教材为数据库系统概论第五版（王珊）
这一章前面部分基本概念比较多，但学会对后面的学习有很大帮助。基本出题方向就是关于关系数据库的一些概念（比较多），然后计算题基本必考关系代数，一些基本的问题通用的公式就是两个表连接后进行运算（涉及两个表以上），最难的情况就是考除法

2.1 关系数据结构及形式化定义

2.1.1 关系

• 单一的数据结构----关系

  • 现实世界的实体以及实体间的各种联系均用关系来表示

• 逻辑结构----二维表

  • 从用户角度，关系模型中数据的逻辑结构是一张二维表

• 建立在集合代数的基础上

⒈. 域（Domain）

域是一组具有相同数据类型的值的集合。例如：

• 整数
• 实数
• 介于某个取值范围的整数
• 指定长度的字符串集合
• {‘男’，‘女’}

2. 笛卡尔积（Cartesian Product）

定义：

给定一组域D₁，D₂，…，D_n，这些域中可以有相同的。

D₁，D₂，…，D_n的笛卡尔积为：
$$D1\times D2\times \dots \times Dn＝｛（d1，d2，\dots ，dn）｜d_i\in D_i，i＝1，2，\dots ，n｝$$

• 所有域的所有取值的一个组合

• 不能重复

• 元组（Tuple）

  • 笛卡尔积中每一个元素（d1，d2，…，dn）叫作一个n元组（n-tuple）或简称元组(Tuple)
  • 例如(张清玫，计算机专业，李勇)、(张清玫，计算机专业，刘晨)等都是元组

• 分量（Component）

  • 笛卡尔积元素（d1，d2，…，dn）中的每一个值d_i叫作一个分量
  • 张清玫、计算机专业、李勇、刘晨等都是分量

• 基数（Cardinal number）(元组数量)

  • 若Di（i＝1，2，…，n）为有限集，其基数为mi（i＝1，2，…，n），则D1×D2×…×Dn的基数M为：

  $$M=\prod _{i=1}^n{m}_i$$

• 笛卡尔积的表示方法

  • 笛卡尔积可表示为一个二维表
  • 表中的每行对应一个元组，表中的每列对应一个域

3. 关系（Relation）

1. 关系:

D1×D2×…×Dn的子集叫作在域D1，D2，…，Dn上的关系，表示为:R（D1，D2，…，Dn）

• R：关系名
• n：关系的目或度（Degree）

2. 元组:
   关系中的每个元素是关系中的元组，通常用t表示。

3. 单元关系与二元关系

• 当n=1时，称该关系为单元关系（Unary relation）或一元关系
• 当n=2时，称该关系为二元关系（Binary relation）

4. 关系的表示
   关系也是一个二维表，表的每行对应一个元组，表的每列对应一个域

例如：SAP关系

SUPERVISOR	SPECIALITY	POSTGRADUATE
张清玫	信息专业	李勇
张清玫	信息专业	刘晨
刘逸	信息专业	王敏

5)属性

• 关系中不同列可以对应相同的域
• 为了加以区分，必须对每列起一个名字，称为属性（Attribute）
• n目关系必有n个属性

6. 码

• 候选码（Candidate key）

  • 若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，则称该属性组为候选码
  • 简单的情况：候选码只包含一个属性
  • 举例：一个学生记录关系中有学生的学号，姓名和身份证号的信息，学号和身份证号都可以唯一标识一名学生，故两个属性都可以作为候选码

• 全码（All-key）

  • 最极端的情况：关系模式的所有属性组是这个关系模式的候选码，称为全码（All-key）
  • 举例：一个选课记录关系，只包含学生学号和课程号，只知道学号或课程号无法唯一确定一条选课记录，只有同时知道两个属性才可以唯一标识某一记录，故两个属性合起来叫做全码

• 主码（Primary key）

  • 若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码
  • 举例:同上面候选码例子，从学号或身份证号选一个属性作为主码

