1. 应用场景-最短路径问题

• 看一个应用场景和问题

1. 胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在有六个邮差，从G点出发，需要分别把邮件分别送到 A, B, C , D, E, F 六个村庄
2. 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
3. 问：如何计算出G村庄到其它各个村庄的最短距离?
4. 如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?

2. 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法介绍

• 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个结点到其他结点的最短路径。 它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止

3. 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程

• 设置出发顶点为v，顶点集合V{v1,v2,vi…}，v到V中各顶点的距离构成距离集合Dis，Dis{d1,d2,di…}，Dis集合记录着v到图中各顶点的距离(到自身可以看作0，v到vi距离对应为di)

1. 从Dis中选择值最小的di并移出Dis集合，同时移出V集合中对应的顶点vi，此时的v到vi即为最短路径
2. 更新Dis集合，更新规则为：比较v到V集合中顶点的距离值，保留值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为vi，表明是通过vi到达的)
3. 重复执行两步骤，直到最短路径顶点为目标顶点即可结束

4. 算法分析过程

• 先定义三个数组，分别是已访问节点、前驱节点、出发顶点到其他顶点的距离

//已访问顶点集合
class Visited_vertex{
	//记录各个顶点是否访问过  1表示访问过,0未访问,会动态更新
	public int[] already_arr; 
	//每个下标对应的值为前一个顶点下标, 会动态更新
	public int[] pre_visited;
	//记录出发顶点到其他所有顶点的距离,比如G为出发顶点，就会记录G到其它顶点的距离，会动态更新，求的最短距离就会存放到dis
	public int[] dis;
}

• 假设邻接矩阵如下，N（65535）表示不连通

  A B C D E F G
A{N,5,7,N,N,N,2};  
B{5,N,N,9,N,N,3};  
C{7,N,N,N,8,N,N};  
D{N,9,N,N,N,4,N};  
E{N,N,8,N,N,5,4};  
F{N,N,N,4,5,N,6};  
G{2,3,N,N,4,6,N};  

• 以G点为出发顶点，初始化后

• 以G为出发顶点访问过一次后的情况

• 经过G出发访问一轮后，继续选择并返回新的访问顶点， 比如访问G之后，就是以 A点作为新的访问顶点(注意不是出发顶点)，遍历所有的顶点，即可得到

5. 代码实现

import java.util.Arrays;

public class DijkstraAlgorithm {

    public static void main(String[] args) {
        char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        // 邻接矩阵
        int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
        // 表示不可以连接
        final int N = 65535;
        matrix[0] = new int[]{N, 5, 7, N, N, N, 2};
        matrix[1] = new int[]{5, N, N, 9, N, N, 3};
        matrix[2] = new int[]{7, N, N, N, 8, N, N};
        matrix[3] = new int[]{N, 9, N, N, N, 4, N};
        matrix[4] = new int[]{N, N, 8, N, N, 5, 4};
        matrix[5] = new int[]{N, N, N, 4, 5, N, 6};
        matrix[6] = new int[]{2, 3, N, N, 4, 6, N};
        // 创建Graph对象
        Graph graph = new Graph(vertex, matrix);
        // 显示图
        graph.showGraph();
        // 以G作为出发顶点
        graph.dsj(6);
        graph.showDijkstra();
    }
}

// 已访问顶点的集合
class VisitedVertex {
    // 记录各个顶点是否访问过 1表示访问过，0未访问过，会动态更新
    public int[] already_arr;
    // 每个下标对应的值为前一个顶点的下标，会动态更新
    public int[] pre_visited;
    // 记录出发顶点到其他所有顶点的距离，会动态更新
    public int[] dis;

    /**
     * 构造器
     *
     * @param length 顶点个数
     * @param index  出发顶点的下标，比如G为顶点，下标就是6
     */
    public VisitedVertex(int length, int index) {
        this.already_arr = new int[length];
        this.pre_visited = new int[length];
        this.dis = new int[length];
        // 初始化 dis 数组
        Arrays.fill(dis, 65535);
        // 设置出发顶点被访问过
        this.already_arr[index] = 1;
        // 设置出发顶点的访问距离为0
        this.dis[index] = 0;
    }

    // 判断index顶点是否被访问过
    public boolean in(int index) {
        return already_arr[index] == 1;
    }

    // 更新出发顶点到index顶点的距离
    public void updateDis(int index, int len) {
        dis[index] = len;
    }

    // 更新pre这个顶点的前驱顶点为index顶点
    public void updatePre(int pre, int index) {
        pre_visited[pre] = index;
    }

    // 返回出发顶点到index顶点的距离
    public int getDis(int index) {
        return dis[index];
    }

    // 继续选择并返回新的访问顶点，比如G访问后，就是A作为新的访问顶点（注意不是出发顶点）
    public int updateArr() {
        int min = 65535;
        int index = 0;
        for (int i = 0; i < already_arr.length; i++) {
            // 找出没有被访问过，且到出发顶点距离最短的点
            if (already_arr[i] == 0 && dis[i] < min) {
                min = dis[i];
                index = i;
            }
        }
        // 更新index顶点被访问过
        already_arr[index] = 1;
        return index;
    }

    // 显示最后的结果，将三个数组的情况输出
    public void show() {
        System.out.println("==========================");
        //输出already_arr
        for (int i : already_arr) {
            System.out.print(i + " ");
        }
        System.out.println();
        //输出pre_visited
        for (int i : pre_visited) {
            System.out.print(i + " ");
        }
        System.out.println();
        //输出dis
        for (int i : dis) {
            System.out.print(i + " ");
        }
        System.out.println();
        char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        int count = 0;
        for (int i : dis) {
            if (i != 65535) {
                System.out.print(vertex[count] + "(" + i + ") ");
            } else {
                System.out.println("N ");
            }
            count++;
        }
        System.out.println();
    }
}

class Graph {

    // 顶点数组
    private char[] vertex;

    // 邻接矩阵
    private int[][] matrix;

    // 已访问的顶点的集合
    private VisitedVertex vv;

    public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) {
        this.vertex = vertex;
        this.matrix = matrix;
    }

    // 显示图
    public void showGraph() {
        for (int[] link : matrix) {
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    //显示结果
    public void showDijkstra() {
        vv.show();
    }

    // 更新index下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点
    private void update(int index) {
        int len = 0;
        // 遍历matrix[index]行
        int[] ints = matrix[index];
        for (int i = 0; i < ints.length; i++) {
            // len是出发顶点到index顶点的距离+从index顶点到i顶点的距离
            len = vv.getDis(index) + ints[i];
            // 如果i顶点没有被访问过，并且len小于出发顶点到i顶点的距离，就需要更新
            if (!vv.in(i) && len < vv.getDis(i)) {
                // 更新i顶点的前驱为index顶点
                vv.updatePre(i, index);
                // 更新出发顶点到i顶点的距离
                vv.updateDis(i, len);
            }
        }
    }

    /**
     * 算法实现
     *
     * @param index 出发顶点对应的下标
     */
    public void dsj(int index) {
        vv = new VisitedVertex(vertex.length, index);
        // 更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
        update(index);
        for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
            // 选择并返回新的访问点
            index = vv.updateArr();
            // 更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
            update(index);
        }
    }

}