文章目录
- 1. 转换矩阵、平移矩阵、旋转矩阵之间的关系
- 2. 缩放变换、平移变换和旋转变换
- 2. python实现旋转矩阵、四元数、欧拉角互相转化
由于在平时总是或多或少的遇到平移旋转的问题，每次都是现查资料，然后查了忘，忘了继续查，这次弄明白之后干脆写一篇文章，给人方便同时于己方便，后续如有扩充或变动也方便添加。
1. 转换矩阵、平移矩阵、旋转矩阵之间的关系
假设有两个向量 a 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) a_1 = (x_1, y_1, z_1) a1=(x1,y1,z1)和 a 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) a_2 = (x_2, y_2, z_2) a2=(x2,y2,z2)，它们的转换关系为：
a
1
=
R
∗
a
2
+
T
a_1 = R * a_2 + T
a1=R∗a2+T
这里
R
R
R就是它的旋转矩阵，
T
T
T就是它的平移矩阵。使用齐次方式表示如下：
(
a
1
1
)
=
(
R
T
0
1
)
∗
(
a
2
1
)
\begin{pmatrix} a_1\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} R&T\\ 0&1 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} a_2\\1 \end{pmatrix}
(a11)=(R0T1)∗(a21)
使用元素值替换后，表示如下：
(
x
1
y
1
z
1
1
)
=
(
r
11
r
12
r
13
t
1
r
21
r
22
r
23
t
2
r
31
r
32
r
33
t
3
0
0
0
1
)
∗
(
x
2
y
3
z
2
1
)
\begin{pmatrix} x_1\\y_1\\z_1\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}&t_{1}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}&t_{2}\\ r_{31}&r_{32}&r_{33}&t_{3}\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} x_2\\y_3\\z_2\\1 \end{pmatrix}
x1y1z11
=
r11r21r310r12r22r320r13r23r330t1t2t31
∗
x2y3z21
在仿射变换中的转换矩阵表示先线性变换再平移。在这里转换矩阵表示如下：
转换矩阵
=
(
r
11
r
12
r
13
t
1
r
21
r
22
r
23
t
2
r
31
r
32
r
33
t
3
0
0
0
1
)
转换矩阵= \begin{pmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}&t_{1}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}&t_{2}\\ r_{31}&r_{32}&r_{33}&t_{3}\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}
转换矩阵=
r11r21r310r12r22r320r13r23r330t1t2t31
平移矩阵表示如下：
平移矩阵
T
=
(
t
1
t
2
t
3
)
平移矩阵T=\begin{pmatrix} t_{1}\\ t_{2}\\ t_{3}\\ \end{pmatrix}
平移矩阵T=
t1t2t3
旋转矩阵表示如下：
旋转矩阵
R
=
(
r
11
r
12
r
13
r
21
r
22
r
23
r
31
r
32
r
33
)
旋转矩阵R=\begin{pmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}\\ r_{31}&r_{32}&r_{33} \end{pmatrix}
旋转矩阵R=
r11r21r31r12r22r32r13r23r33
2. 缩放变换、平移变换和旋转变换
如果理解以上知识点之后，缩放变换、平移变换和旋转变换的特殊情况也迎刃而解。
- 缩放变换
缩放变换只是在尺度上进行改变，所以它的变换形式如下：
- 平移变换
平移变换的时候，角度不发生改变，也就是旋转矩阵R为单位矩阵，所以它的变换形式如下：
- 旋转变换
当空间内的物体绕着 x 轴，y 轴或者 z 轴旋转的时候，变换矩阵为：
对于一般性的旋转问题，可以用简单的旋转描述复杂的旋转。用 x 轴，y 轴和 z 轴上的旋转来定义旋转：
这三个角就被称作欧拉角（Euler angles）。
- 一目了然
- 这个也不错
2. python实现旋转矩阵、四元数、欧拉角互相转化
在应用中，我们往往会遇到旋转矩阵、四元数和欧拉角之间的互相转换，在这里，我们只使用python代码来实现它们之间互相转换。
from scipy.spatial.transform import Rotation as R
def quaternion2euler(quaternion):
r = R.from_quat(quaternion)
euler = r.as_euler('xyz', degrees=True)
return euler
def euler2quaternion(euler):
r = R.from_euler('xyz', euler, degrees=True)
quaternion = r.as_quat()
return quaternion
def euler2rotation(euler):
r = R.from_euler('xyz', euler, degrees=True)
rotation_matrix = r.as_matrix()
return rotation_matrix
def quaternion2rotation_matrix(quaternion):
r = R.from_quat(quaternion)
rotation_matrix = r.as_matrix()
return rotation_matrix
def rotation_matrix2euler(rotation_matrix):
r = R.from_matrix(rotation_matrix)
euler = r.as_euler('xyz', degrees=True)
return euler
def rotation_matrix2quaternion(rotation_matrix):
r = R.from_matrix(rotation_matrix)
quaternion = r.as_quat()
return quaternion
if __name__ == '__main__':
# 四元数=>欧拉角
quaternion = [0.71934025092983234, -1.876085535681999e-06, -3.274841213980097e-08, -0.69465790385533299]
euler = quaternion2euler(quaternion) # [-9.20000743e+01 1.52039496e-04 -1.52039496e-04]
print(f'euler: {euler}')
# 四元数=>旋转矩阵
rotation_matrix = quaternion2rotation_matrix(quaternion)
print(f'rotation_matrix: {rotation_matrix}')
# 欧拉角=>四元数
quaternion = euler2quaternion(euler)
print(f'quaternion: {quaternion}') # [-7.19340251e-01 1.87608554e-06 3.27484122e-08 6.94657904e-01]
# 欧拉角=>旋转矩阵
rotation_matrix = euler2rotation(euler)
print(f'rotation_matrix: {rotation_matrix}')
# 旋转矩阵=>欧拉角
euler = rotation_matrix2euler(rotation_matrix)
print(f'euler: {euler}')
# 旋转矩阵=>四元数
quaternion = rotation_matrix2quaternion(rotation_matrix)
print(f'quaternion: {quaternion}')
