编者按：

通过扩展确定性共乘用户均衡问题，提出了具有弹性需求的广义随机共乘用户均衡问题，用于具有共乘出行活动的城市交通网络分析。

1、引言​

共乘（ridesharing）， 即生活中的“拼车”、“顺风车”，指出发地、目的地或部分路径相同的出行者们为了节约出行成本，选择乘坐同一辆车共同出行的行为。在这项研究中，我们通过扩展确定性共乘用户均衡（deterministic ridesharing user equilibrium, DRUE）问题，提出了具有弹性需求（elastic demand, ED）的广义随机共乘用户均衡（stochastic ridesharing user equilibrium, SRUE）问题，用于具有共乘出行的城市交通网络分析，称为广义SRUE-ED问题。我们根据与广义SRUE-ED问题的共乘匹配约束相对应的拉格朗日乘子建立了一种新的变分不等式 (variational inequality, VI) 模型，并在温和条件下证明了广义SRUE-ED问题解的存在性和唯一性。接着，我们结合加权成本平均（WCA）方法提出一个全局收敛的投影算法来求解VI模型。这一WCA 方法是为了解决广义SRUE-ED问题制定的参数化不动点模型缺少乘车匹配约束的情况。最后，我们应用三个数值案例检验了所提出的模型和算法的有效性，同时获得了在共乘系统运营管理方面的一些具有实际意义的启发。​

2、论文亮点​

（1）我们首次对广义SRUE-ED问题进行研究。与传统的logit-based SRUE问题不同，本文不再假定每个司机只服务一个顾客，而允许其根据车辆载客能力服务多个顾客。​
（2）我们针对广义SRUE-ED问题的共乘匹配约束，创新性地开发了一种包含拉格朗日乘子的VI模型。基于该模型，我们证明了在温和条件下广义SRUE-ED问题解的存在性与唯一性。​
（3）针对广义SRUE-ED问题，我们设计了一种包含WCA方法的投影算法。该WCA方法依靠蒙特卡洛（Monte Carlo，MC）模拟解决了原问题缺少共乘匹配约束的局限性。​

3、问题定义

共乘出行服务通常依靠交通网络公司（transportation network companies, TNCs）管理运营，如Uber、滴滴和Grab等，或称为共乘平台（ridesharing platform）。在一个包含共乘出行服务的城市交通网络$G=\left(N,A\right)$中研究广义SRUE-ED问题，其中$N$代表路网节点集合，$A$代表路网路段集合。我们将出行者分为三类：共乘司机（ridesharing driver, RD）、乘客（rider, R）以及普通司机（solo driver, SD）。出行者整体用$I$表示，则有$I=RD\cup R\cup SD$。以最常见的五座家用轿车为例，每辆车最多可以承载4位人员，我们将三类出行者进一步细分为更多出行角色。假定角色$i=1\in SD$为自驾司机；角色$i=2,3,4,5\in RD$分别表示搭载1, 2, 3, 4位乘客的共乘司机；而$i=6,7,8,9\in R$分别共乘司机$i=2,3,4,5\in RD$搭载的乘客。

用$W$来表示交通网络中的起讫点（orgin-destination, 或称 OD对）的集合，$p\in P^w$表示OD对$w\in W$之间的任一路径，$f_{p,i}^w$表示OD对$w$之间路径$p$上角色$i$的流量。我们用$x_{a,i}$定义角色$i$在路段$a$上的流量，其计算如下：

其中,如果路径$p$经过路段$a$则${\delta }_{a,p}^w=1$，否则${\delta }_{a,p}^w=0$。普通司机$SD$与共乘司机$RD$共同构成了道路上的车辆流量$x_a$，我们计算路段$a$上的总流量：

令$\mathbf{x}={\left(x_a,a\in A\right)}^T$表示网络中的路段车辆流量向量，$\mathbf{f}=(f_{p,i}^w,w\in W,p\in p^w,i\in I{)}^T$表示网络中的所有角色的路径流量向量。我们用$t_p^w(\mathbf{x})$定义OD对$w$之间路径$p$的行驶时间，计算方式如下：

其中$t_a(x_a)$为路段$a$的行驶时间。令$q_w$表示OD对$w$上的居民出行需求，我们得到流量守恒约束如下：

考虑到共乘司机和乘客的乘客匹配问题，建立共乘匹配约束如下：

其中$N_i$是一个正整数，表示共乘司机$i\in RD$搭载的乘客数量。共乘司机$i\in RD$搭载的乘客角色$i\in R$用如下符号表示：

为了更好地说明这个情况，以搭载一位乘客和两位乘客的情况举例。假定提供出行服务的共乘司机最多可以搭载两位乘客，令$i=2,3$分别表示搭载1、2位乘客的共乘司机，$i=4,5$分别表示他们的乘客。 那么，前文的共乘匹配约束可转化为：