• 主属性（Prime attribute）

  • 候选码的诸属性称为主属性
  • 举例：身份证和学号都是主属性

• 非主属性（ Non-Prime attribute）

  • 不包含在任何侯选码中的属性
  • 举例：年龄，性别，姓名都是非主属性

关系举例:

说明：并不是每个笛卡尔积都有意义

关系：SAP(SUPERVISOR，SPECIALITY，POSTGRADUATE)

假设：导师与专业：1:1， 导师与研究生：1:n

主码：POSTGRADUATE（假设研究生不会重名）

SAP关系可以包含三个元组

｛(张清玫，计算机专业，李勇)，(张清玫，计算机专业，刘晨)，(刘逸，信息专业，王敏)}

7. 三类关系

• 基本关系（基本表或基表）
  • 实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示
• 查询表
  • 查询结果对应的表
• 视图表
  • 由基本表或其他视图表导出的表，是虚表，不对应实际存储的数据

8)基本关系的性质

• 列是同质的（Homogeneous）

• 不同的列可出自同一个域

• 其中的每一列称为一个属性

• 不同的属性要给予不同的属性名

• 列的顺序无所谓，列的次序可以任意交换

• 任意两个元组的候选码不能相同

• 行的顺序无所谓，行的次序可以任意交换

• 分量必须取原子值，这是规范条件中最基本的一条

• 如下列拆分单元格的形式就不是关系表

2.1.2 关系模式

1．什么是关系模式

• 关系模式（Relation Schema）是型
• 关系是值
• 关系模式是对关系的描述
  • 元组集合的结构
    • 属性构成
    • 属性来自的域
    • 属性与域之间的映象关系
  • 元组语义以及完整性约束条件
  • 属性间的数据依赖关系集合

2．定义关系模式

关系模式可以形式化地表示为：R（U，D，DOM，F）

• R 关系名
• U 组成该关系的属性名集合
• D 属性组U中属性所来自的域
• DOM 属性向域的映象集合
• F 属性间的数据依赖关系集合

举例：

导师和研究生出自同一个域——人，取不同的属性名，并在模式中定义属性向域的映象，即说明它们分别出自哪个域：
DOM（SUPERVISOR-PERSON）= DOM（POSTGRADUATE-PERSON）=PERSON

3. 关系模式与关系

• 关系模式

  • 对关系的描述
  • 静态的、稳定的

• 关系

  • 关系模式在某一时刻的状态或内容
  • 动态的、随时间不断变化的

• 关系模式和关系往往统称为关系

  通过上下文加以区别

2.1.3 关系数据库

1. 关系数据库

在一个给定的应用领域中，所有关系的集合构成一个关系数据库

2. 关系数据库的型与值

• 关系数据库的型: 关系数据库模式，对关系数据库的描述。

• 关系数据库模式包括

  • 若干域的定义
  • 在这些域上定义的若干关系模式

• 关系数据库的值: 关系模式在某一时刻对应的关系的集合，简称为关系数据库

2.1.4 关系模型的存储模式

• 有的关系数据库管理系统中一个表对应一个操作系统文件，将物理数据组织交给操作系统完成。
• 有的关系数据库管理系统从操作系统那里申请若干个大的文件，自己划分文件空间，组织表、索引等存储结构，并进行存储管理。

2.2 关系操作

2.2.1 基本关系操作

常用的关系操作

• 查询：选择、投影、连接、除、并、交、差
• 数据更新：插入、删除、修改
• 查询的表达能力是其中最主要的部分
• 选择、投影、并、差、笛卡尔积是5种基本操作

关系操作的特点

• 集合操作方式：操作的对象和结果都是集合，一次一集合的方式

2.2.2 关系数据库语言的分类

• 关系代数语言
  • 用对关系的运算来表达查询要求
  • 代表：ISBL
• 关系演算语言：用谓词来表达查询要求
  • 元组关系演算语言
    • 谓词变元的基本对象是元组变量
    • 代表：APLHA, QUEL
  • 域关系演算语言
    • 谓词变元的基本对象是域变量
    • 代表：QBE
• 具有关系代数和关系演算双重特点的语言
  • 代表：SQL（Structured Query Language）

