1.数理逻辑
2. 集合论
3. 代数系统
4. 图论
代数系统：把一些形式上很不相同的代数系统，用统一的方法描述、研究、推理，从而得到反映出他们共性的一些结论，在将结论运用到具体的代数系统中
系统：运算+研究对象
- 运算：具有的共同性质的不同演算抽取成一个运算，根据性质的不同取名群、环域等。
- 研究对象：可以运算的抽象对象
如：集合上的并满足结合律，实数上的加法也满足结合律，用一个符号代表具有结合律的运算，而研究对象变为代表实数或者集合等对象的抽象事物
所以代数系统定义为：非空集合和定义在集合上的封闭运算构成的系统
5. 代数系统
5.0 代数学
代数学：研究数的部分
几何学：研究形的部分
分析学：沟通数与性且设计极限运算的部分
代数：用字母代替具体的数值
发展历程
-
算数
-
初等代数
-
代数式的运算、方程
从简单的一元一次方程开始
讨论二元和三元的一次方程
研究二元以上及可以转换为二元的方程组
-
数与方程理论
- 无理数与有理数的界定
- 运算符号的创立与无理方程的解法
- 虚数理论
-
高等代数
-
线性代数：讨论任意多个未知数的一元方程组（线性方程组）
费马与笛卡尔引入笛卡尔坐标系，统一了代数与集合，线性代数才出现
仅涉及线性运算(加法和数乘)的代数学分支，以矩阵为研究工具，以向量空间和线性映射为研究对象
-
多项式代数：研究更高次的一元方程组
-
-
(19世纪以后)抽象代数
系统：将不同演算共有的性质抽取形成系统，根据抽取的性质取名群、环域等。
如：集合上的并有结合律，实数上的加法也有结合律，用一个符号代表具有结合律的运算，而研究对象变为代表实数或者集合等对象的抽象事物
所以代数系统定义为：抽象的研究对象集合和满足某种性质的运算构成的系统
具体应用：
伽罗瓦用置换群的方法证明一般形式的一元五次方程没有通解，给出了可解性的判别原则
格与布尔代数：用于电子线路设计、电子计算机硬件设计和通信系统设计
半群：形式语言，自动机理论
5.1 运算
5.1.1 运算的概念
二元运算：函数 f : A × A → A f:A\times A\rightarrow A f:A×A→A，则称f为A上的二元代数运算
如：
-
加法与乘法是在 Z + Z^+ Z+ 上的二元代数运算，运算结果也是 Z + Z^+ Z+ ，所以是封闭的
f ( < x , y > ) = x + y , x ∈ Z + , y ∈ Z + , x + y ∈ Z + f(<x,y>)=x+y,x\in Z^+,y\in Z^+,x+y\in Z^+ f(<x,y>)=x+y,x∈Z+,y∈Z+,x+y∈Z+
-
减法不是 Z + Z^+ Z+ 上的二元运算，因为 x − y ∉ ? Z + x-y\notin^{?} Z^+ x−y∈/?Z+ ，所以是不封闭的
-
减法在Z上是二元运算， x − y ∈ Z x-y\in Z x−y∈Z ，是封闭的
5.1.2 运算的性质
二元运算 A × A → A A\times A\rightarrow A A×A→A 上的性质，以*为运算符
交换律
∀ x , y ∈ A , 有 x ∗ y = y ∗ x ，称 ∗ 满足交换律 \forall x,y\in A,有x*y=y*x，称 *满足交换律 ∀x,y∈A,有x∗y=y∗x，称∗满足交换律
运算表关于主对角线对称
结合律
∀ x , y , z ∈ A , 有 ( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) ，称 ∗ 满足结合律 \begin{aligned} \forall x,y,z\in A,有(x*y)*z=x*(y*z)，称*满足结合律 \end{aligned} ∀x,y,z∈A,有(x∗y)∗z=x∗(y∗z)，称∗满足结合律
分配律