为了便于表述，该约束可转化为矩阵向量的形式：$$\mathbf{Af}=0$$
其中，系数矩阵$\mathbf{A}$具体为：

4、模型特征

4.1 广义出行成本函数

根据模型假设，交通网络中各角色的出行成本分别由如下部分组成：

出行成本主要与时间成本、不便成本、共乘价格及报酬、杂项成本（停车费、燃油费、司乘等候时间等等）有关，并且随出行角色的的不同而价格不同。一般来说，时间成本往往与车辆行驶时间成正相关，且不同类型的出行者往往具备不同的时间成本，因为不同人群的单位时间价值（value of time, VOT）有所不同（例如通勤者比游客可能更在乎时间，即时间价值更高）；不便成本一方面来自与陌生人分享有限车内空间的尴尬与不适，另一方面来自行驶时间长短以及车辆的乘坐舒适度；共乘价格以及报酬由TNC根据计价规则直接结算。本文的路径出行成本计算公式如下：

其中，${\rho }_i$表示角色$i$的时间价值，$I_i(.)$​表示角色$i$的不便成本，$B_i^w$以及$M_i(\cdot )$分别表示OD对$w$之间的角色$i\in RD$ $(i\in R)$的基础共乘报酬（价格）和浮动共乘报酬（价格）。

乘车匹配约束会引入拉格朗日乘子${\lambda }_{p,i}^w$，注意，${\lambda }_{p,i}^w$只为共乘司机$i\in RD$所定义。TNC通过${\lambda }_{p,i}^w$来计算共乘司机与乘客的附加成本${\eta }_{p,i}^w$，即补贴与溢价，计算方式为：

其中，${\mathcal{F}}_{rd}\left(i\right)$表示乘客向对应共乘司机的映射关系。因此，广义路径出行成本${\tilde{C}}_{p,i}^w$为：

4.2 广义随机共乘用户均衡

由于出行者对出行时间的感知具有随机性，因此，路径$p$上选择角色$i$的出行者的感知广义出行成本将会产生难以预测的变化。此外，TNC明确了乘车价格与补偿，则行驶时间计算公式如下：

其中，$t_a(x)$为路段$a$上基于车流量的实际行驶时间，${\xi }_a^i$为不可预测的随机感知误差。通常来说，可假设$E({\xi }_a^i)=0$，并且方差$V({\xi }_a^i)$​为有限值。那么，感知广义路径出行成本$c_{p,i}^w$为：

其中，${\zeta }_{p,i}^w={\sum }_a({\delta }_{a,p}^w{\xi }_a^i)$。在广义SRUE-ED问题中，出行者可以同时选择路径$p$与角色$i$，即路径$p$与角色$i$共同构成了一个出行决策方案。因此，当路径解$\left\{f_{p,i}^w,w\in W,p\in P^w,i\in I\right\}$满足以下条件时，才被称为广义SRUE-ED问题的解：

其中，${\tilde{\mathbf{C}}}_w={\left({\tilde{C}}_{p,i}^w,p\in p^w,i\in I\right)}^T$表示OD对$w$之间的广义路径出行成本向量；$P_{p,i}^w({\tilde{\mathbf{C}}}_w)$表示出行者选择路径$p$及角色$i$的概率，即路径$p$及角色$i$的感知广义路径出行成本$c_{p,i}^w$为OD对$w$之间最小的概率，可通过以下公式计算：

OD对$w$之间的最小感知广义路径出行成本$\underset{p\in P^w,w\in W}{\min }\left\{c_{p,i}^w\right\}$也是一个随机变量，其数学期望可用于表示对广义路径出行成本向量$\mathbf{\widetilde{C}}_w $的满意度$S_w(\mathbf{\widetilde{C}}_w)$，具体如下：

将其对广义出行路径成本${\tilde{C}}_{p,i}^w$求偏导可得：

4.3 弹性出行需求函数

现实生活中，OD对$w$之间的居民出行需求往往受到出行成本的影响。假定出行需求是关于出行成本满意度的弹性函数，具体公式如下：

其中，$D_w(\cdot )$是一个关于满意度$S_w$的有界、非负且连续可微的函数；${\bar{q}}_w>0$为OD对$w$之间出行需求的上界。本文应用了现有文献中最广泛使用的指数函数形式来表述这一弹性关系，令$\mu$表示需求弹性系数：

综上，广义SRUE-ED问题的数学形式如下：

5、数学模型

根据上一节总结可得，广义SRUE-ED模型的数学表达如下：

考虑到路径及角色的选择概率以及出行需求函数均为正数，则该模型的第三个条件恒成立。模型的第一个条件表明，如果给定拉格朗日乘子向量$\mathbf{\lambda }$的值，$\mathbf{f}$就是广义SRUE-ED问题的解。换句话说，如果给定拉格朗日乘子向量$\mathbf{\lambda }$的值，广义SRUE-ED问题可以表示为如下的参数化不动点模型：

