单位冲激函数与单位阶跃函数

news2024/11/26 9:51:07

目录

单位阶跃函数

单位冲激函数

狄拉克定义:

冲激函数的性质

对时间的积分等于单位阶跃函数

筛分性质

尺度特性

冲击偶的定义:单位冲击函数的导数

各阶导数

离散的阶跃信号与冲激信号

(1)阶跃信号,其定义为:

(2)冲激信号,其定义为:

冲激信号与阶跃信号的关系为:

筛分性质:


本节主要介绍另外两个基本信号,在连续时间和离散时间情况下的单位阶跃和单位冲激函数,在信号与系统的分析中很重要。

单位阶跃函数

值得注意的是单位阶跃在t=0这一点是不连续的。 

 

单位冲激函数

狄拉克定义:

 以及\int _{-\infty}^{\infty}\delta (t)dt=1

同理:

 

冲激函数的性质

对时间的积分等于单位阶跃函数

u(t)=\int _{-\infty}^{t}\delta (t)dt=\int _{0}^{\infty}\delta (t-\sigma )d\sigma

连续时间单位冲激可看作连续时间单位阶跃的一次微分 

\frac{du(t)}{dt}=\delta (t)

筛分性质

x(t)\delta (t)=x(0)\delta (t)

x(t)\delta (t-t_{0})=x(t_{0})\delta (t-t_{0})

以及

 可以看看下面的三个例题:

尺度特性

\delta (at)=\frac{1}{\left | a \right |}\delta (t)

冲击偶的定义:单位冲击函数的导数

\frac{d\delta (t)}{dt}=\delta '(t)=u_{1}(t)

\delta (t)各阶导数

\int _{-\infty}^{\infty}x(t)\delta ^{n}(t)dt=\left (-1 \right )^{n}x^{n}\left ( 0 \right )

离散的阶跃信号与冲激信号

(1)阶跃信号,其定义为:

(2)冲激信号,其定义为:

冲激信号与阶跃信号的关系为:

离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃的一次差分,相反,离散时间阶跃是单位样本的求和函数。 

筛分性质:

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