什么是波束

和光束一样，当所有波的传播方向都一致时，即形成了波束。工程师利用波束已经有相当久的历史。在二战中，工程师已经将波束利用在雷达中，雷达通过扫描波束方向来探测整个空间中所有目标的位置。

什么是波束成形

波束成形，又称为波束赋形，也成为空域滤波。
波束成形是一种使用传感器阵列定向发送和接收信号的信号处理技术。故波束成形技术分为发送波束成形和接收波束成形，二者的目的存在一些差异。
发送波束成形的目的有两个：1.向期望方向定向发送信号;2.不向某些方向发送信号；
接收波束成形的目的有两个：1.接收期望方向上的信号;2.不接受某些方向上的信号。
我们往往通过合理的设置波束权值矢量，来控制波束的指向，我们研究波束成形技术，其实也就是研究如何计算波束权值。

线阵数学推导(均匀排布)

设相邻传感器距离为：d
发射信号为：s
相邻传感器信号多走路程为：
$$d\ast cos\theta$$
第k根比第一根多走：
$$（k-1）d\ast cos\theta$$
第k根比第一根多走时间：
$$t=（k-1）d\ast cos\theta /c$$
其中c为信号传播速度，设信号的频率为f,则相位差：
$$2\pi ft=2\pi f（k-1）d\ast cos\theta /c=2\pi （k-1）d\ast cos\theta /\lambda$$
$$\lambda =cT=c/f$$
其中λ为波长，T为信号周期，则相位差Ψ：
$$\Psi =2\pi dcos\theta /\lambda$$
则 N 个天线，对应的相位偏差分别为：

$$0,\Psi ,2\Psi ,3\Psi ,...,(N-1)\Psi$$

是在频域分析的，所以，相当于发射的信号，虽然从每个发射天线出来的信号都是一样的，但是接收端接收到的信号，则分别被乘以：
$$e^{j0},e^{j\Psi },e^{j2\Psi },...,,e^{j(N-1)\Psi }$$

则接收端各个传感器接受到的信号为：
$$\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}s{e}^{jk\Psi }=s\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}s{e}^{jk\Psi }$$

则接收到的信号，相对于发射的信号，其变化为：
$$\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}{e}^{jk\Psi }$$
若仅考虑能量增益，则：
$$G(\Psi )=\frac{1}{N}|\sum _{k=0}^{N-1}{e}^{jk\Psi }|$$

经过一些推导（欧拉公式），上式整理为：
$$G(\Psi )=x=\{\begin{array}{ll}|\boxed{\frac{sin(N\Psi /2)}{Nsin(\Psi /2)}}|& \text{if }\Psi !=0\\ 1& \text{if }\Psi =0\end{array}$$
带入：
$$\Psi =\frac{2\pi dcos\theta }{\lambda }$$

入后，我们可以计算不同的角度对应不同的增益， 当 Ψ为 0 时，取最大值

import  numpy as np
from    matplotlib import pyplot as plt

N = 8      #传感器数量

theta = np.arange(0,2*np.pi,0.01)  #倾斜角

psi = np.pi * np.cos(theta) #相位差，取波长λ为传感器间距的1/2

r = np.abs(np.sin(N * psi/2)/np.sin(psi/2))/N

plt.figure()
plt.polar(theta,r)
plt.show()

传感器八个一排

传感器16个一排