山东大学电磁场与电磁波期末试题

news2024/11/23 13:44:53

文章目录

- 一、电磁场的基本规律
- 二、静态电磁场及其边值问题的解
- 三、分离变量法
- 四、均匀平面波的反射与透射
- 五、时变电磁场与均匀平面波在无界空间中的传播
- 六、导行电磁波
- 七、电磁辐射
- 往年真题回忆
- 复习建议

一、电磁场的基本规律

设在 $x < 0$ 处为真空， $x > 0$ 区域中充满介电常数为 $\varepsilon$ 的均匀介质，而平面 $x = 0$ 均匀带电，面电荷密度为 $\rho_0$ 。已知在 $x < 0$ 处，电场为 $\overrightarrow{E_{1}}=\overrightarrow{e_{x}} a+\overrightarrow{e_{y}} b+\overrightarrow{e_{z}} c$ ，试求 $x > 0$ 区域内的电场能量密度。

二、静态电磁场及其边值问题的解

一圆形截面的无限长直铜线，通过电流为I，在铜线外套上一个磁导率为 $\mu$ 的磁性材料制成的圆筒，与之同轴，圆筒的内外半径分别为 $r_1$ 及 $r_2$ ( $r_1$ < $r_2$ )。求：
（1）圆筒中的磁感应强度 $\vec{B}$ ；
（2）圆筒内的磁化强度 $\vec{M}$ ；
（3）圆筒内的磁化电流体密度 $\overrightarrow{J_m}$ 和圆筒内外表面的磁化电流面密度 $\overrightarrow{J_{ms}}$

附圆柱坐标系下旋度表达式：
$\nabla \times \vec{A}=\frac{1}{\rho}\left|\begin{array}{ccc} \vec{e}_{p} & \rho \overrightarrow{e_{\phi}} & \overrightarrow{e_{z}} \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \phi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_{p} & \rho A_{\phi} & A_{z} \end{array}\right|$

三、分离变量法

（1）分别描述利用标量电位计算电偶极子电场和利用矢量磁位计算磁偶极子磁场各自的优点。

（2）简述镜像法的理论基础：唯一性定理，以及镜像法的基本步骤。

（3）在电场强度为 $\overrightarrow{E_0}$ 的真空中放置一半径为 $a$ 的无限长理想导体圆柱，柱的轴线与电场相互垂直，导体接地，求空间电位分布以及柱面上的自由电荷密度。

拉普拉斯方程在柱坐标系下的通解：
$\phi(\rho, \varphi)=A_{0}+B_{0} \ln \rho+\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_{n} \rho^{n}+B_{n} \rho^{-n}\right)\left[C_{n} \cos (n \varphi)+D_{n} \sin (n \varphi)\right]$

此题的解答可以参考论文 袁海良.外电场中接地圆柱形导体内、外的电场、电势及面电荷分布[J].青海师范大学民族师范学院学报,2011,22(01):90-91.DOI:10.13780

四、均匀平面波的反射与透射

（1）给出均匀平面波斜入射时的入射平面定义，并说明什么是垂直极化入射波，什么是平行极化入射波。

（2）太阳光以布儒斯特角照射到玻璃上，是否存在反射光？为什么？

（3）一均匀平面波，入射波电场为 $\overrightarrow{E_{i}}=\vec{e}_{x} 120 \cos \left(3 \pi \times 10^{8}t-10 \pi z\right) \mathrm{V} / \mathrm{m}$ ，自空气（媒质1）垂直入射到一个无损耗、不导电的媒质（媒质2）上，分界面处 $z = 0$ 。媒质2的相对介电系数 $\varepsilon_{r}$ = 4，相对磁导率 $\mu_{r}$ = 1，请计算媒质1中的反射波电场振幅的大小以及驻波比（或驻波系数），定义为合成波的电场强度的最大值和最小值之比，并给出媒质1中反射波的电场表达式。