∀ x , y , z ∈ A , 有 { x ∗ ( y ⋅ z ) = x ∗ y ⋅ x ∗ z ( y ⋅ z ) ∗ x = y ∗ x ⋅ z ∗ x ，则称 ∗ 满足分配律 \forall x,y,z\in A,有\begin{cases} x*(y·z)=x*y·x*z\\ (y·z)*x=y*x·z*x \end{cases} ，则称*满足分配律 ∀x,y,z∈A,有{x∗(y⋅z)=x∗y⋅x∗z(y⋅z)∗x=y∗x⋅z∗x，则称∗满足分配律
幂等律
∀ x ∈ A , 有 x ∗ x = x ，则称 ∗ 满足幂等律 若 ∃ a ∈ A , 且 a ∗ a = a ，则称 a 是 ∗ 的幂等元 \begin{aligned} &\forall x\in A,有x*x=x，则称*满足幂等律\\ &若\exists a\in A,且a*a=a，则称a是*的幂等元 \end{aligned} ∀x∈A,有x∗x=x，则称∗满足幂等律若∃a∈A,且a∗a=a，则称a是∗的幂等元
主对角线元素排列与表头顺序一直
吸收律
∀ x , y ∈ A , 有 { x ∗ ( x ⋅ y ) = x x ⋅ ( x ∗ y ) = x , 则称 ∗ 和 ⋅ 满足吸收律 \forall x,y \in A,有 \begin{cases} x*(x·y)=x\\ x·(x*y)=x \end{cases}, 则称*和·满足吸收律 ∀x,y∈A,有{x∗(x⋅y)=xx⋅(x∗y)=x,则称∗和⋅满足吸收律
消去律
若满足两个关系： { x ∗ y = x ∗ z ( x ≠ 0 ) ，则 y = z y ∗ x = z ∗ x ( x ≠ 0 ) ，则 y = z ， ∗ 满足消去律 若满足两个关系： \begin{cases} x*y=x*z(x\neq 0)，则y=z\\ y*x=z*x(x\neq 0)，则y=z \end{cases} ，*满足消去律 若满足两个关系：{x∗y=x∗z(x=0)，则y=zy∗x=z∗x(x=0)，则y=z，∗满足消去律
Z上的加法、乘法满足消去律
幂集 ρ ( A ) \rho(A) ρ(A) 上的 U 不满足消去律
- A ∪ B = A ∪ C ⇏ B = C A\cup B=A\cup C \nRightarrow B=C A∪B=A∪C⇏B=C
5.1.3 表示方法
- 公式
- 运算表
5.2 代数系统
5.2.1 基本概念
代数系统：非空集合A和A上的k个封闭的运算 f 1 , f 2 , . . . , f k f_1,f_2,...,f_k f1,f2,...,fk 组成的系统，称为一个代数系统，记作 < A , f 1 , f 2 , . . . , f k > <A,f_1,f_2,...,f_k> <A,f1,f2,...,fk>
如： < R , + > , < R , ∗ > , < ρ ( A ) , ∪ , ∩ > <R,+>,<R,*>,<\rho(A),\cup,\cap> <R,+>,<R,∗>,<ρ(A),∪,∩>
子代数系统：设 < A , ∗ 1 , ∗ 2 , . . . , ∗ k > <A,*_1,*_2,...,*_k> <A,∗1,∗2,...,∗k> 是代数系统，若 B ⊆ A , B ≠ ∅ B\subseteq A,B\neq ∅ B⊆A,B=∅ ，且运算 ∗ 1 , ∗ 2 , . . . , ∗ k *_1,*_2,...,*_k ∗1,∗2,...,∗k 对B是封闭的，则 < B , ∗ 1 , ∗ 2 , . . . , ∗ k > <B,*_1,*_2,...,*_k> <B,∗1,∗2,...,∗k> 也是代数系统，称为 < A , ∗ 1 , ∗ 2 , . . . , ∗ k > <A,*_1,*_2,...,*_k> <A,∗1,∗2,...,∗k> 的子代数系统
若 B ⊂ A B\subset A B⊂A，则称 < B , ∗ 1 , ∗ 2 , . . . , ∗ k > <B,*_1,*_2,...,*_k> <B,∗1,∗2,...,∗k> 为真子代数系统
