摘要

剑指 Offer 55 - I. 二叉树的深度

一、深度优先搜索

如果我们知道了左子树和右子树的最大深度l和r，那么该二叉树的最大深度即为：max(l,r)+1。

而左子树和右子树的最大深度又可以以同样的方式进行计算。因此我们可以用「深度优先搜索」的方法来计算二叉树的最大深度。具体而言，在计算当前二叉树的最大深度时，可以先递归计算出其左子树和右子树的最大深度，然后在 O(1)O(1) 时间内计算出当前二叉树的最大深度。递归在访问到空节点时退出。

class Solution {
    public int maxDepth(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        } else {
            int leftHeight = maxDepth(root.left);
            int rightHeight = maxDepth(root.right);
            return Math.max(leftHeight, rightHeight) + 1;
        }
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n)O(n)，其中 nn 为二叉树节点的个数。每个节点在递归中只被遍历一次。
空间复杂度：O(height)O(height)，其中 heightheight 表示二叉树的高度。递归函数需要栈空间，而栈空间取决于递归的深度，因此空间复杂度等价于二叉树的高度。

二、广度优先搜索

我们也可以用广度优先搜索的方法来解决这道题目，但我们需要对其进行一些修改，此时我们广度优先搜索的队列里存放的是当前层的所有节点。每次拓展下一层的时候，不同于广度优先搜索的每次只从队列里拿出一个节点，我们需要将队列里的所有节点都拿出来进行拓展，这样能保证每次拓展完的时候队列里存放的是当前层的所有节点，即我们是一层一层地进行拓展，最后我们用一个变量 ans来维护拓展的次数，该二叉树的最大深度即为 ans。

    public int maxDepth2(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<TreeNode>();
        // 加入root节点
        queue.offer(root);
        int ans = 0;
        while (!queue.isEmpty()) {
            int size = queue.size();
            while (size > 0) {
                TreeNode node = queue.poll();
                if (node.left != null) {
                    queue.offer(node.left);
                }
                if (node.right != null) {
                    queue.offer(node.right);
                }
                size--;
            }
            // 将每一层的队列的值都弹出即为深度数
            ans++;
        }
        return ans;
    }

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，其中n为二叉树的节点个数。与方法一同样的分析，每个节点只会被访问一次。
空间复杂度：此方法空间的消耗取决于队列存储的元素数量，其在最坏情况下会达到O(n)。

三、平衡二叉树

判断该树是不是平衡二叉树。如果某二叉树中任意节点的左右子树的深度相差不超过1，那么它就是一棵平衡二叉树。

有了计算节点高度的函数，即可判断二叉树是否平衡。具体做法类似于二叉树的前序遍历，即对于当前遍历到的节点，首先计算左右子树的高度，如果左右子树的高度差是否不超过1，再分别递归地遍历左右子节点，并判断左子树和右子树是否平衡。这是一个自顶向下的递归的过程。

package Tree;

/**
 * @Classname JZ55平衡二叉树
 * @Description TODO
 * @Date 2023/2/23 16:51
 * @Created by xjl
 */
public class JZ55平衡二叉树 {
    public class TreeNode {
        int val;
        TreeNode left;
        TreeNode right;

        TreeNode(int x) {
            val = x;
        }
    }

    public boolean isBalanced(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return true;
        } else {
            // 要求这个左子树的和右子树都要小于这个，同时要求这个树本身的高度差不能超过1
            return Math.abs(height(root.left) - height(root.right)) <= 1 && isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right);
        }
    }

    public int height(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        } else {
            // 返回的是这个树的高度
            return Math.max(height(root.left), height(root.right)) + 1;
        }
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n^2)，其中n是二叉树中的节点个数。最坏情况下，二叉树是满二叉树，需要遍历二叉树中的所有节点，时间复杂度是 O(n)。对于节点p，如果它的高度是d，则height(p)最多会被调用d次（即遍历到它的每一个祖先节点时）。对于平均的情况，一棵树的高度h 满足O(h)=O(log⁡n)，因为 d≤h，所以总时间复杂度为 O(nlog⁡n)。对于最坏的情况，二叉树形成链式结构，高度为 O(n)，此时总时间复杂度为 O(n^2)
空间复杂度：O(n)，其中 n是二叉树中的节点个数。空间复杂度主要取决于递归调用的层数，递归调用的层数不会超过n。