解$\mathbf{f}$的唯一性证明可参考 Cantarella (1997) 。在给定$\mathbf{\lambda }$的值的情况下，$\mathbf{f}$可以通过用成本平均法（cost average, CA）求解上述参数化不动点模型而得到。

接下来我们求解$\mathbf{\lambda }$。由于给定$\mathbf{\lambda }$就可以得到$\mathbf{f}$，因此$\mathbf{f}\left(\mathbf{\lambda }\right)$是一个关于$\mathbf{\lambda }$的隐式向量函数，结合前文提到的共乘匹配约束的系数矩阵$\mathbf{A}$，我们得到向量函数$\mathbf{Af}\left(\mathbf{\lambda }\right)$。可以证明向量函数$\mathbf{Af}\left(\mathbf{\lambda }\right)$是关于拉格朗日乘子向量$\mathbf{\lambda }$严格单调的（证明见原文）。

我们再给定一个足够大的正数$M$，定义如下关于拉格朗日乘子$\mathbf{\lambda }={\left({\lambda }_{p,i}^w,w\in W,p\in p^w,i\in RD\right)}^T$的集合：

那么，在实际问题中，$\mathbf{\lambda }$就不会越出上、下界$\left[-M,M\right]$。

基于严格单调的$\mathbf{Af}\left(\mathbf{\lambda }\right)$和有界闭集合${\Omega }_{\mathbf{\lambda }}$，我们建立了关于拉格朗日乘子$\mathbf{\lambda }$的变分不等式（variational inequality, VI）模型，即：使得下式成立的${\mathbf{\lambda }}^{\ast }\in {\Omega }_{\mathbf{\lambda }}$就是广义SRUE-ED问题的解：

本文还提出了一个包含蒙特卡罗模拟和WCA方法的投影算法来求解上述模型，具体可参考原文。

6、数值实验

本节对模型和算法进行验证，具体的参数设置以及部分交通网络示意图如下：​
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（1）弹性系数影响

首先，考虑需求弹性系数$\mu$以及感知离散系数$\theta$对交通网络中的出行需求以及平均行驶时间的影响。让$\mu ,\theta$均在 [0, 0.6] 范围内进行变化，观察相关结果的变化。

上图可见，当需求弹性系数$\mu$越大，平均行驶时间越短。现实中，需求弹性系数$\mu$大意味着私家车出行存在竞争性的替代出行模式，例如公共交通。因此，图(a)可以理解为私家车与其他交通方式间竞争程度的增加在一定程度上会减少出行者的平均出行时间。图(b)表明感知离散系数$\theta$越大，即出行者的感知越准确，则出行需求以及平均行驶时间越低。这个现象可以理解为如果车辆配备了高级出行者信息系统（即$\theta$较高），出行者的出行需求以及平均行驶时间将会大大减少。

（2）时间价值的影响

上图说明了出行者的角色选择与共乘参与者（共乘司机和乘客）的时间价值（VOT）之间的关系。曲线显示，随着共乘参与者的流量减少，普通司机的流量会有所增加。这表明随着共乘参与者VOT的增加，出行者的出行模式会从共乘参与者转向普通司机。将上图的(a)与(b)对比，我们发现，乘客对VOT的敏感度高于其他的角色，其更容易因为VOT的变化而改变自身的出行方式。

（3）满意成本的影响

上图说明了出行者的角色选择与共乘司机不便系数的关系。曲线显示，随着共乘司机不便系数的增加，共乘参与者会向其他角色逐渐转变。这表明不便成本对于共乘参与者选择共乘服务至关重要。此外，TNC也可以通过降低不便成本来吸引更多的使用者。

7、总结与展望

这篇论文首次对广义SRUE-ED问题进行研究，考虑了出行者感知成本的随机性以及出行需求的弹性。该研究的贡献主要集中于广义SRUE-ED问题的提出与建模、两种求解算法的开发以及通过数值实验验证了模型与算法的有效性。未来研究仍存在一定的挑战性，包括：（1）考虑出行的不确定性；（2）在网络中增加更多的出行模式，例如公共交通；（3）针对大规模问题提出更高效的求解算法。本推文因为篇幅限制以及科普导向，对具体算法的描述很少，有兴趣的同学可以通过文末的参考文献精读原文。

参考文献

[1]Ma, J., Meng, Q., Cheng, L., Liu, Z.,2022.General stochastic ridesharing user equilibrium problem with elastic demand. Transp. Res. Part B Methodol. 162, 162-194.https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0191261522000947