如：
对
<
R
,
−
>
：
<
Z
,
−
>
是
<
R
,
−
>
的真子代数系统
<
N
,
−
>
不是
<
R
,
−
>
的真子代数系统
对<R,->： \begin{aligned} &<Z,->是<R,->的真子代数系统\\ &<N,->不是<R,->的真子代数系统 \end{aligned}
对<R,−>：<Z,−>是<R,−>的真子代数系统<N,−>不是<R,−>的真子代数系统
5.2.2 特殊元
幺元零元
代数系统的幺元，零元 ，若存在必唯一
左幺元：设*是S上的二元运算， 1 l 1_l 1l 是S中的元素，如果对S中的每一元素x，有 1 l ∗ x = x 1_l*x=x 1l∗x=x，则称 1 l 1_l 1l 是对运算 * 的左幺元
左零元：如果对于S中的每个元素x，有 0 l ∗ x = 0 l 0_l*x=0_l 0l∗x=0l ，则称 0 l 0_l 0l 对运算 * 是左零元
设 * 是S上的二元运算，1是S中的元素，对于S中的每个元素，满足 1 ∗ x = x ∗ 1 = x 1*x=x*1=x 1∗x=x∗1=x ，则1为对运算 * 的幺元。
如果对于S中的每一元素x，有 0 ∗ x = x ∗ 0 = 0 0*x=x*0=0 0∗x=x∗0=0 ，则称0对运算 * 是零元
- 在运算表中
- 幺元：所在的行与列的元素排列都与表头一致
- 零元：元素的行与列都有钙元素自身构成
逆元
某个元素的逆元
设 * 是S上的二元运算，1是对运算 * 的幺元。如果 x*y =1，那么关于运算 * ，x是y的左逆元，y是x的右逆元
如果 x*y=1和y*x=1都成立，则关于运算 *，x是y的逆元
x的逆元记作 x − 1 x^{-1} x−1 ，存在逆元的元素称为可逆的
5.3 含一个运算的代数系统
5.3.1 半群
设 V = < S , ∗ > V=<S,*> V=<S,∗> 是代数系统，* 为一个二元运算符
- 若 * 是可结合的，则称V是半群
如：乘法，加法，关系的合成， < ρ ( A ) , ∪ > , < ρ ( A ) , ∩ > <\rho(A),\cup>,<\rho(A),\cap> <ρ(A),∪>,<ρ(A),∩> 都是半群
幂等元： ∃ a ∈ S , 使得 a 2 = a \exists a\in S,使得 a^2=a ∃a∈S,使得a2=a 成立，则称a是幂等元素
-
定理：有限半群必有幂等元
连续幂等后根据封闭性，结果仍在集合中，所以一定存在幂等元
子半群
在非空子集上的运算是封闭的半群
独异点(含幺半群)
含幺半群=半群+幺元
半群V中 * 运算符含有幺元，则称V是含幺半群（独异点），记作 < S , ∗ , 1 > <S,*,1> <S,∗,1>
如：矩阵乘法
证明独异点
在R中定义二元运算 * ，
∀
a
,
b
∈
R
,
a
∗
b
=
a
+
b
+
a
b
\forall a,b \in R,a*b=a+b+ab
∀a,b∈R,a∗b=a+b+ab ，求证
<
R
,
∗
>
<R,*>
<R,∗> 构成独异点
1.
∀
a
,
b
∈
R
,
a
∗
b
=
a
+
b
+
a
b
∈
R
,
所以
∗
是封闭的
即
<
R
,
∗
>
是一个代数系统
2.
(
a
∗
b
)
∗
c
=
(
a
∗
b
)
+
c
+
(
a
∗
b
)
c
=
(
a
+
b
+
a
b
)
+
c
+
(
a
+
b
+
a
b
)
c
=
a
+
b
+
c
+
a
b
+
a
c
+
b
c
+
a
b
c
c
∗
(
a
∗
b
)
=
c
+
(
a
∗
b
)
+
c
(
a
∗
b
)
=
c
+
(
a
+
b
+
a
b
)
+
c
(
a
+
b
+
a
b
)
=
a
+
b
+
c
+
a
b
+
a
c
+
b
c
+
a
b
c
所以
∗
是可结合的，故
<
R
,
∗
>
是半群
3.
