1 原函数与不定积分的概念

1.1 原函数

定义1 如果在区间I上，可导函数F(x)的导航为f(x)，即对任一$x\in I$，都有

$F^{{}^{\prime }}(x)=f(x)或者dF(x)=f(x)dx$,

那么函数F(x)就称为f(x)(或者$f(x)dx$)在区间I上的一个原函数。

1.2 原函数存在定理

原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I存在可导函数F(x)，使得对于任一$x\in I$都有

$F^{{}^{\prime }}(x)=f(x)$

连续函数一定有原函数

• 如果f(x)有一个原函数，那么f(x)就有无限多个原函数
• $F(x)+C$可以表示$f(x)$的任意一个原函数，其中C为任意常数

1.3 不定积分

定义2 在区间I上，函数$f(x)$的带有任意常数项的原函数称为$f(x)（或f(x)dx）$在区间I上的不定积分，记做

$\int f(x)dx$

其中$\int$称为积分号，$f(x)$称为被积函数，$f(x)dx$称为被积表达式，x称为积分变量。

注：

1. 若$F(x)为f(x)$的一个原函数，则$\int f(x)dx=F(x)+C$，其中C为任意常数。
2. $\int f(x)dx$表示$f(x)$的任意一个原函数，是一种运算。

例2 求$\int \frac{1}{x}dx$
$$\begin{gathered} 解： \\ 当x>0时，(\ln x{)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{x},所以\int \frac{1}{x}dx=\ln x+C \\ 当x<0时，(\ln (-x){)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{-x}\cdot -1=\frac{1}{x},\int \frac{1}{x}dx=\ln (-x)+C \\ 综上\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C \end{gathered}$$

2 不定积分的性质

设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数

性质1 $\frac{d[\int f(x)dx]}{dx}=f(x)或d[\int f(x)dx]=f(x)dx$

性质2 $\int F^{{}^{\prime }}(x)dx=F(x)+C或\int dF(x)=F(x)+C$

性质3 设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则

$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

$$\begin{gathered} 证明： \\ 上式右端求导,[\int f(x)dx+\int g(x)dx{]}^{{}^{\prime }}=[\int f(x)dx{]}^{{}^{\prime }}+[\int g(x)dx{]}^{{}^{\prime }} \\ =f(x)+g(x) \\ 所以右端也是f(x)+g(x)的不定积分 \end{gathered}$$

注：性质3对于有限个函数都是成立的。

性质4 设函数f(x)的原函数存在，$k$为非零常数，则

$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$

3 基本积分表

①$\int{kdx}=kx+C $

②$\int x^{u}dx=\frac{x^{u+1}}{u+1}+C$ ③$\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$

④$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$ ⑤$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$

⑥$\int \cos xdx=\sin x+C$ ⑦$\int \sin xdx=-\cos x+C$

⑧$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$ ⑨$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$

⑩$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$ ⑪$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$

⑫$\int e^{x}dx=e^x+C$ ⑬$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

4 例题

例1 $\int \frac{(x-1{)}^3}{x^2}dx$
$$\begin{gathered} 解： \\ \int \frac{(x-1{)}^3}{x^2}dx=\int \frac{x^3-3x^2+3x-1}{x^2} \\ =\int xdx-\int 3dx+\int \frac{3}{x}-\int \frac{1}{x^2} \\ =\frac{1}{2}{x}^2-3x+3\ln |x|+\frac{1}{x}+C \end{gathered}$$
例2 $\int \frac{2x^4+x^2+3}{x^2+1}dx$
$$\begin{gathered} 解： \\ 利用多项式相除，得2x^2+1,余4,有 \\ \int \frac{2x^4+x^2+3}{x^2+1}dx=\int (2x^2-1+\frac{4}{x^2+1})dx \\ =\int 2x^{2}dx-\int 1dx+\int \frac{4}{x^2+1}dx=\frac{2x^3}{3}-x+4\arctan x+C \end{gathered}$$

多项式相除，如下图4-1所示：

后记

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.P184~p193.

[2]【梨米特】同济七版《高等数学》全程教学视频｜纯干货知识点解析，应该是全网最细｜微积分 | 高数[CP/OL].2020-04-16.p27.