2.3 关系的完整性

2.3.1 关系的三类完整性约束

• 实体完整性和参照完整性：

  • 关系模型必须满足的完整性约束条件
  • 称为关系的两个不变性，应该由关系系统自动支持

• 用户定义的完整性：

  • 应用领域需要遵循的约束条件，体现了具体领域中的语义约束

2.3.2 实体完整性

实体完整性规则（Entity Integrity）：若属性A是基本关系R的主属性，则属性A不能取空值（空值就是“不知道”，“不存在”或“无意义”的值）

举例：关系SAP(SUPERVISOR，SPECIALITY，POSTGRADUATE)

POSTGRADUATE：主码（假设研究生不会重名）不能取空值

实体完整性规则的说明

(1) 实体完整性规则是针对基本关系而言的。一个基本表通常对应现实世界的一个实体集。

(2) 现实世界中的实体是可区分的，即它们具有某种唯一性标识。

(3) 关系模型中以主码作为唯一性标识。

(4) 主码中的属性即主属性不能取空值。主属性取空值，就说明存在某个不可标识的实体，即存在不可区分的实体，这与第（2）点相矛盾，因此这个规则称为实体完整性

举例：选修（学号，课程号，成绩）

“学号，课程号”合在一起称为主码，两个属性都是主属性，故学号和课程号都不能为空值

2.3.3 参照完整性

1. 关系间的引用

在关系模型中实体及实体间的联系都是用关系来描述的，因此可能存在着关系与关系间的引用。

三个例子：

例1 学生实体、专业实体

学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）专业（专业号，专业名）

• 学生关系引用了专业关系的主码“专业号”。
• 学生关系中的“专业号”值必须是确实存在的专业的专业号 ，即专业

例2 学生、课程、学生与课程之间的多对多联系

学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）
课程（课程号，课程名，学分）
选修（学号，课程号，成绩）

• 选修关系引用了学生关系的主码“学号”。
• 选修关系引用了课程关系的主码“课程号”。

例3 学生实体及其内部的一对多联系

学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）

“学号”是主码，“班长”是外码，它引用了本关系的“学号” ，“班长” 必须是确实存在的学生的学号

2．外码（Foreign Key）

• 设F是基本关系R的一个或一组属性，但不是关系R的码。如果F与基本关系S的主码Ks相对应，则称F是基本关系R的外码
• 基本关系R称为参照关系（Referencing Relation）
• 基本关系S称为被参照关系（Referenced Relation）或目标关系（Target Relation）

举例：

例1 学生实体、专业实体

学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）专业（专业号，专业名）

• “专业号”属性是学生关系的外码

• 专业关系是被参照关系，学生关系为参照关系

例2 学生、课程、学生与课程之间的多对多联系

学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）
课程（课程号，课程名，学分）
选修（学号，课程号，成绩）

• “学号”和“课程号”是选修关系的外码
• 学生关系和课程关系均为被参照关系

例3 学生实体及其内部的一对多联系

学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）

• “班长”是外码
• 学生关系既是参照关系也是被参照关系

说明：

• 关系R和S不一定是不同的关系
• 目标关系S的主码Ks 和参照关系的外码F必须定义在同一个（或一组）域上
• 外码并不一定要与相应的主码同名。当外码与相应的主码属于不同关系时，往往取相同的名字，以便于识别

3. 参照完整性规则

• 若属性（或属性组）F是基本关系R的外码它与基本关系S的主码Ks相对应（基本关系R和S不一定是不同的关系），则对于R中每个元组在F上的值必须为：
  • 或者取空值（F的每个属性值均为空值）
  • 或者等于S中某个元组的主码值