对
0
∈
R
,
∀
x
∈
R
,
有
0
∗
x
=
x
=
x
∗
0
=
x
,
所以
0
为幺元
综上，
<
R
,
∗
>
是独异点
\begin{aligned} 1.\quad &\forall a,b \in R,a*b=a+b+ab\in R,所以*是封闭的\\&即<R,*>是一个代数系统\\ 2.\quad &(a*b)*c=(a*b)+c+(a*b)c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c\\&=a+b+c+ab+ac+bc+abc\\ &c*(a*b)=c+(a*b)+c(a*b)=c+(a+b+ab)+c(a+b+ab)\\&=a+b+c+ab+ac+bc+abc\\ &所以 *是可结合的，故<R,*>是半群\\ 3.\quad &对0\in R,\forall x\in R,有0*x=x=x*0=x,所以0为幺元\\ &综上，<R,*>是独异点 \end{aligned}
1.2.3.∀a,b∈R,a∗b=a+b+ab∈R,所以∗是封闭的即<R,∗>是一个代数系统(a∗b)∗c=(a∗b)+c+(a∗b)c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c=a+b+c+ab+ac+bc+abcc∗(a∗b)=c+(a∗b)+c(a∗b)=c+(a+b+ab)+c(a+b+ab)=a+b+c+ab+ac+bc+abc所以∗是可结合的，故<R,∗>是半群对0∈R,∀x∈R,有0∗x=x=x∗0=x,所以0为幺元综上，<R,∗>是独异点
定理
- x,y都有逆元，则 x*y 有逆元，且 ( x ∗ y ) − 1 = x − 1 ∗ y − 1 (x*y)^{-1}=x^{-1}*y^{-1} (x∗y)−1=x−1∗y−1
可交换半群=半群+满足交换律
若半群 V = < S , ∗ > V=<S,*> V=<S,∗> 的运算符 * 是可交换的，V是可交换半群
定理
- 在可交换半群 < S , ∗ > <S,*> <S,∗> 中，有 ( a ∗ b ) n = a n ∗ b n (a*b)^n=a^n*b^n (a∗b)n=an∗bn ，其中n是正整数, a , b ∈ S a,b\in S a,b∈S
独异点 < S , ∗ , 1 > <S,*,1> <S,∗,1> 中的 * 是可交换的，称V是可交换独异点
循环半群=半群+生成元
5.3.2 群
群=含幺半群+每个元素有逆元
设 V = < S , ∗ > V=<S,*> V=<S,∗> 是代数系统，* 是二元运算
若 * 是可结合的，存在幺元 ∃ 1 ∈ S \exists 1 \in S ∃1∈S ，且 ∀ x ∈ S , 有 x − 1 ∈ S \forall x\in S,有x^{-1}\in S ∀x∈S,有x−1∈S ，称V为群
如：
<
N
,
+
>
满足结合律，所以是半群。幺元是
0
，所以是含幺半群。但是
<
N
,
+
>
不是群，每个元素的逆不在
N
中
\begin{aligned} &<N,+>满足结合律，所以是半群。幺元是0，所以是含幺半群。但是\\ &<N,+>不是群，每个元素的逆不在N中 \end{aligned}
<N,+>满足结合律，所以是半群。幺元是0，所以是含幺半群。但是<N,+>不是群，每个元素的逆不在N中
证明群的过程
设Z为整数集合，在Z上定义二元运算*，
∀
x
,
y
∈
Z
\forall x,y\in Z
∀x,y∈Z，x*y=x+y-2，为
<
Z
,
∗
>
<Z,*>
<Z,∗> 是否为群
1.
∀
x
,
y
∈
Z
,
x
∗
y
=
x
+
y
−
2
∈
Z
,
所以
∗
是封闭的，即
<
Z
,
∗
>
是代数系统
2.
∀
x
,
y
,
z
∈
Z
(
x
∗
y
)
∗
z
=
(
x
+
y
−
2
)
+
z
−
2
=
x
+
y
+
z
−
4
x
∗
(
y
∗
z
)
=
x
+
(
y
+
z
−
2
)
−
2
=
x
+
y
+
z
−
4
即
∗
是可结合的，所以
<
Z
,
∗
>
是半群
3.
