动态规划_leetcode 392.判断子序列 115.不同的子序列
今天继续子序列！
392.判断子序列
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确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。
注意这里是判断s是否为t的子序列。即t的长度是大于等于s的。 -
确定递推公式
在确定递推公式的时候，首先要考虑如下两种操作，整理如下：- if (s[i - 1] == t[j - 1]) : t中找到了一个字符在s中也出现了
- if (s[i - 1] != t[j - 1]) : 相当于t要删除元素，继续匹配
if (s[i - 1] == t[j - 1])，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;，因为找到了一个相同的字符，相同子序列长度自然要在dp[i-1][j-1]的基础上加1（如果不理解，在回看一下dp[i][j]的定义）
if (s[i - 1] != t[j - 1])，此时相当于t要删除元素，t如果把当前元素t[j - 1]删除，那么dp[i][j] 的数值就是 看s[i - 1]与 t[j - 2]的比较结果了，即：dp[i][j] = dp[i][j - 1]; -
dp数组如何初始化
从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，所以dp[0][0]和dp[i][0]是一定要初始化的。 -
确定遍历顺序
同理从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，那么遍历顺序也应该是从上到下，从左到右. -
举例推导dp数组
class Solution:
def isSubsequence(self, s: str, t: str) -> bool:
# 定义共同子序列长度二维数组
dp = [[0 for _ in range(len(t)+1)] for _ in range(len(s)+1)]
# 从上往下，从左往右遍历
for i in range(1,len(s)+1):
for j in range(1,len(t)+1):
if s[i-1] == t[j-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
else:
# dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
dp[i][j] = dp[i][j-1]
return len(s) == dp[-1][-1]
115.不同的子序列
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确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。 -
确定递推公式
这一类问题，基本是要分析两种情况- s[i - 1] 与 t[j - 1]相等,dp[i][j]可以有两部分组成。
一部分是用s[i - 1]来匹配，那么个数为dp[i - 1][j - 1]。即不需要考虑当前s子串和t子串的最后一位字母，所以只需要 dp[i-1][j-1]。
一部分是不用s[i - 1]来匹配，个数为dp[i - 1][j]。例如： s：bagg 和 t：bag ，s[3] 和 t[2]是相同的，但是字符串s也可以不用s[3]来匹配，即用s[0]s[1]s[2]组成的bag。当然也可以用s[3]来匹配，即：s[0]s[1]s[3]组成的bag。
所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; - s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等
dp[i][j]只有一部分组成，不用s[i - 1]来匹配（就是模拟在s中删除这个元素），即：dp[i - 1][j]
所以递推公式为：dp[i][j] = dp[i - 1][j];
- s[i - 1] 与 t[j - 1]相等,dp[i][j]可以有两部分组成。
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dp数组如何初始化
从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j] 是从上方和左上方推导而来，如图：，那么 dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的。
每次当初始化的时候，都要回顾一下dp[i][j]的定义，不要凭感觉初始化。
dp[i][0] 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。
那么dp[i][0]一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数就是1。
再来看dp[0][j]，dp[0][j]：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数。
那么dp[0][j]一定都是0，s如论如何也变成不了t。
最后就要看一个特殊位置了，即：dp[0][0] 应该是多少。
dp[0][0]应该是1，空字符串s，可以删除0个元素，变成空字符串t。 -
确定遍历顺序
从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j]都是根据左上方和正上方推出来的。
所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。 -
举例推导dp数组
class Solution:
def numDistinct(self, s: str, t: str) -> int:
dp = [[0 for _ in range(len(t)+1)] for _ in range(len(s)+1)]
# 初始化dp数组
for i in range(1,len(s)+1):
dp[i][0] = 1
for j in range(1,len(t)+1):
dp[0][j] = 0
dp[0][0] = 1
for i in range(1,len(s)+1):
for j in range(1,len(t)+1):
if s[i-1] == t[j-1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]
else:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
return dp[-1][-1]
不同的子序列这题需要好好想清楚情况，以及初始化！还是比较复杂的！