举例：

例1 学生实体、专业实体

学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）专业（专业号，专业名）

学生关系中每个元组的“专业号”属性只取两类值：

• （1）空值，表示尚未给该学生分配专业
• （2）非空值，这时该值必须是专业关系中某个元组的“专业号”值，表示该学生不可能分配一个不存在的专业

例2 选修（学号，课程号，成绩）

“学号”和“课程号”可能的取值 ：

• （1）选修关系中的主属性，不能取空值
• （2）只能取相应被参照关系中已经存在的主码值

例3 学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）

“班长”属性值可以取两类值：

• （1）空值，表示该学生所在班级尚未选出班长
• （2）非空值，该值必须是本关系中某个元组的学号值

2.3.4 用户定义的完整性

• 针对某一具体关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求
• 关系模型应提供定义和检验这类完整性的机制，以便用统一的系统的方法处理它们，而不要由应用程序承担这一功能

举例：课程(课程号，课程名，学分)

• “课程号”属性必须取唯一值
• 非主属性“课程名”也不能取空值
• “学分”属性只能取值{1，2，3，4}（用户定义）

2.4 关系代数

• 关系代数是一种抽象的查询语言，是对关系的运算来表达查询。
• 关系代数的运算对象是关系，运算结果也是关系。
• 关系代数按运算符的不同可分为传统的集合运算和专门的关系运算两类
  • 集合运算是从关系的水平方向即行的角度进行。
  • 专门的关系运算不仅涉及行而且涉及列。

2.4.1 传统的集合运算

1. 并（Union）

   关系R和S具有相同的目n（即两个关系都有n个属性），相应的属性取自同一个域

   R和S的并运算表示为R∪S ：
   R ∪ S = { t ∣ t ∈ R ∨ t ∈ S } R∪S = \lbrace t|t ∈R∨t ∈S \rbrace R∪S={t∣t∈R∨t∈S}
   运算结果仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成

   

   如图，除去重复的元组

2. 差（Difference）

关系R和S具有相同的目n，相应的属性取自同一个域

R和S的差表示为R-S ：
R − S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∉ S } R -S = \lbrace t|t∈R∧t∉S \rbrace R−S={t∣t∈R∧t∈/S}
运算结果仍为n目关系,由属于R而不属于S的所有元组组成

3. 交（Intersection）

关系R和S具有相同的目n，相应的属性取自同一个域

R和S的交表示为R∩S ：
R ∩ S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∈ S } R ∩ S = R – ( R − S ） R∩S =\lbrace t|t ∈ R∧t ∈S \rbrace \\ R∩S = R –(R-S） R∩S={t∣t∈R∧t∈S}R∩S=R–(R−S）
运算结果仍为n目关系,由既属于R又属于S的元组组成

4. 笛卡尔积（Cartesian Product）

R: n目关系，k1个元组
S: m目关系，k2个元组

R和S的笛卡尔积表示为R×S ：
R × S = { t r t s ^ ∣ t r ∈ R ∧ t s ∈ S } R×S = \lbrace \widehat{t_r t_s} |t_r ∈R ∧ t_s∈S \rbrace R×S={tr​ts​ ​∣tr​∈R∧ts​∈S}
运算结果为：

• 行：k1×k2个元组
• 列：（n+m）列元组的集合
  • 元组的前n列是关系R的一个元组
  • 后m列是关系S的一个元组

2.4.2 专门的关系运算

关系运算包括:选择、投影、连接、除运算。

相关记号说明:

• R，t∈R，t[A_i]设关系模式为R(A₁，A₂，…，A_n)，它的一个关系设为R，t∈R表示t是R的一个元组，t[A_i]则表示元组t中相应于属性A_i的一个分量

• 若A={A_i1，A_i2，…，A_ik}，其中A_i1，A_i2，…，A_ik是A₁，A₂，…，A_n中的一部分，则A称为属性列或属性组。

  t[A]=(t[A_i1]，t[A_i2]，…，t[A_ik])表示元组t在属性列A上诸分量的集合。
  $$\bar{A}则表示A1，A2，\dots ，An中去掉Ai1，Ai2，\dots ，Aik后剩余的属性组。$$