设
p
是幺元，
p
∗
x
=
p
=
p
+
x
−
2
=
x
⇒
p
=
2
故半群
<
R
,
∗
>
是独异点，幺元为
2
4.
x
∗
x
−
1
=
2
⟺
x
+
x
−
1
=
4
⇒
x
−
1
=
4
−
x
∈
Z
故
<
R
,
∗
>
是群
\begin{aligned} 1.\quad &\forall x,y\in Z,x*y=x+y-2\in Z,所以*是封闭的，即<Z,*>是代数系统\\ 2.\quad &\forall x,y,z\in Z \\ &(x*y)*z=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4\\ &x*(y*z)=x+(y+z-2)-2=x+y+z-4\\ &即*是可结合的，所以<Z,*>是半群\\ 3.\quad &设p是幺元，p*x=p=p+x-2=x\Rightarrow p=2\\ &故半群<R,*>是独异点，幺元为2\\ 4.\quad &x*x^{-1}=2\iff x+x^{-1}=4\Rightarrow x^{-1}=4-x\in Z\\ &故<R,*>是群 \end{aligned}
1.2.3.4.∀x,y∈Z,x∗y=x+y−2∈Z,所以∗是封闭的，即<Z,∗>是代数系统∀x,y,z∈Z(x∗y)∗z=(x+y−2)+z−2=x+y+z−4x∗(y∗z)=x+(y+z−2)−2=x+y+z−4即∗是可结合的，所以<Z,∗>是半群设p是幺元，p∗x=p=p+x−2=x⇒p=2故半群<R,∗>是独异点，幺元为2x∗x−1=2⟺x+x−1=4⇒x−1=4−x∈Z故<R,∗>是群
有限群&无限群
设 < G , ∗ > <G,*> <G,∗> 是一个群
-
如果G是有限集，则称 < G , ∗ > <G,*> <G,∗> 是有限群，G中的元素个数称为群的阶，记为 ∣ G ∣ \mid G \mid ∣G∣
-
G是无限集，则为无限群，群的阶为无限
群的基本性质
二阶以上的群无零元
- 一阶群一定有零元，零元即幺元， < g , ∗ > <{g},*> <g,∗> g*g=g，所以g是零元
群中每个元素都存在唯一逆元
群中除幺元外无幂等元
群的运算表中，没有两行或两列是相同的
群满足消去律
满足消去律的有限半群是群
- 没有零元的有限半群是群
子群
设 < G , ∗ > <G,*> <G,∗> 为群， H ⊆ G H\subseteq G H⊆G，且 < H , ∗ > <H,*> <H,∗> 为群，则称H为G的子群，记作 H ≤ G H\le G H≤G
子群判定定理
设 < G , ∗ > <G,*> <G,∗> 为群，H是G的非空子集
< H , ∗ > 是 < G , ∗ > 的非空子群 ⟺ { 封闭： ∀ a , b ∈ H , 有 a ∗ b ∈ H 逆元： ∀ a ∈ H , 有 a − 1 ∈ H ⟺ ∀ a , b ∈ H , 有 a ∗ b − 1 ∈ H H 是 G 的子集且 H 是有限集 ⟺ ∀ a , b ∈ H , 有 a ∗ b ∈ H \begin{aligned} <H,*>是<G,*>的非空子群 &\iff \begin{cases} 封闭：\forall a,b\in H,有a*b\in H\\ 逆元：\forall a\in H,有a^{-1}\in H \end{cases}\\ &\iff \forall a,b\in H,有a*b^{-1}\in H\\ H是G的子集且H是有限集&\iff \forall a,b\in H,有a*b\in H \end{aligned} <H,∗>是<G,∗>的非空子群H是G的子集且H是有限集⟺{封闭：∀a,b∈H,有a∗b∈H逆元：∀a∈H,有a−1∈H⟺∀a,b∈H,有a∗b−1∈H⟺∀a,b∈H,有a∗b∈H
性质
子群的幺元是群的幺元， ∀ a ∈ H \forall a\in H ∀a∈H ，其逆元 a H − 1 a_H^{-1} aH−1 就是a在G中的逆元 a − 1 a^{-1} a−1
二阶以上的群 < G , ∗ > <G,*> <G,∗> 一定存在两个子群，称为G的平凡子群
