电子技术——CMOS 逻辑门电路

在本节我们介绍如何使用CMOS电路实现组合逻辑函数。在组合电路中，电路是瞬时发生的，也就是电路的输出之和当前的输入有关，并且电路是无记忆的也没有反馈。组合电路被大量的使用在当今的数字逻辑系统中。

晶体管的开关模型

CMOS数字电路使用NMOS和PMOS晶体管作为开关使用。之前，我们知道，MOS可以工作在三极管区（相当于开关闭合），也可工作在截止区（相当于开关断开）。

特别的，当一个NMOS作为闭合的开关的时候，此时栅极电压处于高电压，相当于一个从漏极到源极直接相当小的一个电阻 $R_{on}$ 或 $r_{DS}$ ，通常处在高电压 $V_{DD}$ 状态，表示逻辑1。相反，当栅极为低电压的时候，此时MOS截止，表示逻辑0，没有电流流过MOS，如图：

而PMOS则工作在相反的状态，栅极高电压，MOS管截止，栅极低电压，MOS管导通，如图：

我们观察到MOS管的栅极通常是逻辑控制输入节点，通常作为逻辑门的输入端。

CMOS反相器

在了解MOS开关的工作方式之后，先让我们制作一个反相器。正如其名，反相器可以逆转输入的逻辑，即输入0输出1，反之亦然。因此该功能可以使用布尔函数表示为：

$$Y=\overline{X}$$

其抽象电路模型和实现电路如图所示：

它由一对CMOS组成，栅极相连，作为输入端 $X$ ，漏极相连作为输出端 $Y$ 。当 $X=1$ 的时候，即 $V_X=V_{DD}$ ，此时PMOS截止，而NMOS导通，输出 $Y=0$ 。当 $X=0$ 的时候，PMOS导通而NMOS截止，此时输出 $Y=1$ 。

CMOS逻辑门的一般结构

由上面的反相器我们能总结出CMOS逻辑门的一般结构，反相器由一个NMOS 下拉晶体管 和一个PMOS 上拉晶体管 组成。CMOS逻辑门由两个网络组成：一是 下拉网络PDN 由NMOS组成 ，二是 上拉网络PUN 由PMOS组成。如图：

这两个网络都受到输入变量的控制，做出相反的行为，上图是一个三变量输入的逻辑门，当输入变量满足PDN条件的时候，此时PDN网络导通，而PUN网络截止，输出 $Y=0$ ，反之亦然。

因此，我们可以根据不同的PDN和PUN的实现，来实现与门、或门等一些基本的门电路，下图是一些PDN网络的例子：

在图(a)我们发现当 $A=1$ 的时候， $Q_A$ 导通此时 $Y=0$ ，同样的对于 $B=1$ ，$Q_B$ 导通此时 $Y=0$ ，因此图(a)是一个或门的PDN实现，可以表示为：

$$\overline{Y}=A+B$$

或是：

$$Y=\overline{A+B}$$

图(b)必须两个NMOS全部导通才能输出，是一个与门结构，可以表示为：

$$\overline{Y}=AB$$

或是：

$$Y=\overline{AB}$$

最后一个例子图©是一个组合逻辑，可以表示为：

$$\overline{Y}=A+BC$$

或者等效于：

$$Y=\overline{A+BC}$$

接下来我们考虑一些PUN的一些例子，如图：

图(a)当 $A=0$ 或是 $B=0$ 的时候输出 $Y=1$ 表示为：

$$Y=\overline{A}+\overline{B}$$

图(b)当 $A=0$ 并且 $B=0$ 的时候导通，表示为：

$$Y=\overline{A}\overline{B}$$

而图©表示为：

$$Y=\overline{A}+\overline{B}\overline{C}$$

在学习完PDN和PUN理论之后，我们就可以准备搭建我们的门电路了。首先，为了方便，我们不再使用模拟电路中的MOS符号，而是使用一种更加方便的数字电路MOS表示符号，如图：

上图中左边的符号是模拟MOS表示，而右边是数字MOS表示，对于PMOS我们发现在栅极的地方有一个小圈，这表示当输入是低电压的时候才导通。除此之外，数字MOS忽略了漏极栅极之分。

或非门NOR电路

首先我们考虑一个CMOS的或非门电路：

$$Y=\overline{A+B}=\overline{A}\overline{B}$$

等式中间给出了PDN实现，等式右边给出了PUN实现，将两个实现组合在一起，我们得到：

与非门NAND电路

与非门电路可以表示为：

$$Y=\overline{AB}=\overline{A}+\overline{B}$$

等式中间给出了PDN实现，等式右边给出了PUN实现，将两个实现组合在一起，我们得到：

一个更复杂的门电路

考虑下面的组合布尔表达式：

$$Y=\overline{A(B+CD)}$$

因为PDN是整体反相，因此可以直接给出PDN实现，对于PUN则是变量反相，可以通过德·摩根定律展开表达式：

$$Y=\overline{A}+\overline{B}(\overline{C}+\overline{D})$$

给出实现：

需要注意的是，有时候并不总是可以通过对偶律来获得两个网络的实现。对于以上情况，需要更加复杂的布尔逻辑推导。

异或门XOR电路

另一个重要的逻辑电路是异或门电路，表示为：

$$Y=A\overline{B}+\overline{A}B$$

我们观察到给出 $Y$ 我们可以先考虑PUN，但不幸的是，表达式不是由每个变量的反相值构成，因此我们需要额外的反相器，如图的PUN：

如上图，左边的 $\overline{A}$ 和右边的 $\overline{B}$ 都需要先反相才能输入到PUN中，因此需要额外的两个反相器，对于PDN，通过对偶变换可以得到：

$$\overline{Y}=AB+\overline{A}\overline{B}$$

对应的PDN实现为：

同样需要两个额外的反相器。则此异或门电路总共需要12个晶体管。

有趣的是，上图中两个PDN和PUN网络不是对偶网络，实际上，PDN和PUN网络对偶并不是必要条件。

总结

1. PDN网络可以通过关于非互补变量的 $\overline{Y}$ 的表达式得到，若表达式中存在互补变量，需要额外的输入反相器。
2. PUN网络可以通过关于互补变量的 $Y$ 的表达式得到，若表达式中存在非互补变量，需要额外的输入反相器。
3. PDN网络可以将PUD网络进行对偶得到，反之亦然。