• R为n目关系，S为m目关系。
  $$t_r\in R，t_s\in S，t_r{t}_s称为元组的连接。$$

  $$\widehat{t_r{t}_s}是一个n+m列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组。$$

• 给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。当t[X]=x时，x在R中的象集（Images Set）为:
  $$Zx=\{[Z]|t\in R，t[X]=x\}$$
  它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合

例：即当x取x1,x2,x3时z的取值的集合即为对应象集

下面会用到的学生-课程数据库:学生关系Student、课程关系Course和选修关系SC

1. 选择（Selection）

• 选择又称为限制（Restriction）

• 选择运算符的含义

  • 在关系R中选择满足给定条件的诸元组
    σ F ( R ) = { t ∣ t ∈ R ∧ F ( t ) = ′ 真 ′ } σ_F(R) = \lbrace t|t∈R∧F(t)= '真'\rbrace σF​(R)={t∣t∈R∧F(t)=′真′}

  • F：选择条件，是一个逻辑表达式，基本形式为：
    $$X_1\theta Y_1$$

  • 其中，θ表示比较运算符，它可以是>,<，≤，=或<>。X1，Y1等是属性名，或为常量，或为简单函数，属性名也可以用它的序号来代替。

举例：例1查询信息系（IS系）全体学生
$${\sigma }_{Sdept{=}^{\prime }I{S}^{\prime }}(Student)或{\sigma }_{5{=}^{\prime }I{S}^{\prime }}(Student)$$
查询上面的表格，结果为：

例2 查询年龄小于20岁的学生
$${\sigma }_{Sage<20}(Student)或{\sigma }_{4<20}(Student)$$
结果：

2. 投影（Projection）

定义：从R中选择出若干属性列组成新的关系
π A ( R ) = { t [ A ] ∣ t ∈ R } π_A(R) = \lbrace t[A] | t ∈R \rbrace πA​(R)={t[A]∣t∈R}
其中A为R中的属性列

投影操作主要是从列的角度进行运算，但投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）

举例：

例1 查询学生的姓名和所在系：即求Student关系上学生姓名和所在系两个属性上的投影
$${\pi }_{Sname,Sdept}(Student)或{\pi }_{2,5}(Student)$$
结果：

例2 查询学生关系Student中都有哪些系
$${\pi }_{Sdept}(Student)$$

可以看到与例1相比重复的系不会重复显示，只显示一次

3. 连接（Join）

• 连接也称为θ连接

• 连接运算的含义

  • 从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组
    R ⋈ S A θ B = { t r t s ^ ∣ t r ∈ R ∧ t s ∈ S ∧ t r [ A ] θ t s [ B ] } \underset{A\theta B} {R\Join S}=\lbrace \widehat{t_r t_s}|t_r∈R∧t_s∈S∧t_r[A]θt_s[B]\rbrace AθBR⋈S​={tr​ts​ ​∣tr​∈R∧ts​∈S∧tr​[A]θts​[B]}

• A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组

• θ：比较运算符

连接运算结果为：从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组上值满足比较关系θ的元组

两类常用连接运算

• 等值连接（equijoin）

  • 什么是等值连接

    • θ为“＝”的连接运算称为等值连接

  • 等值连接的含义

    • 从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组，即等值连接为：
      R ⋈ S A = B = { t r t s ^ ∣ t r ∈ R ∧ t s ∈ S ∧ t r [ A ] = t s [ B ] } \underset{A= B} {R\Join S} =\lbrace \widehat{t_r t_s}|t_r∈R∧t_s∈S∧t_r[A]=t_s[B]\rbrace A=BR⋈S​={tr​ts​ ​∣tr​∈R∧ts​∈S∧tr​[A]=ts​[B]}