-
由幺元组成的子群 < 1 , ∗ > <{1},*> <1,∗> 称为G的幺子群，其中 1就是 < G , ∗ > <G,*> <G,∗> 的幺元
-
< G , ∗ > <G,*> <G,∗> 群本身
-
其余子群称为 非平凡子群/真子群
交换群：满足交换律的群
若群 V = < S , ∗ > V=<S,*> V=<S,∗> 中的 * 满足交换律，则称V是可交换的群（阿贝尔群）
循环群：有生成元的交换群
群中的每个元素都可用一个元素的方幂表示，则称这个群是循环群
群 V = < G , ∗ > V=<G,*> V=<G,∗> 中，如果 ∃ g ∈ G \exists g\in G ∃g∈G，对于每个元素 a ∈ G a\in G a∈G，都有一个相应的 i ∈ I i\in I i∈I ，能把a表示成幂次 g i g^i gi 的形式，则称 < G , ∗ > <G,*> <G,∗> 是一个循环群。或循环群是由g生成的，g是 < G , ∗ > <G,*> <G,∗> 的生成元
循环群的判别
证明：
<
Z
,
+
>
<Z,+>
<Z,+> 是循环群
1.
∀
a
,
b
∈
Z
,
a
+
b
∈
Z
，故
+
是封闭的
<
G
,
+
>
是一个代数系统
2.
∀
a
,
b
,
c
∈
Z
,
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
=
a
+
b
+
c
所以
<
G
,
+
>
是半群
3.
设幺元为
p
,
∀
x
∈
Z
,
p
+
x
=
x
,
则
p
=
0
幺元
=
0
4.
∀
a
∈
Z
,
a
+
a
−
1
=
0
⇒
a
−
1
=
−
a
∈
Z
所以
<
G
,
+
>
是群
5.
设
g
=
1
，
∀
n
∈
Z
+
，
n
=
1
+
1
+
.
.
.
+
1
=
1
n
∀
n
∈
Z
−
,
n
=
(
−
1
)
+
(
−
1
)
+
.
.
.
+
(
−
1
)
=
(
−
1
)
n
=
(
1
−
1
)
n
故
1
是
<
G
,
∗
>
的生成元，该群为循环群
\begin{aligned} &1. \quad \forall a,b\in Z,a+b\in Z，故+是封闭的\\ & \quad <G,+>是一个代数系统\\ &2.\quad \forall a,b,c \in Z,(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c\\ &\quad 所以<G,+>是半群\\ &3.\quad 设幺元为p,\forall x\in Z,p+x=x,则p=0\\ &\quad 幺元=0\\ &4. \quad \forall a\in Z,a+a^{-1}=0\Rightarrow a^{-1}=-a\in Z\\ &\quad 所以<G,+>是群\\ &5. \quad 设g=1，\forall n\in Z_+，n=1+1+...+1=1^{n}\\ &\quad \forall n\in Z_-,n=(-1)+(-1)+...+(-1)=(-1)^n=(1^{-1})^n\\ &故1是<G,*>的生成元，该群为循环群 \end{aligned}
1.∀a,b∈Z,a+b∈Z，故+是封闭的<G,+>是一个代数系统2.∀a,b,c∈Z,(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c所以<G,+>是半群3.设幺元为p,∀x∈Z,p+x=x,则p=0幺元=04.∀a∈Z,a+a−1=0⇒a−1=−a∈Z所以<G,+>是群5.设g=1，∀n∈Z+，n=1+1+...+1=1n∀n∈Z−,n=(−1)+(−1)+...+(−1)=(−1)n=(1−1)n故1是<G,∗>的生成元，该群为循环群
循环群的性质
-
生成元不唯一
-
