1.电机模型

$G(s)=\frac{1}{Js^{2}+Bs}$

即：

$x^{''}=-\frac{B}{J}x'+\frac{u}{J}$

其中：J = 0.0067；B = 0.10

2.数字PID控制

首先我们来看一下连续PID：

简单说来，PID控制器各校正环节的作用如下:
(1）比例环节:成比例地反映控制系统的偏差信号error(t)，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。
(2）积分环节:主要用于消除静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积分时间常数T，T越大，积分作用越弱，反之则越强。
(3）微分环节:反映偏差信号的变化趋势（变化速率)，并能在偏差信号变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减少调节时间。

按模拟PID控制算法，以一系列的采样时刻点kT代表连续时间t，以矩形法数值积分近似代替积分，以一阶后向差分近似代替微分，即：

3.MATLAB数字仿真分析

3.1matlab程序

主程序：

clear all
clc;
xk = zeros(2,1);%定义初始状态
ts = 0.001;
e_1 = 0;
u_1 = 0;
for k = 1:2000 %仿真时间=k*ts
    time(k)= k*ts;
    xd(k) = 0.5*sin(2*pi*k*ts);%跟踪位移信号，即x1跟踪xd
    tspan = [(k-1)*ts k*ts];%当前时刻求解的积分区间
    para = u_1;%控制输入
    [tt,x] = ode45('Plant',tspan,xk,[],para);
    xk = x(length(x),:);%取求解向量的最后一行,且作为下一时刻的初始状态
    x1(k) = xk(1);%选位移信息作为输出向量
    
    e(k) = xd(k)-x1(k);%误差比例 
    de(k) = (e(k)-e_1)/ts;%误差微分
    
    P = 20;D = 0.5;
    u(k) = P*e(k)+D*de(k);
    
    u_1 = u(k);%更新当前时刻的控制输入
    e_1 = e(k);%更新当前时刻的跟踪误差
end
figure(1)
plot(time,x1,'k',time,xd,'r','linewidth',1)
legend('x1','xd')
xlabel('t');ylabel('x1(转速)')
figure(2)
plot(time,u,'k','linewidth',1)
xlabel('t');ylabel('PD控制输入')
figure(3)
plot(time,e,'k','linewidth',1)
xlabel('t');ylabel('跟踪误差e')
figure(4)
plot(time,de,'k','linewidth',1)
xlabel('t');ylabel('跟踪误差变化率de')
% function dx = Plant(tspan,x,flag,para)
% u = para;
% J = 0.0067;B = 0.1;
% dx = zeros(2,1);%注意要将状态变量定位列向量，否则系统默认为行向量
% dx(1) = x(2);
% dx(2) = -(B/J)*x(2)+u/J;
% end

电机模型：

function dx = Plant(tspan,x,flag,para)
% tspan:积分时间段、x当前求解微分方程时刻的初始状态、para：当前时刻的控制输入
u = para;
J = 0.0067;B = 0.1;
dx = zeros(2,1);%注意要将状态变量定位列向量，否则系统默认为行向量
dx(1) = x(2);
dx(2) = -(B/J)*x(2)+u/J;
end