• 自然连接（Natural join）

  • 自然连接是一种特殊的等值连接

    • 两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组
    • 在结果中把重复的属性列去掉

  • 自然连接的含义

    • R和S具有相同的属性组B
      R ⋈ S = { t r t s ^ ∣ t r ∈ R ∧ t s ∈ S ∧ t r [ A ] = t s [ B ] } R \Join S = \lbrace \widehat{t_r t_s}|t_r∈R∧t_s∈S∧t_r[A]=t_s[B]\rbrace R⋈S={tr​ts​ ​∣tr​∈R∧ts​∈S∧tr​[A]=ts​[B]}

一般的连接操作是从行的角度进行运算

自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。

连接看概念比较难理解，看下面例子加深理解

对于两个关系R和S
$$一般连接\underset{C<E}{R\bowtie S}的值为$$

$$等值连接\underset{R.B=S.B}{R\bowtie S}的值为$$

$$自然连接R\bowtie S的值为$$

• 悬浮元组:两个关系R和S在自然连接时，关系R和S中被舍弃的元组称为悬浮元组。
  • 举例：上面R,S自然连接的R的第四行和S的第五行元组就是悬浮元组
• 外连接
  • 如果把舍弃的元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值(Null)，这种连接就叫做外连接（OUTER JOIN）。
• 左外连接
  • 如果只把左边关系R中要舍弃的元组保留就叫做左外连接(LEFT OUTER JOIN或LEFT JOIN)
• 右外连接
  • 如果只把右边关系S中要舍弃的元组保留就叫做右外连接(RIGHT OUTER JOIN或RIGHT JOIN)。

举例：

4. 除（Division）

• 给定关系R (X，Y) 和S (Y，Z)，其中X，Y，Z为属性组。R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。

• R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，P是R中满足下列条件的元组在 X 属性列上的投影：

  • 元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，记作：

  R ÷ S = { t r [ X ] ∣ t r ∈ R ∧ π Y ( S ) ⊆ Y x } Y x ： x 在 R 中的象集， x = t r [ X ] R÷S = \lbrace t_r [X] | t_r ∈ R∧π_{Y} (S) \subseteq Y_x \rbrace \\ Y_x：x在R中的象集，x = t_r[X] R÷S={tr​[X]∣tr​∈R∧πY​(S)⊆Yx​}Yx​：x在R中的象集，x=tr​[X]

• 除操作是同时从行和列角度进行

概念同样比较难理解，下面看举例：

求R÷S

分析：

• 在关系R中，A可以取四个值{a1，a2，a3，a4}
  a1的象集为 {(b1，c2)，(b2，c3)，(b2，c1)}
  a2的象集为 {(b3，c7)，(b2，c3)}
  a3的象集为 {(b4，c6)}
  a4的象集为 {(b6，c6)}

• S在(B，C)上的投影为
  {(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c3) }

• 只有a1的象集包含了S在(B，C)属性组上的投影
  所以 R÷S ={a1}

故结果为：

下面再看另外一个例子：

以学生-课程数据库为例 (P56)，查询至少选修1号课程和3号课程的学生号码

首先建立一个临时关系K：

然后求：
$${\pi }_{Sno,Cno}(SC)÷K$$
分析：

200215121象集{1，2，3}
200215122象集{2，3}
K={1，3}

故结果为{200215121}

另外一个例子：

查询选修了2号课程的学生的学号。

这题很简单，选了2号课程的只有200215121和200215122，故除法结果就为这两个
$${\pi }_{Sno}（{\sigma }_{Cno{=}^{\prime }{2}^{\prime }}（SC））＝｛200215121，200215122｝$$

还有个例子：查询至少选修了一门其直接先行课为5号课程的学生姓名

结果太绕了，建议自己看书理解或上网找解析

关于除法看到一篇博客写的很精简：A/B除法就是找出A中特有的列， 然后在特有的列上找出包含所有共有列共有行的行

实际上考试考到最难的也就除法了（基本题目问的就是查询一个xx的全部的xxx），弄懂了关系代数基本就都会了

一个小姐姐写的数据库关系代数练习题，个人觉得写的很不错

2.5关系演算为选学内容，上课没讲，故不学