i=\frac{e^{rdt_i}-e^{-\sigma_i\sqrt{dt_i}}}{e^{\sigma_i\sqrt{dt_i}}-e^{-\sigma_i\sqrt{dt_i}}}\\ 1-q_i=\frac{e^{\sigma_i\sqrt{dt_i}}-e^{rdt_i}}{e^{\sigma_i\sqrt{dt_i}}-e^{-\sigma_i\sqrt{dt_i}}}
qi=eσidti−e−σidtierdti−e−σidti1−qi=eσidti−e−σidtieσidti−erdti
欧式期权的价值取决于标的股票价格在到期日的分布情况,在到期日前股价的变动路径并不重要。换句话说,唯一重要就是股票在期权有效期内的总方差,总方差等于每个阶段方差的和:
(
T
−
t
)
σ
T
o
t
a
l
2
=
∑
i
=
1
N
σ
i
2
d
t
(T-t)\sigma^2_{Total}=\sum_{i=1}^N\sigma_i^2dt
(T−t)σTotal2=i=1∑Nσi2dt
其中年化方差
σ
T
o
t
a
l
2
\sigma_{Total}^2
σTotal2 是每阶段方差按照时间加权之后的平均值,且对于欧式期权,阶段波动率的先后顺序并不重要(对于美式期权,阶段波动率的顺序很重要)
在极限条件下,对于一个连续波动率过程
σ
(
t
)
\sigma(t)
σ(t),通过二叉树模型计算的欧式期权价值,将会收敛成为 BSM 公式,对应的隐含波动率
∑
(
t
,
T
)
\sum(t,T)
∑(t,T) 满足:
∑
2
(
t
,
T
)
=
1
T
−
t
∫
t
T
σ
2
(
s
)
d
s
{\sum}^2(t,T)=\frac{1}{T-t}\int_t^T\sigma^2(s)ds
∑2(t,T)=T−t1∫tTσ2(s)ds
其中
σ
(
t
)
\sigma(t)
σ(t) 表示标的资产的前瞻波动率。若知道了隐含波动率的期限结构,即可根据上式倒推出与隐含波动率相应的前瞻波动率。
相类似的,给定连续复利下零息债券无风险收益率
Y
(
t
,
T
)
Y(t,T)
Y(t,T) 的期限结构,在连续极限中,二叉树模型里面,未来每个时间段相对应的远期(前瞻)无风险利率
r
(
t
)
r(t)
r(t),都可以用下面的等式计算而得:
Y
(
t
,
T
)
=
1
T
−
t
∫
t
T
r
(
s
)
d
s
Y(t,T)=\frac{1}{T-t}\int_t^Tr(s)ds
Y(t,T)=T−t1∫tTr(s)ds