群的阶：设 < G , ∗ > <G,*> <G,∗> 是一个由元素a生成的循环群，且是 有限群，如果G的阶是n，即 ∣ G ∣ = n \mid G \mid=n ∣G∣=n ,则 a n = 1 a^n=1 an=1 且 G = { a , a 2 , . . . , a n = 1 } G=\{a,a^2,...,a^n=1\} G={a,a2,...,an=1} ，n是元素 a 的阶(使得 a n = 1 a^n=1 an=1 成立的最小正整数)
-
任意的循环群都是交换群
置换群
变换与变换群
变换：在A上的映射/函数
对称群 < S A , ◇ > <S_A,◇> <SA,◇>：非空集合A 上的全体 可逆变换(双射函数)的复合运算 构成集合的A的群
- 代数系统——封闭：集合A上的任意两个双射函数复合后仍在集合A中
- 半群——结合律：复合运算具有结合律
- 含幺半群——求幺元：恒等函数，自己到自己的变换
- 群——每个元素逆元都在群中：双射函数的逆元仍在集合中
对称群 < S A , ◇ > <S_A,◇> <SA,◇> 的子群称为A的一个变换群
- 运算符号满足结合律，不满足交换律
- 每个群都同构于一个变换群
G是实数集R上 所有变换 f a , b : R → R f_{a,b}:R\rightarrow R fa,b:R→R 构成的集合， ∀ x ∈ R , f a , b ( x ) = a x + b \forall x\in R,f_{a,b}(x)=ax+b ∀x∈R,fa,b(x)=ax+b ， < G , ◇ > <G,◇> <G,◇> G是变换群
置换
置换：在 有限集合 上的可逆变换（双射函数）
如：集合A={1,2,3,4,5}是有限集合，其上的一个可逆变换(可逆函数/双射函数)即为一个置换
若 ∣ A ∣ = n \mid A \mid=n ∣A∣=n ，则A上的置换有 n! 个。A上的所有置换的集合记为 S n S_n Sn
置换群
n元有限集合A上的置换所构成的群，称为n元置换群；A上所有置换构成的群称为n次对称群
- 置换群是在 有限集合 上的变换群
- n次对称群是n元置换群的特殊情况
-
以符号◇表示右合成运算： p 1 ◇ p 2 p_1◇p_2 p1◇p2 表示先进行 p 1 p_1 p1 置换，在进行 p 2 p_2 p2 置换
-
< S n , ◇ > <S_n,◇> <Sn,◇> 表示对称群， < { p 1 , p 2 , . . . } , ◇ > <\{p_1,p_2,...\},◇> <{p1,p2,...},◇> 表示置换群
-
任何一个有限群都同构于一个置换群
置换群的几何意义
5.4 含两个运算的代数系统
5.4.1 环
具有两个二元运算的代数系统
设 < R , + , ∗ > <R,+,*> <R,+,∗> 是代数系统，+,*为二元运算，若满足
< R , + > <R,+> <R,+> 是可交换群
< R , ∗ > <R,*> <R,∗> 是半群
*对+满足分配律
A*(B+C)=A*B+A*C
称 < G , + , ∗ > <G,+,*> <G,+,∗> 为环
整环
若环 < R , + , − > <R,+,-> <R,+,−> 可交换，含幺元，无零元，称R为整环
对应可交换半群
除环
若环 < R , + , − > <R,+,-> <R,+,−> 至少存在两个元素，含幺元，无零元，且(逆元也在环中) ∀ a ∈ R ( a ≠ 0 ) \forall a\in R(a\neq 0) ∀a∈R(a=0) 有 a − 1 ∈ R a^{-1}\in R a−1∈R ，称R为除环
对应群
5.4.2 域
若环 < R , + , − > <R,+,-> <R,+,−> 既是整环又是除环，则称R是域
对应可交换群——阿贝尔群
5.5 格
设 < S , ≤ > <S,\le> <S,≤> 是偏序集(自反，反对称，传递)，如果 ∀ x , y ∈ S \forall x,y \in S ∀x,y∈S ，{x,y} 都有最小上界和最大下界，称S关于 ≤ \le ≤ 构成一个格，记为：
格 < S , ≤ > , 格 < S , ∧ , ∨ > 格<S,\le>,格<S,∧,∨> 格<S,≤>,格<S,∧,∨> ，
其中 ∨表示最小上界，∧表示最大下界
每个全序集都是一个格
5.5.1 格的判断
1.
