算法训练营 day56 动态规划 最长递增子序列 最长连续递增序列 最长重复子数组
最长递增子序列
300. 最长递增子序列 - 力扣（LeetCode）
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
-
dp[i]的定义
本题中，正确定义dp数组的含义十分重要。
dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度
-
状态转移方程
位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。
所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值。
-
dp[i]的初始化
每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.
-
确定遍历顺序
dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。
j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。
-
举例推导dp数组
输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：
class Solution {
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
if (nums.length == 0) return 0;
int[] dp = new int[nums.length];
Arrays.fill(dp, 1);
int result = 1;
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] < nums[i]) {
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
result = Math.max(result, dp[i]);
}
return result;
}
}
最长连续递增序列
674. 最长连续递增序列 - 力扣（LeetCode）
给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。
连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], …, nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。
-
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。
-
确定递推公式
如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。
即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;
注意这里就体现出和动态规划：300.最长递增子序列 的区别！
因为本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。
既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i] 和 nums[i - 1]。这里大家要好好体会一下！
-
dp数组如何初始化
以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。所以dp[i]应该初始1;
-
确定遍历顺序
从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。
-
举例推导dp数组
已输入nums = [1,3,5,4,7]为例，dp数组状态如下：
注意这里要取dp[i]里的最大值，所以dp[2]才是结果！
class Solution {
public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
if (nums.length==0) return 0;
int[] dp = new int[nums.length];
Arrays.fill(dp,1);
int result = 1;
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
if (nums[i]>nums[i-1]){
dp[i] = dp[i-1]+1;
}
result = Math.max(result,dp[i]);
}
return result;
}
}
最长重复子数组
718. 最长重复子数组 - 力扣（LeetCode）
给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度 。
-
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ） -
确定递推公式
根据
dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。即当
A[i - 1]和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1; -
dp数组如何初始化
根据
dp[i][j]的定义，dp[i][0]和dp[0][j]其实都是没有意义的！但dp[i][0]和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1; 所以dp[i][0]和dp[0][j]初始化为0。 -
确定遍历顺序
外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。
同时题目要求长度最长的子数组的长度。所以在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来。
-
举例推导dp数组
拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：
class Solution {
public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
int[][] dp = new int[nums1.length+1][nums2.length+1];
for (int[] a:dp) {
Arrays.fill(a,0);
}
int result = 0;
for (int i = 1; i < nums1.length+1; i++) {
for (int j = 1; j < nums2.length+1; j++) {
if (nums1[i-1]==nums2[j-1])
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
result = Math.max(result,dp[i][j]);
}
}
return result;
}
}