附菲涅尔公式：
$\begin{array}{ll} R_{L}=\frac{E_{R 0}}{E_{10}}=\frac{\eta_{2} \cos \theta_{1}-\eta_{1} \cos \theta_{2}}{\eta_{2} \cos \theta_{1}+\eta_{1} \cos \theta_{2}} & R_{11}=\frac{E_{R_{0}}}{E_{10}}=\frac{\eta_{1} H_{R 0}}{\eta_{1} H_{10}}=\frac{\eta_{1} \cos \theta_{1}-\eta_{2} \cos \theta_{2}}{\eta_{1} \cos \theta_{1}+\eta_{2} \cos \theta_{2}} \\ T_{1}=\frac{E_{T 0}}{E_{10}}=\frac{2 \eta_{2} \cos \theta_{1}}{\eta_{2} \cos \theta_{1}+\eta_{1} \cos \theta_{2}} & T_{11}=\frac{E_{T 0}}{E_{{ }^{10}}}=\frac{\eta_{2} H_{T_{0}}}{\eta_{1} H_{10}}=\frac{2 \eta_{2} \cos \theta_{1}}{\eta_{1} \cos \theta_{1}+\eta_{2} \cos \theta_{2}} \end{array}$

五、时变电磁场与均匀平面波在无界空间中的传播

已知自由空间的均匀平面波的电场表达式为 $\vec{E}=600 \pi\left(-\overrightarrow{e_{x}} s+\overrightarrow{e_{z}} \delta\right) e^{-j \pi(\delta x-6 z)} \mathrm{V} / \mathrm{m}$ ，式中s为常数。

求：该平面波的
（1）波矢量；
（2）波长和频率；
（3）s的值；
（4）相伴磁场的瞬时表达式；
（5）平均坡印廷矢量；
（6）极化状态；
（7）该电磁波如果在 $\varepsilon_{r}=81$ , $\mu_{r}=1$ , $\sigma=4 \delta / \mathrm{m}$ 的海水中传播，最少传多远就可以认为其已消失殆尽（即其电场强度幅值减小到原来的1/1000以下）？

导电介质中的电磁波：

传播常数为 $\beta=\sqrt{\frac{\omega^{2} \mu \varepsilon}{2}} \sqrt{\sqrt{1+\left(\frac{\sigma}{\omega \varepsilon}\right)^{2}}+1}$

衰减常数为 $\alpha=\sqrt{\frac{\omega^{2} \mu \varepsilon}{2}} \sqrt{\sqrt{1+\left(\frac{\sigma}{\omega \varepsilon}\right)^{2}}-1}$

六、导行电磁波

（1）简述纵向分量法的处理规则波导问题的思路；

（2）矩形波导横截面为 a x b = 12.5 x 7.5 $mm^2$ ，按顺序写出截至波长最长的前三个传输模；

（3）若上述波导中填充 $\varepsilon_{r}=2$ ， $\mu_{r}=1$ 的理想介质，频率为16GHz的电磁波进入波导后将以哪几种模式工作？

七、电磁辐射

（1）简述滞后位法中“滞后”的含义；

（2）沿z轴放置的电基本振子在空间场分布如下式：
$\begin{array}{l} E_{r}=\frac{k^{3} I \Delta l \cos \theta}{2 \pi \omega \varepsilon}\left[\frac{1}{(k r)^{2}}-\frac{j}{(k r)^{3}}\right] e^{-j k r} \\ E_{\theta}=\frac{k^{3} I \Delta \sin \theta}{2 \pi \omega \varepsilon}\left[\frac{j}{k r}+\frac{1}{(k r)^{2}}-\frac{j}{(k r)^{3}}\right] e^{-i k r} \\ H_{\phi}=\frac{k^{2} I \Delta \sin \theta}{4 \pi}\left[\frac{j}{k r}+\frac{1}{(k r)^{2}}\right] e^{-j k r} \\ E_{\phi}=H_{r}=H_{\theta}=0 \end{array}$