设 < S 6 , D > <S_6,D> <S6,D> ，D表示整除， S n S_n Sn 表示整除n的因子集合
其中：
1∨2=2，,1∨3=3，1∨6=6，2∨3=6
1∧2=1，,1∧3=1，1∧6=1，2∧3=1
所以是格
2.
对于 b,d 有最小上界 b∨d=c,e
对于 c,e 有最大下界 c∧e =b,d 但是无最小上界，c与e大小无法判断
所以不是格
3. < ρ ( B ) , ⊆ > <\rho(B),\subseteq> <ρ(B),⊆>
∀
x
,
y
∈
ρ
(
B
)
,
x
∨
y
=
x
∪
y
,
x
∧
y
=
x
∩
y
\forall x,y\in \rho(B),x∨y=x\cup y,x∧y=x\cap y
∀x,y∈ρ(B),x∨y=x∪y,x∧y=x∩y
所以是格
5.5.2 格的界
全界：
若格 < L , ∧ , ∨ > <L,∧,∨> <L,∧,∨> 中 ∃ a \exists a ∃a，对 ∀ b ∈ L \forall b\in L ∀b∈L ，有 a ≤ b ( b ≤ a ) a\le b(b\le a) a≤b(b≤a) ，则称a为格L的全下界(全上界)
全下界a是L中的最小值，哈斯图的最底层一个元素。
全上界a是L中的最大值，哈斯图的最顶层一个元素
5.5.3 特殊的格
有界格
记为： < L , ∧ , ∨ , 0 , 1 > <L,∧,∨,0,1> <L,∧,∨,0,1> 。界的位置与运算符号位置对应
有补格
每个元素都有补元，为有补格
补元
有界格 < L , ∧ , ∨ , 0 , 1 > <L,∧,∨,0,1> <L,∧,∨,0,1> ， ∀ a ∈ L \forall a\in L ∀a∈L ，若 ∃ b ∈ L \exists b\in L ∃b∈L ，使 a∧b=0,a∨b=1，则称 b是a的 补元
如：
< S 8 , D > <S_8,D> <S8,D> ，其哈斯图为：
1是全下界，8是全上界，即表示为格 < S 8 , D , ∧ , ∨ , 1 , 8 > <S_8,D,∧,∨,1,8> <S8,D,∧,∨,1,8>。
由于1∧8=1，1∨8=8，所以1和8互为补元
由于1∧2=1，1∨2=2；2∨4=4；2∨8=8，2∧8=2，所以2无补元，同理4无补元
所给哈斯图是格，a为全上界，d为全下界。a与d互为补元，b,c,e无补元
a为全上界，e为全下界，所以a与e互为补元
对于b,c，b∧c=e，b∨c=a，所以b与c互为补元
同理，c与d，b与d互为补元
有界有补分配格
格 < L , ∧ , ∨ , 0 , 1 > <L,∧,∨,0,1> <L,∧,∨,0,1> 是有补分配格，称L为布尔代数
-
有界格
-
有补格
-
求界可分配
∧对∨可分配
∨对∧可分配
-
0：全下界
-
1：全上界
如：
< B , ∧ , ∨ , ′ , 0 , 1 > <B,∧,∨,',0,1> <B,∧,∨,′,0,1> 是布尔代数
若a’是a的补元，则a∧a’=0,a∨a’=1
a∨0=a,a∧0=0,a∨1=a,a∧1=a
5.6 代数间的关系
用于研究两个代数系统间的联系
5.6.1 同构
两个代数系统 A = < S , ∗ , + , k > A=<S,*,+,k> A=<S,∗,+,k> 和 A ′ = < S ′ , ∗ ′ , + ′ , k ′ > A'=<S',*',+',k'> A′=<S′,∗′,+′,k′> ，其中*是二元运算，+是一元运算。若存在一个双射函数h，使
h: S → S ′ S\rightarrow S' S→S′
h(a*b)=h(a)*'h(b)
h(+a)=+'h(a)
h(k)=k’
则将h为从A到A’的同构
